דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 1 בדרך לבגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), בדרך לבגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · ממוצע משוקלל: דמי חניה

בחניון מסוים חונים שלושה סוגים של כלי רכב: מכוניות, אופנועים ומשאיות.

ביום מסוים חנו בחניון 200 כלי רכב.

60%60\% מכלי הרכב שחנו היו מכוניות. אחוז האופנועים היה שווה לאחוז המשאיות.

60%??‫מכוניות‬‫אופנועים‬‫משאיות‬

בטבלה שלפניכם מוצגים דמי החניה ליום, לפי סוג כלי הרכב.

סוג כלי הרכבמכוניתאופנועמשאית
דמי החניה (בשקלים)221245
א.

מצאו את אחוז האופנועים ואת אחוז המשאיות שחנו בחניון באותו יום.

ב.

מצאו כמה כלי רכב מכל סוג חנו בחניון באותו יום.

ג.

מצאו את דמי החניה הממוצעים לכלי רכב באותו יום.

ד.

בחודש שאחר כך עלו דמי החניה של משאית ל-55 שקלים, ושאר דמי החניה לא השתנו. מצאו את דמי החניה הממוצעים ביום שבו חנו בחניון כלי רכב באותם מספרים כמו בסעיף ב.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

20%20\% אופנועים, 20%20\% משאיות

100%−60%=40%100\%-60\%=40\%

אחוז האופנועים שווה לאחוז המשאיות, ולכן כל אחד מהם הוא חצי מ-40%40\%: 20%20\%.

טעות נפוצה: לתת 40%40\% גם לאופנועים וגם למשאיות - אז הסכום הוא 140%140\%.

סעיף ב

תשובה:

120 מכוניות, 40 אופנועים, 40 משאיות

מכוניות: 200⋅0.6=120אופנועים: 200⋅0.2=40משאיות: 200⋅0.2=40\text{מכוניות: }200\cdot0.6=120\qquad\text{אופנועים: }200\cdot0.2=40\qquad\text{משאיות: }200\cdot0.2=40

בדיקה: 120+40+40=200120+40+40=200.

טעות נפוצה: להמשיך מהטעות של 40%40\% לכל סוג ולקבל 80 אופנועים ו-80 משאיות - אבל אז יש 120+80+80=280120+80+80=280 כלי רכב, לא 200.

סעיף ג

תשובה:

24.6 שקלים

סכום דמי החניה של כל כלי הרכב, חלקי מספר כלי הרכב:

120⋅22+40⋅12+40⋅45=2,640+480+1,800=4,920120\cdot22+40\cdot12+40\cdot45=2{,}640+480+1{,}800=4{,}920
xˉ=4,920200=24.6\bar{x}=\frac{4{,}920}{200}=24.6

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שלושת המחירים שבטבלה, 22+12+453≈26.33\frac{22+12+45}{3}\approx26.33 - כך 40 המשאיות נספרות כמו 120 המכוניות.

סעיף ד

תשובה:

26.6 שקלים

רק המשאיות משלמות יותר: 10 שקלים יותר לכל אחת מ-40 המשאיות.

4,920+40⋅10=5,3204{,}920+40\cdot10=5{,}320
xˉ=5,320200=26.6\bar{x}=\frac{5{,}320}{200}=26.6

טעות נפוצה: להוסיף 10 שקלים לממוצע עצמו ולקבל 24.6+10=34.624.6+10=34.6 - התוספת היא רק ל-40 מתוך 200 כלי הרכב, ולכן הממוצע גדל רק ב-400200=2\frac{400}{200}=2 שקלים.

שאלה 2 · הסתברות: כרטיסי טריוויה

במשחק טריוויה יש חפיסה של 50 כרטיסי שאלות: 20 כרטיסים בהיסטוריה, והשאר כרטיסים במדעים.

אורי שולף באקראי כרטיס מהחפיסה, קורא אותו ומחזיר אותו לחפיסה. אחר כך דנה שולפת באקראי כרטיס מהחפיסה.

א.

מהי ההסתברות שאורי שלף כרטיס בהיסטוריה?

ב.

מהי ההסתברות ששניהם שלפו כרטיס בהיסטוריה?

ג.

מהי ההסתברות ששניהם שלפו כרטיס מאותו התחום? (היעזרו בדיאגרמת עץ.)

ד.

מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם שלף כרטיס בהיסטוריה?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

2050=25=0.4\frac{20}{50}=\frac25=0.4

יש 50 כרטיסים, 20 מהם בהיסטוריה:

P=2050=25=0.4P=\frac{20}{50}=\frac25=0.4

טעות נפוצה: לחלק במספר כרטיסי המדעים במקום במספר הכרטיסים כולו: 2030=23\frac{20}{30}=\frac23.

סעיף ב

תשובה:

425=0.16\frac{4}{25}=0.16

אורי החזיר את הכרטיס, ולכן דנה שולפת מאותה חפיסה מלאה - השליפות בלתי תלויות:

P=25⋅25=425=0.16P=\frac25\cdot\frac25=\frac{4}{25}=0.16

טעות נפוצה: לחבר במקום לכפול: 25+25=45\frac25+\frac25=\frac45 - "גם וגם" של מאורעות בלתי תלויים הוא מכפלה.

סעיף ג

תשובה:

1325=0.52\frac{13}{25}=0.52

בכל שליפה: היסטוריה 25\frac25, מדעים 35\frac35.

"אותו התחום" הוא שני מסלולים בעץ: שניהם היסטוריה, או שניהם מדעים:

P=25⋅25+35⋅35=425+925=1325=0.52P=\frac25\cdot\frac25+\frac35\cdot\frac35=\frac{4}{25}+\frac{9}{25}=\frac{13}{25}=0.52

טעות נפוצה: לחשב את המשלים של "שניהם היסטוריה", 1−425=21251-\frac{4}{25}=\frac{21}{25} - זה "לא שניהם היסטוריה", שכולל גם את המקרים שבהם אחד שלף היסטוריה והשני מדעים, ואלה אינם "אותו התחום".

סעיף ד

תשובה:

1225=0.48\frac{12}{25}=0.48

שני מסלולים: אורי היסטוריה ודנה מדעים, או אורי מדעים ודנה היסטוריה:

P=25⋅35+35⋅25=625+625=1225=0.48P=\frac25\cdot\frac35+\frac35\cdot\frac25=\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}=0.48

(בדיקה: אלה בדיוק המקרים שאינם "אותו התחום": 1−1325=12251-\frac{13}{25}=\frac{12}{25}.)

טעות נפוצה: לחשב מסלול אחד בלבד ולענות 625\frac{6}{25}.

שאלה 3 · דגלים משולשים דומים: גובה, שטח, היקף ושרשרת - מודרך

בחוג אומנות הכינו דגלים בצורת משולשים שווי שוקיים משני סוגים: דגל גדול (משולש ABC) ודגל קטן (משולש DEF), כמתואר בסרטוט.

נתון: אורך הבסיס AB של הדגל הגדול הוא 30 ס"מ. אורך השוק של הדגל הגדול הוא 25 ס"מ. CK הוא הגובה לבסיס AB.

ABCDEFK
א(1).

הסבירו מדוע AK=15AK=15 ס"מ, והראו כי CK=20CK=20 ס"מ.

א(2).

מצאו את השטח של הדגל הגדול.

המשולשים ABC ו-DEF דומים, והצלע AB מתאימה לצלע DE. יחס הדמיון בין המשולש הגדול למשולש הקטן הוא 5:3.

ב.

מצאו את אורך הבסיס DE של הדגל הקטן.

ג.

מצאו את היקף הדגל הקטן.

בחוג תלו את הדגלים בשרשרת באורך של 12 מטרים. הדגלים תלויים לפי הבסיסים שלהם, זה ליד זה וללא רווחים ביניהם. בשרשרת יש מספר שווה של דגלים גדולים ודגלים קטנים.

ד.

מצאו כמה דגלים מכל סוג יש בשרשרת.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א(1)

תשובה:

הוכחה: CK=252−152=20CK=\sqrt{25^2-15^2}=20

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן K אמצע AB: AK=302=15AK=\frac{30}{2}=15.

במשולש ישר הזווית AKC היתר הוא AC=25AC=25:

CK=252−152=625−225=400=20CK=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20

כנדרש.

טעות נפוצה: לחסר את האורכים עצמם במקום את ריבועיהם: 25−15=1025-15=10.

סעיף א(2)

תשובה:

300 סמ"ר

S=AB⋅CK2=30⋅202=300S=\frac{AB\cdot CK}{2}=\frac{30\cdot20}{2}=300

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 600 סמ"ר.

