מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 19 ברמת בגרות

הגרף מתחיל בתחילת 2015, ושם הוא חותך את הציר האנכי בערך המסומן 8,000.

לכן בתחילת 2015 היו בשמורה 8,000 צבאים: $A_0=8000$.

טעות נפוצה: להוסיף כבר שנה של גדילה ולענות $8000\cdot1.06=8480$. נקודת ההתחלה של הגרף היא תחילת 2015.

גידול של 6% בשנה: $q=1.06$. מתחילת 2015 עד תחילת 2019 עברו $t=4$ שנים.

בתחילת 2019 היו בשמורה כ-10,100 צבאים.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2015 עד 2019 כ-5 שנים ולחשב $8000\cdot1.06^5\approx10706$.

מחפשים $t$ שבו $8000\cdot1.06^t=11348$:

בניסוי וטעייה: $1.06^5\approx1.3382$ (קטן מדי), $1.06^6\approx1.4185$ (מתאים).

לכן $t=6$, כלומר בתחילת שנת $2015+6=2021$.

בדיקה: $8000\cdot1.06^6\approx11348.2\approx11348$.

טעות נפוצה: לחשב כאילו בכל שנה נוספים 6% מ-8,000, כלומר 480 צבאים: $\frac{11348-8000}{480}\approx6.97$, כ-7 שנים, ולענות "בתחילת 2022".

בתחילת 2015 מספר היעלים שווה למספר הצבאים, ולכן $A_0=8000$ (סעיף א(1)).

מתחילת 2015 עד תחילת 2018 עברו $t=3$ שנים:

מספר היעלים גדל בכל שנה ב-5%.

טעות נפוצה: לספור 4 שנים (2015, 2016, 2017, 2018) ולהוציא שורש רביעי: $q=\sqrt[4]{1.157625}\approx1.0373$, כלומר כ-3.73% בשנה.

מתחילים מ-8,000 בשנת 2015 וכופלים בכל שנה ב-$q=1.05$:

2016: $8000\cdot1.05=8400$

2017: $8400\cdot1.05=8820$

2018: $8820\cdot1.05=9261$ (מתאים לנתון)

2019: $9261\cdot1.05=9724.05\approx9724$

טעות נפוצה: לחלק את ההפרש $9261-8000=1261$ שווה בשווה בין 3 השנים (420.33 בכל שנה), ולמלא $2016\approx8420$, $2017\approx8841$, $2019\approx9681$ - השלמה ליניארית במקום כפל במקדם.

השכיח הוא הערך שהעמודה שלו הגבוהה ביותר.

העמודה הגבוהה ביותר (8 חברים) היא של 5 שעות אימון.

השכיח: 5 שעות.

טעות נפוצה: לענות 8 - זה מספר החברים שהתאמנו 5 שעות, לא מספר השעות השכיח.

כל עמודה מראה כמה חברים התאמנו מספר שעות מסוים. מחברים את גובהי כל העמודות:

טעות נפוצה: לספור את העמודות ולענות 8 - זה מספר הערכים השונים (1 עד 8 שעות), לא מספר החברים.

ממוצע משוקלל: כל מספר שעות כפול מספר החברים שהתאמנו אותו, הסכום מחולק ב-40:

טעות נפוצה: לחלק את הסכום 172 במספר העמודות (8) במקום במספר החברים, ולקבל $21.5$ - ממוצע שגדול מכל הערכים האפשריים.

יש 40 נתונים (זוגי), ולכן החציון הוא ממוצע הנתונים שבמקומות 20 ו-21 ברשימה מסודרת.

מצטבר: 1 שעה - מקומות 1-3; 2 שעות - 4-8; 3 שעות - 9-14; 4 שעות - 15-21.

במקומות 20 ו-21 נמצא 4:

החציון: $\frac{4+4}{2}=4$.

טעות נפוצה: לחשב חציון של גובהי העמודות ($2,3,3,5,6,6,7,8$) ולקבל $\frac{5+6}{2}=5.5$ - החציון הוא של מספרי השעות, לא של השכיחויות.

