מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 17 ברמת בגרות

מספר המיינות גדל בכל שנה באחוז קבוע - זה תהליך גדילה, ולכן הגרף שלו עולה משמאל לימין.

גרף II עולה (מ-7,125 ב-2019), וגרף I יורד.

לכן גרף II מתאר את מספר המיינות.

טעות נפוצה: לבחור לפי הגובה בתחילת 2019 ("המיינות משתלטות על האזור, לכן הן הגרף הגבוה") ולענות גרף I - מה שקובע הוא כיוון הגרף: גדילה היא גרף עולה, גם אם הוא מתחיל נמוך.

מהגרף: בתחילת 2019 היו $A_0=7{,}125$ מיינות.

גדל ב-20% בכל שנה, ולכן מקדם הגדילה $q=1+0.2=1.2$.

מתחילת 2019 עד תחילת 2022 עברו $t=2022-2019=3$ שנים.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2019, 2020, 2021, 2022 ולקבל $t=4$: $7{,}125\cdot1.2^4\approx14{,}774$ - מתחילת 2019 עד תחילת 2022 עוברות 3 שנים בלבד.

בתחילת 2022 מספר הדרורים שווה למספר המיינות, שמצאנו בסעיף ב: 12,312.

לכן עבור הדרורים: $A_0=20{,}048$ (מהגרף), $A_3=12{,}312$, $t=3$.

מוציאים שורש שלישי במחשבון:

$q=0.85=1-0.15$, כלומר מספר הדרורים קטן בכל שנה בכ-15%.

טעות נפוצה: לענות שמספר הדרורים קטן ב-85% בכל שנה - המקדם $q=0.85$ הוא החלק שנשאר בכל שנה (85%), והירידה היא $100\%-85\%=15\%$.

מחפשים $t$ שעבורו $20{,}048\cdot0.85^t=7{,}561$.

מנסים חזקות של 0.85:

$0.85^3\approx0.6141$, $0.85^4\approx0.5220$, $0.85^5\approx0.4437$, $0.85^6\approx0.3771$.

לכן $t=6$: שש שנים אחרי תחילת 2019, כלומר בתחילת שנת 2025.

בדיקה: $20{,}048\cdot0.85^6\approx7{,}561$.

טעות נפוצה: לחשוב על הירידה כליניארית - 15% מ-20,048 הם כ-3,007 דרורים בשנה, $\frac{20{,}048-7{,}561}{3{,}007}\approx4.15$, כלומר כ-4 שנים, ולענות "בתחילת 2023". בדעיכה מעריכית כל שנה יורדים 15% מהכמות של אותה שנה, ולכן הירידה בכל שנה הולכת וקטנה.

השכיח הוא הציון שמופיע הכי הרבה פעמים.

היסטוריה: $9$ מופיע 3 פעמים, ושום ציון אחר לא מופיע יותר מפעמיים. השכיח: $9$.

אנגלית: $6$ מופיע 3 פעמים וגם $10$ מופיע 3 פעמים. יש שני שכיחים: $6$ ו-$10$.

טעות נפוצה: לענות בהיסטוריה "3" - זו השכיחות של הציון 9, ולא הציון השכיח.

הרשימות מסודרות לפי גודל, ויש בכל אחת $9$ נתונים, ולכן החציון הוא הנתון במקום $\frac{9+1}{2}=5$.

היסטוריה: $5, 7, 7, 8, \underline{8}, 9, 9, 9, 10$ - החציון $8$.

אנגלית: $6, 6, 6, 7, \underline{8}, 9, 10, 10, 10$ - החציון $8$.

טעות נפוצה: לחשב את החציון כאמצע בין הציון הנמוך לגבוה. בהיסטוריה זה נותן $\frac{5+10}{2}=7.5$ - אבל החציון הוא הנתון האמצעי ברשימה, לא אמצע הטווח.

היסטוריה:

אנגלית:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הציונים השונים בלבד: בהיסטוריה $\frac{5+7+8+9+10}{5}=7.8$. כך מתעלמים מכך שחלק מהציונים קיבלו כמה תלמידים.