סעיף ב

תשובה:

DE=18DE=18 ס"מ

יחס הדמיון הוא היחס בין צלע בדגל הגדול לצלע המתאימה בדגל הקטן:

ABDE=53⇒DE=3⋅305=18\frac{AB}{DE}=\frac53\quad\Rightarrow\quad DE=\frac{3\cdot30}{5}=18

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב 30⋅53=5030\cdot\frac53=50.

סעיף ג

תשובה:

48 ס"מ

השוק של הדגל הקטן: 25⋅35=1525\cdot\frac35=15 ס"מ.

בדגל יש בסיס אחד ושתי שוקיים:

PDEF=18+2⋅15=48P_{DEF}=18+2\cdot15=48

(או: היקף הגדול 30+2⋅25=8030+2\cdot25=80, ויחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: 80⋅35=4880\cdot\frac35=48.)

טעות נפוצה: לחבר בסיס ושוק אחת בלבד, 18+15=3318+15=33.

סעיף ד

תשובה:

25 דגלים מכל סוג

הדגלים תלויים לפי הבסיסים וללא רווחים, ולכן אורך השרשרת הוא סכום הבסיסים.

ממירים: 12 מטרים = 1,200 ס"מ.

נסמן ב-nn את מספר הדגלים מכל סוג:

30n+18n=1200⇒48n=1200⇒n=2530n+18n=1200\quad\Rightarrow\quad48n=1200\quad\Rightarrow\quad n=25

טעות נפוצה: לחבר את ההיקפים של הדגלים במקום את הבסיסים: (80+48)n=1200(80+48)n=1200, n=9.375n=9.375 - מספר לא שלם, סימן שהמשוואה שגויה.

שאלה 4 · מגלשה: יתר וניצב מזווית, שטח, ומגלשה חדשה מאותו ראש

בגן שעשועים הוצבה מגלשה BCBC. BDBD הוא עמוד אנכי שגובהו 2.8 מטרים, ו-DD ו-CC נמצאים על הקרקע (ראו סרטוט). המגלשה יוצרת עם הקרקע זווית של 38∘38^\circ.

DCB
א.

מצאו את אורך המגלשה, BCBC.

ב.

מצאו את המרחק DCDC שעל הקרקע.

ג.

את המשולש BDCBDC שמתחת למגלשה מכסים בלוח צבעוני. מה שטח הלוח?

ד(1).

המגלשה הוחלפה במגלשה ארוכה יותר, שאורכה 5.5 מטרים. היא יוצאת מאותה נקודה BB שבראש העמוד ויורדת לנקודה חדשה על הקרקע, על המשך DCDC. מהי הזווית שבין המגלשה החדשה לקרקע?

ד(2).

בכמה מטרים התרחקה נקודת הסיום של המגלשה מן העמוד, לעומת המגלשה המקורית?

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

BC=2.8sin⁡38∘≈4.55BC=\frac{2.8}{\sin38^\circ}\approx4.55 מטרים

במשולש BDCBDC (ישר זווית ב-DD): BDBD מול הזווית CC, ו-BCBC הוא היתר. היחס בין ניצב מול הזווית ליתר הוא סינוס:

sin⁡38∘=2.8BC⇒BC=2.8sin⁡38∘≈4.55\sin38^\circ=\frac{2.8}{BC}\qquad\Rightarrow\qquad BC=\frac{2.8}{\sin38^\circ}\approx4.55

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק: 2.8⋅sin⁡38∘≈1.722.8\cdot\sin38^\circ\approx1.72 מטרים - קצר מהעמוד, וזה בלתי אפשרי ליתר.

סעיף ב

תשובה:

DC=2.8tan⁡38∘≈3.58DC=\frac{2.8}{\tan38^\circ}\approx3.58 מטרים

DCDC הוא הניצב שליד הזווית CC, ו-BDBD הניצב שמולה - טנגנס:

tan⁡38∘=2.8DC⇒DC=2.8tan⁡38∘≈3.58\tan38^\circ=\frac{2.8}{DC}\qquad\Rightarrow\qquad DC=\frac{2.8}{\tan38^\circ}\approx3.58

(בדיקה בפיתגורס: 4.5482−2.82≈3.58\sqrt{4.548^2-2.8^2}\approx3.58.)

טעות נפוצה: לכתוב DC=2.8⋅tan⁡38∘≈2.19DC=2.8\cdot\tan38^\circ\approx2.19 - הנעלם DCDC נמצא במכנה, ולכן מחלקים.

