דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 7 ברמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), ברמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · גדילה מעריכית: שתי תרביות חיידקים שמשתוות

במעבדה מגדלים שתי תרביות חיידקים: תרבית א ותרבית ב.

מספר החיידקים בכל אחת מן התרביות גדל בצורה מעריכית.

הגידול של שתי התרביות החל בשעה 6:00. בשעה זו היו בתרבית ב יותר חיידקים מאשר בתרבית א.

בשעה 9:00 היה מספר החיידקים בשתי התרביות זהה.

גרפים I-II בסרטוט שלפניכם מתארים את מספר החיידקים בכל אחת מן התרביות, לפי השעה.

‫השעה‬‫מספר החיידקים‬4,0004,599III6:007:008:009:0010:0011:0012:0013:00
א.

איזה מן הגרפים, גרף I או גרף II, מתאר את מספר החיידקים בתרבית א?

ב.

על פי הגרף, כמה חיידקים היו בתרבית א בשעה 6:00?

נתון כי מספר החיידקים בתרבית א גדל ב-10% בכל שעה.

ג.

מצאו כמה חיידקים היו בתרבית א בשעה 9:00.

ד.

מצאו בכמה אחוזים גדל מספר החיידקים בתרבית ב בכל שעה.

ה.

מצאו כמה חיידקים היו בתרבית ב בשעה 13:00.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

גרף II

הנתון מתייחס לשעה 6:00: אז בתרבית ב היו יותר חיידקים.

בשעה 6:00 (על הציר האנכי) גרף II מתחיל ב-4,000 וגרף I מתחיל ב-4,599.

תרבית א היא הקטנה בשעה 6:00, ולכן היא מתוארת על ידי גרף II.

טעות נפוצה: להסתכל על הצד הימני של הסרטוט, שם גרף II גבוה יותר, ולענות "גרף I" - הנתון על הגודל מתייחס לשעה 6:00.

סעיף ב

תשובה:

4,000 חיידקים

לפי סעיף א, תרבית א מתוארת על ידי גרף II.

קוראים את נקודת החיתוך של גרף II עם הציר האנכי (השעה 6:00): 4,000.

טעות נפוצה: לקרוא את נקודת ההתחלה של גרף I ולענות 4,599 - זו תרבית ב.

סעיף ג

תשובה:

5,324 חיידקים

גדילה של 10% בכל שעה: q=1.1q=1.1.

מ-6:00 עד 9:00 עברו 3 שעות, t=3t=3.

A3=4,000⋅1.13=4,000⋅1.331=5,324A_3=4{,}000\cdot1.1^3=4{,}000\cdot1.331=5{,}324

טעות נפוצה: להוסיף שלוש פעמים 10% מהכמות ההתחלתית (4,000⋅1.34{,}000\cdot1.3) ולקבל 5,200 - בכל שעה הגידול הוא 10% מהכמות של אותה שעה.

סעיף ד

תשובה:

כ-5% (q≈1.05q\approx1.05)

בשעה 9:00 מספרי החיידקים שווים, ולכן לפי סעיף ג גם בתרבית ב היו בשעה 9:00 5,324 חיידקים.

תרבית ב התחילה ב-4,599 חיידקים (גרף I), ועד 9:00 עברו 3 שעות:

4,599⋅q3=5,3244{,}599\cdot q^3=5{,}324
q3=5,3244,599≈1.1576q^3=\frac{5{,}324}{4{,}599}\approx1.1576
q=1.15763≈1.05q=\sqrt[3]{1.1576}\approx1.05

מספר החיידקים בתרבית ב גדל בכ-5% בכל שעה.

טעות נפוצה: לעצור ב-q3≈1.158q^3\approx1.158 ולענות "כ-15.8%" - זו הגדילה בשלוש שעות יחד; צריך שורש שלישי.

סעיף ה

תשובה:

כ-6,471 חיידקים

מ-6:00 עד 13:00 עברו 7 שעות, t=7t=7.

