מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 20 ברמת בגרות

מקדמי הדעיכה: משאית $q=1-0.08=0.92$, טנדר $q=1-0.04=0.96$. בכל שנה כופלים את ערך השנה הקודמת במקדם.

משאית: $180{,}000\cdot0.92=165{,}600$, $165{,}600\cdot0.92=152{,}352$, $152{,}352\cdot0.92=140{,}163.84$.

טנדר: $75{,}000\cdot0.96=72{,}000$, $72{,}000\cdot0.96=69{,}120$, $69{,}120\cdot0.96=66{,}355.20$.

ההפרשים: $105{,}000$, $93{,}600$, $83{,}232$, $73{,}808.64$.

טעות נפוצה: להשתמש במקדם $0.08$ (אחוז הירידה) במקום $0.92$, ולקבל אחרי שנה $180{,}000\cdot0.08=14{,}400$ ₪ - זה גובה הירידה, לא הערך שנשאר.

לפי הטבלה: $105{,}000\to93{,}600\to83{,}232\to73{,}808.64$ - ההפרש קטן.

המשאית יקרה יותר ויורדת באחוז גדול יותר, ולכן בכל שנה היא מאבדת יותר שקלים מהטנדר (בשנה הראשונה $14{,}400$ ₪ לעומת $3{,}000$ ₪), והפער נסגר.

טעות נפוצה: לבחור 2 ("ההפרש נשאר קבוע") כי "שני כלי הרכב יורדים באחוז קבוע". האחוז קבוע לכל רכב בנפרד, אבל האחוזים שונים וגם הערכים שונים - ולכן הירידה בשקלים שונה.

ערך הטנדר בעוד 7 שנים: כ-$56{,}359$ ₪.

טעות נפוצה: לחבר את האחוזים, $7\cdot4\%=28\%$, ולחשב $75{,}000\cdot0.72=54{,}000$ ₪.

מנסים: $0.92^2=0.8464$, $0.92^3\approx0.77869$, $0.92^4\approx0.71639$.

לכן $t=4$: החברה תמכור את המשאית כעבור 4 שנים.

טעות נפוצה: לבנות טבלה שבה ערך הקנייה ($180{,}000$) רשום כ"שנה 1", ואז הערך $128{,}950.73$ יוצא בשורה החמישית - ולענות "כעבור 5 שנים". הערך ההתחלתי הוא $t=0$.

ממשיכים את הטבלה של המשאית: כעבור 3 שנים $140{,}163.84$ ₪ - עדיין מעל $130{,}000$.

כעבור 4 שנים: $140{,}163.84\cdot0.92\approx128{,}950.73$ ₪ - מתחת ל-$130{,}000$.

הערך יורד לראשונה מתחת ל-$130{,}000$ ₪ כעבור 4 שנים.

טעות נפוצה: לענות 3 - השנה האחרונה שבה הערך עדיין מעל הסף.

"40 שקלים או יותר" - המחוג עצר באזור של 40, של 70 או של 100. אלה מאורעות זרים:

(אפשר גם במשלים: $1-P(10)=1-0.5=0.5$.)

טעות נפוצה: לקחת רק "יותר מ-40" (70 או 100) ולקבל $0.3$ - "או יותר" כולל את 40.

הסיבוב הראשון אינו משפיע על השני - המאורעות בלתי תלויים:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות, $0.2+0.2=0.4$ - "גם בפעם הראשונה וגם בשנייה" הוא מכפלה.

ארבעה מסלולים זרים: 10-10, 40-40, 70-70, 100-100.

טעות נפוצה: לשכוח את המסלול 10-10 ולקבל $0.09$ - גם הסכום הקטן ביותר הוא "אותו סכום".

הזוגות הסדורים שסכומם 140: $40+100$, $100+40$, $70+70$ (10 דורש 130, שאינו על הגלגל).

טעות נפוצה: לספור את הצירוף 40 ו-100 פעם אחת בלבד ולקבל $0.06$.

המשולש $BDC$ ישר זווית ($\sphericalangle D=90^\circ$), ו-$BC$ הוא היתר שלו.

$CD$ הוא הניצב שמול הזווית $\sphericalangle B=33^\circ$:

הרחפן נמצא בגובה של כ-789.7 מטרים מעל העמק.

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס ולקבל $1450\cdot\cos33^\circ\approx1216.1$ - זה הניצב $BD$, שליד הזווית.

$AB=BD+DA$.

במשולש $BDC$: $BD=1450\cdot\cos33^\circ\approx1216.1$.

במשולש $ADC$ ($\sphericalangle D=90^\circ$) ידוע הניצב $CD$ שמול הזווית $52^\circ$, ו-$AD$ הוא הניצב שלידה:

טעות נפוצה: לכפול בטנגנס: $AD=789.7\cdot\tan52^\circ\approx1010.8$, ולקבל $AB\approx2226.9$ מטרים.