סעיף ג

תשובה:

כ-5.025.02 מ"ר

המשולש ישר זווית ב-DD, ולכן הניצבים BDBD ו-DCDC הם בסיס וגובה:

S=BD⋅DC2≈2.8⋅3.5842≈5.02S=\frac{BD\cdot DC}{2}\approx\frac{2.8\cdot3.584}{2}\approx5.02

טעות נפוצה: לקחת את המגלשה BCBC כבסיס עם הגובה BDBD: 4.55⋅2.82≈6.37\frac{4.55\cdot2.8}{2}\approx6.37. BDBD אינו מאונך ל-BCBC.

סעיף ד(1)

תשובה:

כ-30.6∘30.6^\circ

גם עכשיו יש משולש ישר זווית: העמוד BD=2.8BD=2.8 הוא הניצב שמול הזווית שבקרקע, והמגלשה החדשה (5.5) היא היתר.

sin⁡α=2.85.5≈0.509⇒α≈30.6∘\sin\alpha=\frac{2.8}{5.5}\approx0.509\qquad\Rightarrow\qquad\alpha\approx30.6^\circ

המגלשה הארוכה פחות תלולה: 30.6∘30.6^\circ במקום 38∘38^\circ.

טעות נפוצה: להשתמש בטנגנס עם היתר: tan⁡α=2.85.5\tan\alpha=\frac{2.8}{5.5}, ולקבל כ-27.0∘27.0^\circ. 5.5 הוא היתר, ולכן היחס הוא סינוס.

סעיף ד(2)

תשובה:

בכ-1.151.15 מטרים

המרחק החדש על הקרקע, לפי פיתגורס במשולש החדש:

5.52−2.82=22.41≈4.734\sqrt{5.5^2-2.8^2}=\sqrt{22.41}\approx4.734

(או 2.8tan⁡30.6∘≈4.73\frac{2.8}{\tan30.6^\circ}\approx4.73.)

המרחק הקודם (סעיף ב): DC≈3.584DC\approx3.584.

4.734−3.584≈1.154.734-3.584\approx1.15

נקודת הסיום התרחקה בכ-1.15 מטרים.

טעות נפוצה: להניח שהמרחק על הקרקע גדל באותה מידה כמו המגלשה: 5.5−4.548≈0.955.5-4.548\approx0.95 מטרים. כשהיתר מתארך, הניצב שעל הקרקע מתארך ביותר מכך, כי הזווית משתנה.

שאלה 5 · ממוצע מטבלת שכיחויות ומשוואה: סלים מסוג אחד

תלמידי כיתה ט' אספו תרומות למען בית תמחוי.

בטבלה שלפניכם מוצגת התפלגות התרומות לפי מספר התורמים.

גובה התרומה (בשקלים)102550
מספר התורמים304010

תלמידי כיתה ח' אספו סך הכול 1,2001{,}200 שקלים.

א.

מה היה מספר התורמים בכיתה ט'?

ב.

מצאו את גובה התרומה הממוצע בכיתה ט'.

ג.

מצאו את הסכום הכולל שאספו שתי הכיתות יחד.

ד.

בכל הכסף קנו התלמידים 6060 סלים זהים. בכל סל יש שקית אורז (1212 שקלים), עוגה (1818 שקלים) ושני בקבוקי שמן, שמחיר כל אחד מהם xx שקלים. הביעו באמצעות xx את מחיר הסל.

ה.

מצאו את xx.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

30+40+10=8030+40+10=80 תורמים

30+40+10=8030+40+10=80

טעות נפוצה: לחבר את גובהי התרומות: 10+25+50=8510+25+50=85.

סעיף ב

תשובה:

1,80080=22.5\frac{1{,}800}{80}=22.5 שקלים

xˉ=10⋅30+25⋅40+50⋅1080=300+1,000+50080=1,80080=22.5\bar x=\frac{10\cdot30+25\cdot40+50\cdot10}{80}=\frac{300+1{,}000+500}{80}=\frac{1{,}800}{80}=22.5

טעות נפוצה: לחשב 10+25+503≈28.33\frac{10+25+50}{3}\approx28.33 - ממוצע של הערכים בלי השכיחויות.

סעיף ג

תשובה:

1,800+1,200=3,0001{,}800+1{,}200=3{,}000 שקלים

כיתה ט' אספה 22.5⋅80=1,80022.5\cdot80=1{,}800 שקלים.

1,800+1,200=3,0001{,}800+1{,}200=3{,}000

טעות נפוצה: לחבר את הממוצע: 22.5+1,200=1,222.522.5+1{,}200=1{,}222.5.