A7=4,599⋅1.057≈6,471A_7=4{,}599\cdot1.05^7\approx6{,}471

אפשר גם להתחיל מ-9:00 (5,324 חיידקים) עם t=4t=4: 5,324⋅1.054≈6,4715{,}324\cdot1.05^4\approx6{,}471.

טעות נפוצה: לספור t=4t=4 מ-9:00 אבל להציב את הכמות של 6:00: 4,599⋅1.054≈5,5904{,}599\cdot1.05^4\approx5{,}590 - הכמות ההתחלתית וספירת הזמן חייבות להתחיל באותה שעה.

שאלה 2 · הסתברות: שני מחסומי רכבת בדרך לעבודה

דנה נוסעת כל יום מביתה לעבודה.

בדרכה היא צריכה לעבור שני מפגשים של כביש עם מסילת רכבת, ובכל מפגש יש מחסום.

ההסתברות שבמפגש הראשון המחסום יהיה פתוח היא 0.7.

ההסתברות שבמפגש השני המחסום יהיה פתוח היא 0.2.

המחסומים פועלים באופן בלתי תלוי זה בזה, ודנה עוצרת במפגש רק כשהמחסום סגור.

א.

דנה הגיעה למפגש הראשון. מהי ההסתברות שהמחסום סגור?

ב.

מהי ההסתברות שדנה תעבור את שני המפגשים ללא עצירה?

ג.

מהי ההסתברות שדנה תעצור במפגש הראשון ולא תעצור במפגש השני?

ד.

מהי ההסתברות שדנה תעצור במפגש אחד לפחות?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

0.3

המחסום פתוח או סגור, ולכן "סגור" הוא המאורע המשלים של "פתוח":

P(סגור במפגש הראשון)=1−0.7=0.3P(\text{סגור במפגש הראשון})=1-0.7=0.3

טעות נפוצה: להשתמש בנתון של המפגש השני ולקבל 1−0.2=0.81-0.2=0.8.

סעיף ב

תשובה:

0.14

דנה עוברת ללא עצירה רק אם בשני המפגשים המחסום פתוח.

המחסומים בלתי תלויים, ולכן כופלים:

P=0.7⋅0.2=0.14P=0.7\cdot0.2=0.14

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות, 0.7+0.2=0.90.7+0.2=0.9 - בחיתוך של מאורעות בלתי תלויים כופלים.

סעיף ג

תשובה:

0.06

"תעצור במפגש הראשון" = המחסום הראשון סגור, בהסתברות 0.3 (סעיף א).

"לא תעצור במפגש השני" = המחסום השני פתוח, בהסתברות 0.2.

P=0.3⋅0.2=0.06P=0.3\cdot0.2=0.06

טעות נפוצה: להחליף בין המפגשים - פתוח בראשון וסגור בשני - ולקבל 0.7⋅0.8=0.560.7\cdot0.8=0.56.

סעיף ד

תשובה:

0.86

"תעצור במפגש אחד לפחות" הוא המשלים של "לא תעצור באף מפגש" (סעיף ב):

P=1−0.14=0.86P=1-0.14=0.86

(בדיקה בשלושה מסלולים: 0.3⋅0.2+0.7⋅0.8+0.3⋅0.8=0.06+0.56+0.24=0.860.3\cdot0.2+0.7\cdot0.8+0.3\cdot0.8=0.06+0.56+0.24=0.86.)

טעות נפוצה: לחשב רק עצירה בשני המפגשים, 0.3⋅0.8=0.240.3\cdot0.8=0.24 - "לפחות אחד" כולל גם עצירה במפגש אחד בלבד.

שאלה 3 · דמיון משולשים: שתי מדשאות - צלעות, שטח ומחיר

בפארק יש שתי מדשאות בצורת משולשים ישרי זווית (∠E=∠B=90∘\angle E=\angle B=90^\circ), כמתואר בסרטוט.

