מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 8 ברמת בגרות

בבריכה א' מספר הדגים גדל, ולכן הגרף שלה עולה; בבריכה ב' מספר הדגים קטן, ולכן הגרף שלה יורד.

גם נקודת ההתחלה מתאימה: בשבוע 0 גרף 2 גבוה (4,096 דגים) וגרף 1 נמוך (625 דגים).

לכן גרף 1 (עולה, מתחיל נמוך) - בריכה א', וגרף 2 (יורד, מתחיל גבוה) - בריכה ב'.

טעות נפוצה: להתאים לפי הגובה בסוף הסרטוט - גרף 1 גבוה בשבוע 8, ולכן לשייך אותו לבריכה ב' שהתחילה עם יותר דגים - ולקבל את ההתאמה ההפוכה (גרף 1 - ב', גרף 2 - א').

מספר הדגים בשתי הבריכות שווה בנקודת החיתוך של הגרפים.

הקו המקווקו העובר בנקודת החיתוך פוגש את ציר השבועות בשבוע 4.

לכן כעבור 4 שבועות היה בשתי הבריכות אותו מספר דגים.

טעות נפוצה: לענות "5 שבועות" - השבוע הראשון שבו בבריכה א' יש יותר דגים - במקום הזמן שבו המספרים שווים: נקודת החיתוך עצמה, בשבוע 4.

בשבוע 4 מספר הדגים בשתי הבריכות שווה, ובבריכה א' ידוע המקדם: גדילה של 20% היא $q=1.2$.

בשבוע זה היו 1,296 דגים בכל אחת מהבריכות.

טעות נפוצה: להוסיף בכל שבוע 20% מהכמות ההתחלתית (125 דגים): $625+4\cdot125=1125$ - זה תהליך ליניארי, לא מעריכי.

בבריכה ב': $A_0=4096$, וכעבור 4 שבועות היו בה 1,296 דגים (סעיף ב).

מוציאים שורש רביעי: $q=\sqrt[4]{0.31640625}=0.75$.

$q=0.75=1-0.25$, ולכן מספר הדגים קטן ב-25% מדי שבוע.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה הכוללת, $\frac{4096-1296}{4096}\approx68.4\%$, ולחלק ב-4 שבועות - כ-17.1% לשבוע.

מחפשים את מספר השבועות השלם הראשון שבו $625\cdot1.2^t>2000$. בניסוי וטעייה:

לכן ההעברה החלה כעבור 7 שבועות.

טעות נפוצה: לעצור ב-$t=6$, כי $1866$ "קרוב ל-2,000" - אבל בשבוע 6 עדיין לא היו בבריכה יותר מ-2,000 דגים.

בבריכה ב': $A_0=4096$, $q=0.75$ (סעיף ג), $t=7$ (סעיף ד(1)).

לפני ההעברה היו בבריכה ב' כ-547 דגים.

טעות נפוצה: להתחיל מ-1,296 הדגים של שבוע 4 ובכל זאת להעלות בחזקת 7: $1296\cdot0.75^7\approx173$. משבוע 4 עד שבוע 7 עוברים רק 3 שבועות.

בקופסה 5 כרטיסים, ולכל אחד מהם אותו סיכוי לצאת. רק על אחד מהם רשום 4:

טעות נפוצה: להשוות את הכרטיס הרצוי לשאר הכרטיסים ("1 מול 4") ולענות $\frac14$.

הכרטיס מוחזר, ולכן שתי ההוצאות בלתי תלויות, ובכל אחת ההסתברות לכרטיס 5 היא $\frac15$.

טעות נפוצה: לחבר, $\frac15+\frac15=\frac25$ - ל"גם וגם" כופלים.

הזוגות הסדורים שסכומם 7: $(2,5)$, $(5,2)$, $(3,4)$, $(4,3)$.

(הזוגות $(1,6)$ ו-$(6,1)$ אינם אפשריים - אין כרטיס 6.)

ההסתברות של כל זוג היא $\frac15\cdot\frac15=\frac1{25}$:

טעות נפוצה: לספור רק זוגות לא מסודרים, $\{2,5\}$ ו-$\{3,4\}$, ולקבל $\frac2{25}$ - $(2,5)$ ו-$(5,2)$ הם שני מסלולים שונים.

בקופסה נשארו 4 כרטיסים: 1, 2, 3, 5. בכל הוצאה ההסתברות לכל כרטיס היא $\frac14$.

הזוגות הסדורים שסכומם 7: $(2,5)$, $(5,2)$. הזוגות עם 4 כבר אינם אפשריים.

טעות נפוצה: לעדכן את המכנה אבל להמשיך לספור את $(3,4)$ ו-$(4,3)$, ולקבל $\frac4{16}=\frac14$ - הכרטיס 4 כבר לא בקופסה.

המשולש $ABC$ ישר זווית ב-$C$ (המגדל מאונך לקרקע), ו-$AB$ הוא היתר:

טעות נפוצה: לחסר: $\sqrt{144-25}=\sqrt{119}\approx10.91$ - קצר מ-$AC$, אף על פי ש-$AB$ הוא היתר.