סעיף ד

תשובה:

30+2x30+2x שקלים

12+18+x+x=30+2x12+18+x+x=30+2x

טעות נפוצה: לכתוב 30+x30+x - בסל יש שני בקבוקי שמן.

סעיף ה

תשובה:

x=10x=10 שקלים

60 סלים עלו בדיוק 3,0003{,}000 שקלים:

60(30+2x)=3,000⇒30+2x=50⇒x=1060(30+2x)=3{,}000\quad\Rightarrow\quad 30+2x=50\quad\Rightarrow\quad x=10

טעות נפוצה: לפתור עם הביטוי 30+x30+x ולקבל x=20x=20.

שאלה 6 · המודל הליניארי: שני חדרי כושר

בעיר יש שני חדרי כושר.

בחדר כושר א' משלמים דמי הרשמה של 300 שקלים, ועוד 120 שקלים לכל חודש.

בחדר כושר ב' משלמים דמי הרשמה של 60 שקלים, ועוד 180 שקלים לכל חודש.

א.

כמה ישלם מתאמן שמתאמן 5 חודשים בחדר כושר א', וכמה ישלם אם יתאמן 5 חודשים בחדר כושר ב'?

ב.

נסמן ב-xx את מספר החודשים. כתבו ביטוי אלגברי למחיר הכולל בכל אחד מחדרי הכושר.

ג.

אחרי כמה חודשים המחיר הכולל בשני חדרי הכושר יהיה שווה?

ד.

לפניכם הגרפים I ו-II של המחיר הכולל בשני חדרי הכושר לפי מספר החודשים. קבעו איזה גרף מתאר את חדר כושר א', ונמקו.

III
ה.

דנה מתכננת להתאמן 10 חודשים. באיזה חדר כושר המחיר הכולל יהיה נמוך יותר, ובכמה?

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

בחדר א': 900 שקלים; בחדר ב': 960 שקלים

א’: 300+120⋅5=900ב’: 60+180⋅5=960\text{א'}:\ 300+120\cdot5=900\qquad\text{ב'}:\ 60+180\cdot5=960

טעות נפוצה: לכפול גם את דמי ההרשמה במספר החודשים, 300⋅5+120=1,620300\cdot5+120=1{,}620 - דמי הרשמה משלמים פעם אחת.

סעיף ב

תשובה:

א': 300+120x300+120x; ב': 60+180x60+180x

המחיר הכולל = דמי הרשמה + מחיר לחודש ⋅\cdot מספר החודשים:

א’: y=300+120xב’: y=60+180x\text{א'}:\ y=300+120x\qquad\text{ב'}:\ y=60+180x

טעות נפוצה: להחליף בין הקבוע לשיפוע ולכתוב 120+300x120+300x - כאילו 300 שקלים משלמים בכל חודש.

סעיף ג

תשובה:

אחרי 4 חודשים

300+120x=60+180x⇒240=60x⇒x=4300+120x=60+180x\quad\Rightarrow\quad240=60x\quad\Rightarrow\quad x=4

בדיקה: 300+480=780300+480=780 ו-60+720=78060+720=780.

טעות נפוצה: לחבר את דמי ההרשמה במקום לחסר: 360=60x360=60x, ומקבלים x=6x=6.

סעיף ד

תשובה:

גרף I

בגרף I נקודת החיתוך עם הציר האנכי היא 300 - דמי ההרשמה של חדר כושר א'; בגרף II היא 60.

גם השיפוע מתאים: גרף I עולה פחות בתלילות (120 שקלים לחודש לעומת 180).

טעות נפוצה: לבחור בגרף II, כי הוא "מגיע לסכומים גבוהים יותר" בסוף הציר - מזהים לפי נקודת ההתחלה (x=0x=0) ולפי השיפוע.

סעיף ה

תשובה:

בחדר כושר א'; זול ב-360 שקלים

א’: 300+120⋅10=1,500ב’: 60+180⋅10=1,860\text{א'}:\ 300+120\cdot10=1{,}500\qquad\text{ב'}:\ 60+180\cdot10=1{,}860

1,860−1,500=3601{,}860-1{,}500=360, ולכן חדר כושר א' זול יותר ב-360 שקלים.

טעות נפוצה: לבחור בחדר כושר ב' "כי דמי ההרשמה בו נמוכים" - אחרי 4 חודשים (סעיף ג) חדר כושר א' כבר זול יותר.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.