המדשאה הגדולה (△ABC\triangle ABC) והמדשאה הקטנה (△DEF\triangle DEF) הן משולשים דומים, ∠F=∠C\angle F=\angle C.

יחס הדמיון בין המשולש ABCABC ובין המשולש DEFDEF הוא 5:25:2.

נתון: אורך הצלע BCBC הוא 3030 מטרים.

DEFABC
א.

מצאו את אורך הצלע EFEF.

נתון: אורך הצלע DFDF הוא 1313 מטרים.

ב.

מצאו את אורך הצלע DEDE.

ג.

מצאו את השטח הכולל של שתי המדשאות.

מחיר מטר רבוע (מ"ר) של מרבדי דשא הוא 4040 שקלים.

העירייה קנתה מרבדי דשא בגודל המתאים לשתי המדשאות, וקיבלה הנחה של 15%15\% מן המחיר המקורי.

ד.

מצאו כמה שילמה העירייה עבור מרבדי הדשא.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

EF=12EF=12 מטרים

∠B=∠E\angle B=\angle E ו-∠C=∠F\angle C=\angle F, ולכן גם ∠A=∠D\angle A=\angle D. BCBC מול ∠A\angle A ו-EFEF מול ∠D\angle D - צלעות מתאימות.

BCEF=52⇒EF=30⋅25=12\frac{BC}{EF}=\frac52\quad\Rightarrow\quad EF=30\cdot\frac25=12

טעות נפוצה: לכפול ב-52\frac52 ולקבל EF=75EF=75 - צלע של המדשאה הקטנה לא יכולה להיות ארוכה מהצלע המתאימה בגדולה.

סעיף ב

תשובה:

DE=5DE=5 מטרים

במשולש DEFDEF הזווית EE ישרה, ולכן DFDF הוא היתר.

DE2=DF2−EF2=132−122=169−144=25⇒DE=5DE^2=DF^2-EF^2=13^2-12^2=169-144=25\quad\Rightarrow\quad DE=5

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים ולקבל 132+122≈17.69\sqrt{13^2+12^2}\approx17.69 - יותר מהיתר עצמו.

סעיף ג

תשובה:

30+187.5=217.530+187.5=217.5 מ"ר

SDEF=5⋅122=30S_{DEF}=\frac{5\cdot12}{2}=30
SABCSDEF=(52)2=254⇒SABC=30⋅254=187.5\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4}\quad\Rightarrow\quad S_{ABC}=30\cdot\frac{25}{4}=187.5

(או: AB=5⋅52=12.5AB=5\cdot\frac52=12.5, SABC=12.5⋅302=187.5S_{ABC}=\frac{12.5\cdot30}{2}=187.5.)

השטח הכולל: 30+187.5=217.530+187.5=217.5 מ"ר.

טעות נפוצה: לכפול את השטח ביחס הדמיון 52\frac52 במקום בריבועו: 30⋅52=7530\cdot\frac52=75, ושטח כולל של 105105 מ"ר.

סעיף ד

תשובה:

217.5⋅40⋅0.85=7,395217.5\cdot40\cdot0.85=7{,}395 שקלים

המחיר המקורי: 217.5⋅40=8,700217.5\cdot40=8{,}700 שקלים.

הנחה של 15%15\%: משלמים 85%85\%.

8,700⋅0.85=7,3958{,}700\cdot0.85=7{,}395

טעות נפוצה: לכפול ב-0.150.15 ולקבל 1,3051{,}305 שקלים - זו ההנחה, לא התשלום.

שאלה 4 · טריגונומטריה: שני כבלים שמייצבים תורן

תורן של אנטנה ניצב על קרקע מישורית בנקודה AA.

כדי לייצב את התורן, מתחו שני כבלים מנקודה BB שעל התורן אל הקרקע, משני צדי התורן.

כבל אחד מחובר לקרקע בנקודה CC, והכבל השני מחובר לקרקע בנקודה DD הנמצאת על המשך הקטע CACA, כמתואר בסרטוט.

