מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 18 ברמת בגרות

הגרף מתחיל בתחילת שנת 2017, בגובה 12,000.

מעל השנה 2021 הגרף נמצא בגובה 18,220.

לכן בתחילת 2017 היו בעיר 12,000 מכוניות חשמליות, ובתחילת 2021 היו 18,220.

טעות נפוצה: לקרוא את 18,220 כמספר המכוניות שנוספו, ולענות שבתחילת 2021 היו $12000+18220=30220$ מכוניות.

מתחילת 2017 עד תחילת 2021 עברו $t=2021-2017=4$ שנים.

מספר המכוניות החשמליות גדל פי 1.11 בכל שנה (בכ-11% בשנה).

טעות נפוצה: לספור את השנים 2017 עד 2021 כחמש שנים ולקבל $q=\sqrt[5]{1.5183}\approx1.087$.

מתחילת 2017 עד תחילת 2023 עוברות $t=6$ שנים:

(אפשר גם מ-2021: $18220\cdot1.11^2\approx22449$; ההפרש נובע מעיגול $q$.)

בתחילת 2023 היו בעיר כ-22,445 מכוניות חשמליות.

טעות נפוצה: להתחיל מ-18,220 (המספר ב-2021) ולהעלות בחזקת 6, כאילו סופרים מ-2017, ולקבל $18220\cdot1.11^6\approx34079$.

תחילת 2014 היא שלוש שנים לפני תחילת 2017. נסמן ב-$A$ את מספר המכוניות בתחילת 2014:

בתחילת 2014 היו בעיר כ-8,774 מכוניות חשמליות.

טעות נפוצה: לחשב אחורה "ירידה של 11% בשנה": $12000\cdot0.89^3\approx8460$. ירידה של 11% אינה מבטלת עלייה של 11%.

מסלול אחד: פוגע בלוח (0.85), ובתוך הלוח פוגע בעיגול הפנימי (0.4):

טעות נפוצה: לענות 0.4 - זו ההסתברות לפגוע במרכז רק בתנאי שהחץ פגע בלוח.

פחות מ-50 נקודות בלוח: אחד משלושת האזורים 10, 20, 30 - שלושה מסלולים זרים:

טעות נפוצה: לחבר $0.2+0.2+0.2=0.6$ ולעצור בלי לכפול בהסתברות לפגוע בלוח.

יותר מ-20 נקודות: האזורים 30 ו-50 (20 עצמו אינו "יותר מ-20").

טעות נפוצה: לכלול גם את האזור של 20 נקודות: $0.85\cdot(0.2+0.2+0.4)=0.68$.

שני חלקים זרים: פוגע וזוכה בפחות מ-50 (סעיף ב: 0.51), או לא פוגע בלוח ($1-0.85=0.15$):

בדיקה: זה המשלים של סעיף א: $1-0.34=0.66$.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחבר: $0.51\cdot0.15\approx0.077$.

הקו $DE$ מקביל לבסיס $BC$, והישר $AB$ חותך את שניהם. לכן $\angle ADE=\angle ABC$ (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).

הזווית $\angle A$ משותפת לשני המשולשים ($D$ על $AB$ ו-$E$ על $AC$).

יש שני זוגות של זוויות שוות, ולכן המשולשים $ABC$ ו-$ADE$ דומים לפי משפט הדמיון ז.ז. ההתאמה: $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לנמק רק בזווית המשותפת $A$ ("יש להם זווית משותפת ולכן הם דומים") - זווית שווה אחת אינה מספיקה. הזוג השני של זוויות שוות בא מכך ש-$DE\parallel BC$.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס, ולכן $BK=\frac{8}{2}=4$.

במשולש ישר הזווית $ABK$ ($\angle K=90^\circ$) היתר הוא $AB=8.5$. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס $BC=8$ כניצב: $\sqrt{8.5^2-8^2}=\sqrt{8.25}\approx2.87$ - הניצב במשולש $ABK$ הוא רק חצי מהבסיס.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 60 מ"ר.