הממוצע בשני המקצועות הוא $8$ (סעיף (3)).

היסטוריה - ריבועי הסטיות: $(5-8)^2=9$, $(7-8)^2=1$ פעמיים, $(8-8)^2=0$ פעמיים, $(9-8)^2=1$ שלוש פעמים, $(10-8)^2=4$.

אנגלית - ריבועי הסטיות: $(6-8)^2=4$ שלוש פעמים, $(7-8)^2=1$, $(8-8)^2=0$, $(9-8)^2=1$, $(10-8)^2=4$ שלוש פעמים.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולענות $2$ בהיסטוריה ו-$\frac{26}{9}\approx2.89$ באנגלית - אלה השונויות.

משווים את סטיות התקן מסעיף (4): באנגלית $\sigma\approx1.70$ ובהיסטוריה $\sigma\approx1.41$.

סטיית תקן גדולה יותר פירושה שהנתונים רחוקים יותר מהממוצע, ולכן פיזור הציונים באנגלית גדול יותר.

באנגלית שישה תלמידים במרחק 2 מהממוצע, ובהיסטוריה רוב התלמידים במרחק 0 או 1 ממנו.

טעות נפוצה: להשוות לפי הטווח: בהיסטוריה $10-5=5$ ובאנגלית $10-6=4$, ולענות "בהיסטוריה". ציון 5 בודד מגדיל את הטווח, אבל רוב הציונים בהיסטוריה קרובים לממוצע.

העמוד והילד מאונכים לקרקע: $\angle ABE=\angle DCE=90^\circ$.

הזווית $\angle E$ משותפת לשני המשולשים.

לפי ז.ז.: $\triangle ABE\sim\triangle DCE$, כש-$AB$ מתאימה ל-$DC$, $BE$ ל-$CE$ ו-$AE$ ל-$DE$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\triangle ABC\sim\triangle DCE$. המשולש $ABC$ לא מכיל את קרן האור $AE$ ואת הזווית $E$, ולכן אין בו זוויות ששוות בוודאות לזוויות המשולש $DCE$.

מהדמיון: $\frac{DC}{AB}=\frac{CE}{BE}$, עם $CE=x$ ו-$BE=9+x$:

אורך הצל: $3$ מ'.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{1.6}{6.4}=\frac{x}{9}$ ולקבל $x=2.25$ מ'. בצלע המתאימה במשולש הגדול צריך לכלול גם את הצל עצמו: $BE=9+x$.

במשולש $ABE$: $AB=6.4$ מול הזווית $E$, ו-$BE=9+3=12$ לידה.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$BC=9$ במקום ב-$BE$: $\tan E=\frac{6.4}{9}$ ו-$\angle E\approx35.42^\circ$.

$AD=AE-DE$.

המרחק בין ראש הילד לפנס: $10.2$ מ'.

טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{9^2+6.4^2}\approx11.04$ מ' - זה המרחק מהפנס לכפות רגלי הילד, לא לראשו.

במשולש ישר הזווית $ABC$, $BC$ הוא הניצב שמול הזווית $28^\circ$ ו-$AB$ הניצב שליד:

טעות נפוצה: לכתוב $AB=64\cdot\tan28^\circ\approx34.03$ - הנעלם במכנה, ולכן מחלקים.

במשולש $ABD$:

טעות נפוצה: לענות $90.70$ - זה הגובה של ראש האנטנה מעל הקרקע, כולל הבניין.

מספר הלקוחות הוא סכום השורה "מספר הלקוחות":

טעות נפוצה: לחבר את שורת המחירים במקום את שורת הלקוחות: $50+85+120+180=435$.

ממוצע ההכנסות הוא ההכנסה הכוללת חלקי מספר הלקוחות. כל מחיר נספר כמספר הלקוחות ששילמו אותו (ממוצע משוקלל):

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי להתחשב במספר הלקוחות: $\frac{50+85+120+180}{4}=108.75$.