$\angle ACB=90^\circ$ ו-$\angle AED=90^\circ$, כי המגדל ועמוד התמיכה מאונכים לקרקע.

$\angle A$ משותפת לשני המשולשים.

לכן המשולשים דומים לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לנמק בזווית המשותפת בלבד - זווית אחת שווה אינה מספיקה לדמיון.

$AB$ מתאימה ל-$AD$:

טעות נפוצה: לחלק $\frac{AC}{AD}=\frac{12}{5.2}\approx2.31$ - צלעות שאינן מתאימות.

$DE$ מתאים ל-$BC$, ו-$ADE$ הוא המשולש הקטן:

טעות נפוצה: לכפול: $5\cdot2.5=12.5$ - גבוה מהמגדל.

טעות נפוצה: לענות $AE=4.8$ - זה המרחק מסוף המגלשה לעמוד, לא מהעמוד למגדל.

במשולש $ADE$ ($\angle E=90^\circ$): $AD$ יתר, $DE$ מול הזווית $A$.

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס ולקבל $3\cos38^\circ\approx2.36$ - זה $AE$.

$DEFC$ מלבן (שני עמודים מאונכים בין בסיסים מקבילים), ולכן $CF=DE\approx1.85$.

במשולש $CFB$ ($\angle F=90^\circ$):

טעות נפוצה: להניח שהשוקיים שוות ולענות $BC=AD=3$.

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס, $\sin\angle B=\frac{1.85}{4.5}$, ולקבל $\approx24.2^\circ$ - $BF$ אינו היתר.

$AE=3\cos38^\circ\approx2.36$, $EF=DC=1.8$ (מלבן), $FB=4.5$.

טעות נפוצה: לשכוח את $EF$ ולקבל $AB\approx6.86$.

ישר III אופקי - התשלום קבוע בלי קשר למספר הכניסות: מנוי עונתי, אפשרות ג'.

ישר II יוצא מראשית הצירים - בלי כניסות לא משלמים: אפשרות א'.

ישר I חותך את הציר האנכי מעל הראשית - יש תשלום גם בלי כניסות (דמי ההרשמה): אפשרות ב'. הוא גם פחות תלול מ-II, כי 25 שקלים לכניסה פחות מ-40.

טעות נפוצה: להתאים לישר II (התלול יותר) את אפשרות ב' "כי בה משלמים יותר כסף". התלילות נקבעת לפי המחיר לכניסה, ובאפשרות א' הוא הגבוה (40).

התשלום = תשלום קבוע + (מחיר לכניסה) $\cdot x$.

ישר I (אפשרות ב'): $y=300+25x$ - משוואה (3).

ישר II (אפשרות א'): $y=40x$ - משוואה (1).

ישר III (אפשרות ג'): $y=1{,}500$ - משוואה (2).

משוואה (4) מתארת 300 שקלים לכל כניסה ועוד 25 שקלים קבועים - לא אחת האפשרויות.

טעות נפוצה: לבחור לישר I את משוואה (4), $y=300x+25$. דמי ההרשמה הם המספר הקבוע, ומקדם ה-$x$ הוא המחיר לכניסה.

מציבים $x=18$:

אפשרות א': $40\cdot18=720$ שקלים.

אפשרות ב': $300+25\cdot18=300+450=750$ שקלים.

אפשרות ג': $1{,}500$ שקלים.

הזולה ביותר: אפשרות א' (720 שקלים).

טעות נפוצה: לבחור באפשרות ב' כי המחיר לכניסה בה נמוך יותר (25), בלי לחשב סכום כולל. ב-18 כניסות דמי ההרשמה עוד לא משתלמים.

בדיקה: $40\cdot20=800$, $300+25\cdot20=800$. ✓

טעות נפוצה: לחלק את דמי ההרשמה במחיר כניסה באפשרות א': $\frac{300}{40}=7.5$ כניסות. צריך לחלק בהפרש המחירים לכניסה, $40-25=15$.

טעות נפוצה: לכפול ב-30 גם את התשלום הקבוע: $(2{,}400+95)\cdot30=74{,}850$.

המקדם של $x$ הוא התשלום לכל אורח (95), והמספר הבודד הוא התשלום הקבוע (2,400): $2{,}400+95x$ - ביטוי II.

בדיקה: עם $x=30$ ביטוי II נותן $5{,}250$, כמו בסעיף א.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי I - בו כל אורח עולה 2,400 שקלים.

תשלום קבוע 1,500 ועוד 140 לכל אחד מ-$x$ האורחים:

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $140+1{,}500x$.

בדיקה: בשני האולמות העלות היא $4{,}300$ שקלים.

טעות נפוצה: לענות 4,300 - זו העלות המשותפת, אבל השאלה מבקשת את מספר האורחים $x$.

טעות נפוצה: לכתוב רק תשלום קבוע אחד, $2{,}400+235x=9{,}540$, ולקבל $x\approx30.4$ - כל אולם גובה תשלום קבוע משלו.