מספר השעות של חבר אחד עלה ב-2, ומספר החברים לא השתנה, ולכן סכום השעות גדל ב-2:

הממוצע גדל ב-0.05.

טעות נפוצה: להוסיף לממוצע את כל 2 השעות ולקבל 6.3 - התוספת מתחלקת בין 40 החברים.

אחרי התיקון 6 חברים התאמנו 4 שעות ו-7 חברים התאמנו 6 שעות.

מצטבר: 1 שעה - מקומות 1-3; 2 שעות - 4-8; 3 שעות - 9-14; 4 שעות - 15-20; 5 שעות - 21-28.

במקום ה-20 נמצא 4 ובמקום ה-21 נמצא 5:

החציון: $\frac{4+5}{2}=4.5$.

החציון השתנה, כי הנתון שתוקן היה במקום ה-21, אחד משני המקומות האמצעיים.

טעות נפוצה: להעתיק את ההיגיון של הממוצע ולהוסיף לחציון $\frac{2}{40}$ - לקבל $4.05$. החציון נקבע לפי הנתונים שבמקומות האמצעיים, לא לפי סכום הנתונים.

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון: $BK=\frac{48}{2}=24$ ס"מ.

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס: $\sqrt{51^2-48^2}=\sqrt{297}\approx17.23$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $2{,}160$ סמ"ר.

$BC$ מתאים ל-$EF$, ו-$ABC$ גדול פי 3:

טעות נפוצה: לכפול ב-3 ולקבל $EF=144$ ס"מ - אבל $DEF$ הוא השלט הקטן.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $3^2=9$.

(בדיקה: גובה $DEF$ הוא $\frac{45}{3}=15$, ו-$\frac{16\cdot15}{2}=120$.)

טעות נפוצה: לחלק ב-3 במקום ב-9 ולקבל $360$ סמ"ר.

היקף $ABC$: $51+51+48=150$ ס"מ. יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, ולכן היקף $DEF$ הוא $\frac{150}{3}=50$ ס"מ.

יחד: $200$ ס"מ. השרשרת: $1.8$ מטר $=180$ ס"מ, ו-$200>180$, ולכן השרשרת לא הספיקה.

טעות נפוצה: לחלק את ההיקף ב-9 (כמו את השטח): $\frac{150}{9}\approx16.67$, יחד כ-$166.67$ ס"מ, ולהסיק שהשרשרת הספיקה.

גובה הסוללה הוא הגובה $DE$ (שווה ל-$CF$).

במשולש ישר הזווית $AED$ ($\angle E=90^\circ$) ידועים היתר $AD=7.2$ והזווית $\angle A=38^\circ$; $DE$ הוא הניצב שמול הזווית:

גובה הסוללה: כ-$4.43$ מ'.

טעות נפוצה: לחשב $7.2\cdot\cos38^\circ\approx5.67$ ולקבל גובה של כ-$5.67$ מ'. זה אורך $AE$ - הניצב שליד הזווית, על הקרקע.

$AB=AE+EF+FB$, ו-$EF=DC=4$ כי $DEFC$ מלבן.

במשולש $AED$: $AE=7.2\cdot\cos38^\circ\approx5.67$.

במשולש ישר הזווית $CFB$: הניצב $CF=DE\approx4.43$ נמצא מול הזווית $B=62^\circ$, ו-$FB$ לידה:

רוחב הסוללה בתחתיתה: כ-$12.03$ מ'.

טעות נפוצה: לכפול בטנגנס: $FB=4.43\cdot\tan62^\circ\approx8.33$, ואז $AB\approx18$ מ'. הנעלם $FB$ נמצא במכנה של $\tan62^\circ=\frac{CF}{FB}$.

במשולש $CFB$: $CF\approx4.43$ מול הזווית $B=62^\circ$, ו-$BC$ הוא היתר:

אורך המדרון $BC$: כ-$5.02$ מ'.