הממוצע הכי קטן מתקבל כשההכנסה הנוספת הכי קטנה - כששני הלקוחות קנו את הזר הזול ביותר, זר קטן (50 שקלים).

ההכנסה הכוללת גדלה ב-$2\cdot50=100$ שקלים, ומספר הלקוחות גדל ב-2:

טעות נפוצה: להוסיף את ההכנסה של שני הלקוחות ולשכוח להוסיף אותם למכנה: $\frac{6010}{60}\approx100.17$ - יותר מהממוצע המקורי, אף על פי שנוספו שני תשלומים קטנים ממנו.

כשמוסיפים נתונים, הממוצע יורד רק אם הנתונים החדשים קטנים מהממוצע הקודם. שני הלקוחות שילמו אותו סכום, ולכן הממוצע ירד אם ורק אם הסכום שכל אחד מהם שילם קטן מ-98.5 שקלים (סעיף א(2)).

I. זר גדול: 120 שקלים. $120>98.5$ - הממוצע עולה, ולכן ההיגד לא ייתכן. (בדיקה: $\frac{5910+240}{62}\approx99.19$.)

II. זר חגיגי בהנחה של 45%: משלמים $100\%-45\%=55\%$ מהמחיר, $180\cdot0.55=99$ שקלים. $99>98.5$ - הממוצע עולה, ולכן ההיגד לא ייתכן. (בדיקה: $\frac{5910+198}{62}\approx98.52$.)

III. זר גדול בהנחה של 25 שקלים: $120-25=95$ שקלים. $95<98.5$ - הממוצע יורד, ולכן ההיגד ייתכן. (בדיקה: $\frac{5910+190}{62}\approx98.39$.)

טעות נפוצה: בהיגד II לחשב את המחיר אחרי ההנחה כ-45% מהמחיר, $180\cdot0.45=81<98.5$, ולקבוע שההיגד ייתכן. 81 שקלים הם גובה ההנחה, והלקוח משלם את 55% הנותרים.

בכל הוזלה המחיר יורד ב-5 ומספר הכרטיסים עולה ב-20; ההכנסה היא מחיר כפול מספר כרטיסים.

2 הוזלות: מחיר 110, הכנסה $110\cdot340=37{,}400$.

3 הוזלות: 360 כרטיסים, הכנסה $105\cdot360=37{,}800$.

4 הוזלות: מחיר 100, 380 כרטיסים, הכנסה $100\cdot380=38{,}000$.

טעות נפוצה: להמשיך את ההכנסה בתוספת קבועה של 800 (כמו מ-$36{,}000$ ל-$36{,}800$) ולמלא $37{,}600$, $38{,}400$, $39{,}200$. ההכנסה היא מכפלה, והתוספת שלה קטנה משורה לשורה.

מתחילים ב-120 ויורדים 5 שקלים בכל אחת מ-$x$ ההוזלות:

בדיקה: $x=3$ נותן 105, כמו בטבלה.

טעות נפוצה: לכתוב $120-x$ - ב-$x=3$ מתקבל 117 ולא 105.

מתחילים מ-300 כרטיסים ומוסיפים 20 בכל הוזלה:

בדיקה: $x=3$ נותן 360.

טעות נפוצה: לערבב בין הנתונים ולכתוב $300+5x$ (5 הוא גובה ההוזלה בשקלים, לא מספר הכרטיסים שנוספים) - ב-$x=3$ מתקבל 315 ולא 360.

הכנסה = מחיר כרטיס × מספר כרטיסים:

בדיקה: $x=1$: $115\cdot320=36{,}800$, כמו בטבלה.

(i) מחברת מחיר עם מספר כרטיסים - ב-$x=0$ היא נותנת 420. (iii) היא מנה - ב-$x=0$ היא נותנת $0.4$.

טעות נפוצה: לבחור בפונקציה (i), "כי מחברים את שני הביטויים". הצבה של $x=0$ נותנת 420 ולא $36{,}000$.