הרחפן צריך לעבור את המרחק AB:

$73.3>60$, ולכן הרחפן לא יגיע אל התצפיתנית בפחות מדקה.

(בדקה הרחפן עובר רק $25\cdot60=1500$ מטרים.)

טעות נפוצה: לחשב את הזמן לפי $AD$ בלבד (המרחק עד הנקודה שמעל הרכב): $\frac{617}{25}\approx24.7$ שניות, ולענות שכן.

המרחק מהקטע נמדד לאורך האנך $CD$. במשולש $ADC$, $CD$ הוא הניצב שמול הזווית $A$ ו-$AC$ הוא היתר:

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס ולקבל $240\cos38^\circ\approx189.12$ - זה $AD$.

במשולש $BDC$: $CD$ מול הזווית $B$, ו-$BD=70$ לידה:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ($\frac{70}{147.76}$) ולקבל $25.35^\circ$ - הזווית שליד $C$.

טעות נפוצה: לחשב את $AD$ בסינוס ($\approx147.76$) ולקבל $AB\approx217.76$ מטרים.

נועה שטה מ-$B$ ל-$C$ וחזרה באותו מסלול: $2\cdot BC$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$BC\approx163.50$ מטרים ולשכוח את הדרך חזרה.

כל לקוח קנה כוס אחת בלבד, ולכן מספר הלקוחות הוא סכום השורה "מספר הלקוחות":

טעות נפוצה: לחבר את שורת המחירים, $8+12+15+20=55$ - זה סכום מחירים, לא מספר לקוחות.

כל מחיר נספר כמספר הלקוחות ששילמו אותו - ממוצע משוקלל:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים, $\frac{8+12+15+20}{4}=13.75$ - בלי להתחשב בכך שלכל מחיר מספר לקוחות שונה.

הגודל השכיח הוא הגודל שקנו בו הכי הרבה לקוחות: כוס גדולה, 44 לקוחות.

טעות נפוצה: לענות "44" - זו השכיחות של הגודל. השכיח הוא הערך עצמו, כלומר גודל הכוס.

טעות נפוצה: לענות 24% - 24 הוא מספר הלקוחות שקנו כוס קטנה, והאחוז מחושב מתוך 120 לקוחות ולא מתוך 100.

המחירים החדשים: כוס קטנה $8\cdot1.25=10$ (עלייה של 2 שקלים); כוס ענקית $20-4=16$ (ירידה של 4 שקלים).

השינוי בסכום הכולל ששילמו הלקוחות:

כוס קטנה: $+2\cdot24=+48$; כוס ענקית: $-4\cdot12=-48$.

הסכום הכולל השתנה ב-$48-48=0$ שקלים, ומספר הלקוחות לא השתנה, ולכן הממוצע לא השתנה:

טעות נפוצה: להשוות רק את השינוי בכוס אחת - הענקית הוזלה ב-4 שקלים והקטנה התייקרה רק ב-2 - ולהסיק שהממוצע קטן. ההתייקרות חלה על 24 לקוחות וההוזלה רק על 12, ולכן השינויים בסכום הכולל מתקזזים.

שעתיים ראשונות: 12 שקלים. שעות נוספות: $7-2=5$, כל אחת 8 שקלים:

טעות נפוצה: לשלם 8 שקלים על כל 7 השעות, בנוסף לסכום הקבוע: $12+7\cdot8=68$ שקלים.

$51>21$, ולכן שירה חנתה יותר משעתיים. נסמן ב-$k$ את מספר השעות הנוספות:

מספר השעות: $2+6=8$.

טעות נפוצה: לענות 6 שעות - אלה רק השעות שמעבר לשעתיים הראשונות.

בחניה של שעתיים או פחות המחירים שונים (12 מול 21 שקלים), ולכן הנהגים חנו יותר משעתיים.

מספר השעות: $2+3=5$.

טעות נפוצה: לענות 3 שעות (מספר השעות הנוספות). בחניה של 3 שעות משלמים 20 שקלים ב"מרכז" ו-26 שקלים ב"פארק".

בחניה של 5 שעות יש 3 שעות נוספות:

"מרכז": $12+3\cdot8=36$; "פארק": $21+3\cdot5=36$.

טעות נפוצה: להציב את מספר השעות הכולל במקום מספר השעות הנוספות: ב"פארק" $21+5\cdot5=46$ שקלים.

בלי המבצע: שעתיים ראשונות ועוד $6-2=4$ שעות נוספות:

$41>40$, ולכן המבצע משתלם לדנה (היא חוסכת שקל אחד).

טעות נפוצה: לשכוח את הסכום הקבוע ולחשב רק $4\cdot5=20$ שקלים, ולהסיק שהמבצע אינו משתלם.