טעות נפוצה: לכפול בסינוס: $BC=4.43\cdot\sin62^\circ\approx3.91$ מ' - יתר שקצר מהניצב $CF$, וזה בלתי אפשרי.

חבילת בסיס: $20+1.5\cdot40=20+60=80$ שקלים.

חבילת חיסכון: $5+2\cdot40=5+80=85$ שקלים.

חבילה ללא הגבלה: 65 שקלים, בלי קשר לכמות הגלישה.

טעות נפוצה: לשכוח את התשלום הקבוע ולענות 60 שקלים בחבילת בסיס ו-80 שקלים בחבילת חיסכון.

ישר I אופקי - התשלום לא תלוי בכמות הגלישה: החבילה ללא הגבלה.

ישרים II ו-III עולים. ישר II מתחיל נמוך יותר (תשלום קבוע 5 - חבילת חיסכון), וישר III מתחיל ב-20 (חבילת בסיס).

בדיקה לפי התלילות: ישר II תלול יותר, כי בחבילת חיסכון כל GB עולה יותר (2 לעומת 1.5).

טעות נפוצה: לקשר את הישר התלול (II) לחבילה עם התשלום הקבוע הגדול (בסיס), ולענות II - בסיס, III - חיסכון. התשלום הקבוע נקרא בנקודת ההתחלה, ושם ישר II נמוך יותר.

ישר I - ללא הגבלה: $y=65$, משוואה (2).

ישר II - חבילת חיסכון: תשלום קבוע 5 ושיפוע 2, משוואה (4) $y=5+2x$.

ישר III - חבילת בסיס: תשלום קבוע 20 ושיפוע 1.5, משוואה (1) $y=20+1.5x$.

משוואה (3) $y=20-1.5x$ מתארת ישר יורד, ולכן אינה מתאימה לאף ישר.

טעות נפוצה: לבחור לישר III את משוואה (3), כי מופיעים בה 20 ו-1.5. השיפוע שלה שלילי - התשלום היה קטן ככל שגולשים יותר.

באפליקציה משלמים 24 שקלים דמי הרשמה עוד לפני השעה הראשונה, ולכן הגרף שלה חותך את ציר המחיר מעל הראשית. בעמדה, בעבור 0 שעות משלמים 0 - הגרף יוצא מהראשית.

גרף I חותך את הציר האנכי מעל הראשית (והוא פחות תלול, 9 שקלים לשעה לעומת 12), ולכן הוא מתאר את האפליקציה.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II "כי באפליקציה משלמים יותר ולכן הקו תלול" - דמי ההרשמה הקבועים מזיזים את נקודת ההתחלה, והתלילות היא המחיר לשעה.

בעמדה כל שעה עולה 12 שקלים ואין תשלום קבוע: בעבור $x$ שעות המחיר הוא $12x$ - ביטוי 3.

ביטוי 2 הוא המחיר של שעה אחת, וביטוי 1 מוסיף דמי הרשמה שקיימים רק באפליקציה.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי 1, $12x+24$ - דמי ההרשמה שייכים לאפליקציה בלבד.

9 שקלים לכל שעה - $9x$, ועוד דמי הרשמה קבועים של 24 שקלים:

טעות נפוצה: לכתוב $24x+9$ - המחיר לשעה הוא שכופל את $x$.

בדיקה: $12\cdot8=96$ ו-$9\cdot8+24=96$.

טעות נפוצה: להעביר את $9x$ עם סימן פלוס, $21x=24$, ולקבל $x\approx1.14$.

טעות נפוצה: לשכוח את דמי ההרשמה, $9x=159$, ולקבל כ-17.67 שעות.

נסמן ב-$n$ את מספר השעות באפליקציה; גם בעמדה שכר יוסי $n$ שעות.

בדיקה: $120+90+24=234$.

טעות נפוצה: לשכוח את דמי ההרשמה, $21n=234$, ולקבל $n\approx11.14$.