לפי ההתאמה מסעיף א, הבסיס $BC$ מתאים לקטע $DE$ (שתיהן מול הזווית המשותפת $A$):

טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך, $\frac{3.2}{8}=0.4$, ולכתוב שיחס הדמיון בין $ABC$ ל-$ADE$ הוא $\frac25$ - יחס קטן מ-1 אומר ש-$ABC$ הוא המשולש הקטן, אבל $ABC$ הוא הקיר כולו.

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

דרך אחרת: הגובה של המשולש $ADE$ (מ-$A$ אל $DE$) מתאים ל-$AK$, ולכן הוא $7.5\cdot\frac25=3$, ו-$S_{ADE}=\frac{3.2\cdot3}{2}=4.8$.

טעות נפוצה: להקטין את השטח ביחס הדמיון עצמו ולא בריבועו: $30\cdot\frac25=12$.

החלק עם האחיזות הוא הקיר כולו פחות החלק הלבן:

טעות נפוצה: לחשב את שטח הטרפז עם הגובה של הקיר כולו, $AK=7.5$: $\frac{(8+3.2)\cdot7.5}{2}=42$ - יותר משטח הקיר כולו. הגובה של הטרפז הוא רק $7.5-3=4.5$, ואז $\frac{(8+3.2)\cdot4.5}{2}=25.2$.

$AD\perp BC$, ולכן המשולש $ABD$ ישר זווית ב-$D$, עם ניצבים $AD=30$, $BD=52$ ויתר $AB$:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\sqrt{52^2-30^2}\approx42.47$ - כאילו $BD$ הוא היתר. היתר הוא מול הזווית הישרה שב-$D$, כלומר $AB$.

במשולש $ABD$: מול הזווית $B$ - $AD=30$, ליד הזווית - $BD=52$.

טעות נפוצה: לכתוב $\tan\angle ABD=\frac{52}{30}$ ולקבל $60^\circ$ - זו הזווית $\angle BAD$.

המשולש $ABC$ ישר זווית ב-$A$ ($AC\perp AB$), ו-$BC$ הוא היתר. הזווית $B$ היא הזווית מסעיף ב.

$AB$ הוא הניצב שליד $B$:

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס, $BC=\frac{AB}{\sin30^\circ}\approx120.1$ - אבל $AB$ הוא הניצב שליד הזווית $B$, לא מולה.

נסמן ב-$y$ את מספר חבילות העטים. 11 קלסרים עולים $11\cdot7=77$ שקלים:

טעות נפוצה: לעצור אחרי החיסור ולענות 88 - 88 שקלים הם הסכום ששולם בעבור העטים, ומספר החבילות הוא $88:4$.

נסמן ב-$n$ את מספר הקלסרים; זה גם מספר חבילות העטים.

טעות נפוצה: לכתוב $7n+4=165$ - לשכוח שגם חבילות העטים נקנו $n$ פעמים - ולקבל $n=23$.

נסמן ב-$x$ את מספר הקלסרים וב-$y$ את מספר חבילות העטים.

המחיר החדש של חבילת עטים אחרי הוזלה של 25%:

מחסרים את המשוואה השנייה מהראשונה (האיבר $7x$ מתבטל):

מציבים במשוואה הראשונה:

בדיקה: $7\cdot9+3\cdot21=63+63=126$ ✓.

טעות נפוצה: לחשב את המחיר המוזל כ-25% מהמחיר, $4\cdot0.25=1$ שקל, במקום 75% ממנו - מהמשוואות $7x+4y=147$ ו-$7x+y=126$ מקבלים $3y=21$, כלומר $y=7$ ו-$x=17$; המחיר אחרי הוזלה של 25% הוא $4\cdot0.75=3$.

מחיר זוג נעלי ספורט: $\frac{3000}{30}=100$ שקל.

המחיר של נעלי הספורט גבוה ב-25% מהמחיר של הסנדלים, כלומר הוא 125% ממנו. נסמן ב-$x$ את המחיר של זוג סנדלים:

המחיר של זוג סנדלים היה 80 שקל.

טעות נפוצה: להוריד 25% מהמחיר של נעלי הספורט: $100\cdot0.75=75$ שקל. אבל ה-25% הם מהמחיר של הסנדלים.

טעות נפוצה: לכפול את מספר הסנדלים במחיר של נעלי הספורט: $45\cdot100=4500$ שקל.