אורך הכבל BCBC הוא 9 מטרים.

הכבל BCBC יוצר עם הקרקע זווית של 62∘62^\circ (∠ACB\angle ACB).

CADB
א.

מצאו את אורך הקטע CACA.

ב.

מצאו את אורך הקטע ABAB.

נתון כי אורך הכבל BDBD הוא 8.5 מטרים.

ג.

מצאו את גודל הזווית שהכבל BDBD יוצר עם הקרקע (∠BDA\angle BDA).

ד.

מצאו את המרחק בין שתי הנקודות שבהן מחוברים הכבלים לקרקע (CDCD).

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

CA≈4.23CA\approx4.23 מטרים

המשולש ABCABC ישר זווית ב-AA (התורן ניצב), והכבל BCBC הוא היתר. CACA הוא הניצב שליד הזווית 62∘62^\circ:

CA=9⋅cos⁡62∘≈9⋅0.4695≈4.23CA=9\cdot\cos62^\circ\approx9\cdot0.4695\approx4.23

טעות נפוצה: לחלק: 9cos⁡62∘≈19.17\frac{9}{\cos62^\circ}\approx19.17 - ארוך מהכבל עצמו.

סעיף ב

תשובה:

AB≈7.95AB\approx7.95 מטרים

ABAB הוא הניצב שמול הזווית 62∘62^\circ:

AB=9⋅sin⁡62∘≈9⋅0.8829≈7.95AB=9\cdot\sin62^\circ\approx9\cdot0.8829\approx7.95

טעות נפוצה: בפיתגורס לחבר במקום לחסר: 92+4.232≈9.94\sqrt{9^2+4.23^2}\approx9.94.

סעיף ג

תשובה:

∠BDA≈69.2∘\angle BDA\approx69.2^\circ

במשולש ישר הזווית ABDABD: היתר BD=8.5BD=8.5, והניצב שמול הזווית DD הוא AB≈7.946AB\approx7.946:

sin⁡∠BDA=7.9468.5≈0.9349⇒∠BDA≈69.2∘\sin\angle BDA=\frac{7.946}{8.5}\approx0.9349\quad\Rightarrow\quad\angle BDA\approx69.2^\circ

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס: cos⁡∠BDA=7.9468.5\cos\angle BDA=\frac{7.946}{8.5}, ומקבלים 20.8∘20.8^\circ - זו הזווית בין הכבל לתורן.

סעיף ד

תשובה:

CD≈7.24CD\approx7.24 מטרים

AD=8.5⋅cos⁡69.2∘≈3.017AD=8.5\cdot\cos69.2^\circ\approx3.017

(או: AD=8.52−7.952≈3.01AD=\sqrt{8.5^2-7.95^2}\approx3.01.)

AA נמצאת בין CC ל-DD:

CD=CA+AD≈4.225+3.017≈7.24CD=CA+AD\approx4.225+3.017\approx7.24

טעות נפוצה: לחסר, CA−AD≈1.21CA-AD\approx1.21, כאילו שני הכבלים באותו צד של התורן.

שאלה 5 · ממוצע, חציון ודיאגרמת עיגול: חנות אופניים

חנות אופניים מוכרת חמישה דגמים של אופניים.

בטבלה שלפניכם מוצגים המחירים (בשקלים) של הדגמים בחנות.

הדגםילדיםמתקפלעירוניספורטשטח
מחיר אופניים (בשקלים)9501,4001,7502,6003,300
א.

מצאו את המחיר הממוצע של חמשת הדגמים.

החנות הוסיפה דגם שישי - אופניים היברידיים.

נתון כי לאחר הוספת הדגם החדש, המחיר הממוצע של ששת הדגמים הוא 2,050 שקלים.

ב(1).

מצאו את המחיר של הדגם ההיברידי.

ב(2).

מצאו את החציון של מחירי ששת הדגמים.

חברה להשכרת אופניים הזמינה מהחנות 200 אופניים סך הכול, מארבעה דגמים.

בדיאגרמת העיגול שלפניכם מוצגת ההתפלגות של האופניים שהזמינה החברה לפי הדגם.

40%??24%‫עירוני (40)‬‫שטח‬‫מתקפל‬‫ספורט (24)‬

נתון כי מספר אופני השטח שהזמינה החברה גדול פי 3 ממספר האופניים המתקפלים שהזמינה.

ג(1).

מצאו כמה אחוזים מכל האופניים שהזמינה החברה היו אופניים מתקפלים.

ג(2).

מצאו כמה שילמה החברה בעבור כל האופניים המתקפלים שהזמינה.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

2,000 שקלים

xˉ=950+1,400+1,750+2,600+3,3005=10,0005=2,000\bar x=\frac{950+1{,}400+1{,}750+2{,}600+3{,}300}{5}=\frac{10{,}000}{5}=2{,}000

טעות נפוצה: לענות 1,750 - זה המחיר האמצעי (החציון), לא הממוצע.

סעיף ב(1)

תשובה:

2,300 שקלים

סכום ששת המחירים: 6⋅2,050=12,3006\cdot2{,}050=12{,}300. סכום חמשת המחירים הקודמים: 10,00010{,}000.

מחיר הדגם ההיברידי=12,300−10,000=2,300\text{מחיר הדגם ההיברידי}=12{,}300-10{,}000=2{,}300

טעות נפוצה: לחשב 2,000+x2=2,050\frac{2{,}000+x}{2}=2{,}050 ולקבל x=2,100x=2{,}100 - הממוצע 2,000 מייצג חמישה מחירים.

סעיף ב(2)

תשובה:

2,025 שקלים

מסדרים לפי גודל: 950, 1,400, 1,750, 2,300, 2,600, 3,300950,\ 1{,}400,\ 1{,}750,\ 2{,}300,\ 2{,}600,\ 3{,}300.

מספר הנתונים זוגי - החציון הוא ממוצע הנתונים במקומות 3 ו-4:

1,750+2,3002=2,025\frac{1{,}750+2{,}300}{2}=2{,}025

טעות נפוצה: לצרף את 2,300 בסוף הרשימה בלי לסדר מחדש: 1,750+2,6002=2,175\frac{1{,}750+2{,}600}{2}=2{,}175.

סעיף ג(1)

תשובה:

9%

לדגמים שטח ומתקפל יחד: 100%−40%−24%=36%100\%-40\%-24\%=36\%.

נסמן ב-xx את האחוז של המתקפלים; האחוז של אופני השטח הוא 3x3x:

x+3x=36⇒4x=36⇒x=9x+3x=36\quad\Rightarrow\quad4x=36\quad\Rightarrow\quad x=9

טעות נפוצה: לחלק את 36% ב-3 ולקבל 12% - "פי 3" מחלק את 36% לארבעה חלקים שווים.

סעיף ג(2)

תשובה:

25,200 שקלים

מספר האופניים המתקפלים: 0.09⋅200=180.09\cdot200=18.

מחיר אופניים מתקפלים לפי הטבלה: 1,400 שקלים.

18⋅1,400=25,20018\cdot1{,}400=25{,}200

טעות נפוצה: להכפיל את האחוז במחיר, 9⋅1,400=12,6009\cdot1{,}400=12{,}600 - 9 הוא אחוז, לא מספר אופניים.

שאלה 6 · כרטיסים לגן חיות: טבלת שכיחויות לפי מחיר וממוצע משוקלל

בגן חיות פורסם המחירון הבא:

"מחירי כרטיסי הכניסה ליום הפתוח:

בני 2 עד 12: 35 שקלים

בני 12 עד 18: 45 שקלים

בני 18 עד 67: 60 שקלים

בני יותר מ-67: 35 שקלים

לילדים עד גיל 2 הכניסה חינם, אך גם הם חייבים להזמין כרטיס."

לפניכם דיאגרמה המציגה את מספר המבקרים שהזמינו כרטיסים מראש, לפי גיל המבקרים.

0102030405060701035257020‫עד גיל 2‬2-1212-1818-67‫יותר מ-67‬‫גיל המבקרים‬‫מספר המבקרים‬
א.

חשבו את המספר הכולל של המבקרים שהזמינו כרטיסים מראש.

ב.

כמה מבקרים הזמינו כרטיס במחיר 35 שקלים?

ג.

העתיקו את הטבלה שלפניכם למחברת, והשלימו אותה על פי הדיאגרמה.

מחיר כרטיס הכניסה (בשקלים)0354560
מספר המבקרים שהזמינו כרטיסים מראש????
ד.

חשבו את המחיר הממוצע של הכרטיסים שהוזמנו מראש.

אב בן 40 ובתו בת 8 לא הזמינו כרטיסים מראש, וקנו כרטיסים בכניסה לגן החיות.

ה.

האם לאחר הצטרפותם מחיר הכרטיס הממוצע גדל, קטן או לא השתנה? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

160 מבקרים

10+35+25+70+20=16010+35+25+70+20=160

טעות נפוצה: לא לספור את הילדים עד גיל 2 (כי הכרטיס שלהם חינם) ולקבל 150. גם הם הזמינו כרטיס.

סעיף ב

תשובה:

55 מבקרים

לפי המחירון, 35 שקלים משלמים בשתי קבוצות: בני 2 עד 12 (35 מבקרים) ובני יותר מ-67 (20 מבקרים).

35+20=5535+20=55

טעות נפוצה: לספור רק את בני 2 עד 12 ולענות 35 - שוכחים שגם בני יותר מ-67 משלמים 35 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

מחיר 0: 10; מחיר 35: 55; מחיר 45: 25; מחיר 60: 70

מחיר 0: עד גיל 2 - 10.

מחיר 35: בני 2 עד 12 ובני יותר מ-67 - 35+20=5535+20=55 (סעיף ב).

מחיר 45: בני 12 עד 18 - 25.

מחיר 60: בני 18 עד 67 - 70.

מחיר כרטיס הכניסה (בשקלים)0354560
מספר המבקרים10552570

בדיקה: 10+55+25+70=16010+55+25+70=160.

טעות נפוצה: לרשום במחיר 35 רק את 35 הילדים, ואז סכום השכיחויות 140 ולא 160.

סעיף ד

תשובה:

7,250160≈45.31\frac{7{,}250}{160}\approx45.31 שקלים

xˉ=0⋅10+35⋅55+45⋅25+60⋅70160=0+1,925+1,125+4,200160=7,250160≈45.31\bar x=\frac{0\cdot10+35\cdot55+45\cdot25+60\cdot70}{160}=\frac{0+1{,}925+1{,}125+4{,}200}{160}=\frac{7{,}250}{160}\approx45.31

טעות נפוצה: לחלק רק במספר המבקרים שמשלמים (150): 7,250150≈48.33\frac{7{,}250}{150}\approx48.33. גם הכרטיסים בחינם הם כרטיסים שהוזמנו ונספרים במכנה.

סעיף ה

תשובה:

גדל (הממוצע החדש כ-45.34 שקלים)

האב בן 40 משלם 60 שקלים, והבת בת 8 משלמת 35 שקלים.

הממוצע של שני המחירים שנוספו: 60+352=47.5\frac{60+35}{2}=47.5, גבוה מהממוצע הקיים (45.31) - ולכן הממוצע גדל.

xˉחדש=7,250+60+35162=7,345162≈45.34>45.31\bar x_{\text{חדש}}=\frac{7{,}250+60+35}{162}=\frac{7{,}345}{162}\approx45.34>45.31

טעות נפוצה: להסתכל רק על הבת - "35 קטן מהממוצע, לכן הממוצע קטן". צריך להשוות את הממוצע של שני המחירים שנוספו לממוצע הקיים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.