מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 2 בדרך לבגרות

מחברים את גובהי העמודות:

בכיתה 25 תלמידים.

טעות נפוצה: לחבר את הציונים שעל הציר, $5+6+7+8+9+10=45$.

כופלים כל ציון במספר התלמידים שקיבלו אותו ומחברים:

מחלקים במספר התלמידים:

כנדרש.

טעות נפוצה: לחשב את הממוצע של ששת הציונים שעל הציר בלי השכיחויות, $\frac{45}{6}=7.5$.

יש 25 נתונים (מספר אי-זוגי), ולכן החציון הוא האיבר האמצעי: האיבר ה-13 ברשימה המסודרת (12 נתונים לפניו ו-12 אחריו).

עד הציון 7 יש 12 תלמידים, ולכן האיבר ה-13 הוא 8. החציון הוא 8.

טעות נפוצה: לבחור את הציון שהעמודה שלו הכי גבוהה, 7 - זה השכיח, לא החציון.

סכום הציונים החדש: $190+9=199$. מספר התלמידים החדש: 26.

$7.65>7.6$, הממוצע גדל - כצפוי, כי הציון שנוסף (9) גבוה מהממוצע.

טעות נפוצה: לחשב את הממוצע של שני המספרים 7.6 ו-9, $\frac{7.6+9}{2}=8.3$ - כאילו לציון החדש משקל שווה לכל הכיתה.

עכשיו יש 26 נתונים (מספר זוגי), ולכן החציון הוא ממוצע האיבר ה-13 והאיבר ה-14.

השכיחות של הציון 9 גדלה ל-6. השכיחויות המצטברות: 2, 5, 12, 18, 24, 26.

האיברים 13 עד 18 הם 8, ולכן האיבר ה-13 והאיבר ה-14 הם 8:

החציון לא השתנה.

טעות נפוצה: לחשב את החציון החדש כממוצע של החציון הקודם והציון החדש, $\frac{8+9}{2}=8.5$ - החציון נקבע לפי המיקום ברשימה המסודרת, לא בממוצע.

טעות נפוצה: לחשוב שיש שתי תוצאות ("פרס" או "נסו שוב") ולענות $\frac12$ - לכל תוצאה מספר שונה של גזרות.

צריך פרס גם בסיבוב הראשון וגם בשני. הסיבובים בלתי תלויים, ולכן כופלים:

טעות נפוצה: לחבר, $0.25+0.25=0.5$.

בדיוק פרס אחד יכול לקרות בשני סדרים:

פרס ואז "נסו שוב": $0.25\cdot0.75=0.1875$

"נסו שוב" ואז פרס: $0.75\cdot0.25=0.1875$

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד ולקבל $0.1875$ - הפרס יכול להגיע בסיבוב הראשון או בשני.

בשני הסיבובים "נסו שוב": $P=0.75\cdot0.75=0.5625$

בדיקה: $0.0625+0.375+0.5625=1$.

טעות נפוצה: לחשב $1-0.0625=0.9375$ - זו ההסתברות שדנה לא תזכה בשני פרסים, כלומר "לכל היותר פרס אחד", לא "אף פרס".

$DE\parallel BC$ ו-$AB$ חותך את שניהם, ולכן $\sphericalangle ADE=\sphericalangle ABC$ (זוויות מתאימות).

בנוסף, $\sphericalangle A$ משותפת לשני המשולשים.

שני זוגות של זוויות שוות - לכן $\triangle ABC\sim\triangle ADE$ (ז.ז.).

טעות נפוצה: לנמק "$\sphericalangle ADE=\sphericalangle ABC$ כי המשולש שווה שוקיים" - שוויון השוקיים נותן $\sphericalangle ABC=\sphericalangle ACB$, לא את השוויון המבוקש.

$DE$ מתאים ל-$BC$, והמשולש $ADE$ הוא הקטן:

טעות נפוצה: לכפול ב-3 ולקבל $DE=36$ - ארוך מ-$BC$, אף על פי שהפס נמצא בתוך השלט.

$G$ אמצע $DE$, ולכן $DG=\frac{DE}{2}=\frac42=2$.

טעות נפוצה: לקחת חצי מהבסיס הגדול, $\frac{BC}{2}=6$ - $G$ היא אמצע $DE$, לא אמצע $BC$.

המשולש $ADG$ ישר זווית ב-$G$, והיתר שלו הוא $AD$. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר ריבועים: $\sqrt{6.25+4}\approx3.2$ - יוצא ניצב ארוך מהיתר $AD$.

טעות נפוצה: להשתמש בשוק $AD$ כגובה: $\frac{4\cdot2.5}{2}=5$ סמ"ר - $AD$ אינו מאונך ל-$DE$; הגובה לבסיס הוא $AG$.

במשולש $ADE$ ($\angle E=90^\circ$): $AD$ יתר, $DE$ מול הזווית $A$.

טעות נפוצה: לחלק בסינוס במקום לכפול: $DE=\frac{2.5}{\sin50^\circ}\approx3.26$ - ניצב ארוך מהיתר $AD$, וזה בלתי אפשרי. הנעלם $DE$ נמצא במונה של $\sin50^\circ=\frac{DE}{AD}$, ולכן כופלים.

$AE$ הוא הניצב שליד הזווית $A$:

טעות נפוצה: לכפול את $DE$ בטנגנס הזווית, $1.92\cdot\tan50^\circ\approx2.28$. $\tan50^\circ=\frac{DE}{AE}$, ולכן אם יוצאים מ-$DE$ צריך לחלק: $\frac{1.92}{\tan50^\circ}\approx1.61$.

$DEFC$ מלבן, ולכן $CF=DE\approx1.92$. במשולש $CFB$ ($\angle F=90^\circ$):

טעות נפוצה: להפוך את השבר, $\tan\angle B=\frac{2}{1.92}$, ולקבל $\approx46.2^\circ$ - זו הזווית $BCF$.

$AB=AE+EF+FB$, ו-$EF=DC=3$ (מלבן).

טעות נפוצה: לשכוח את $EF$ ולקבל $AB\approx3.61$.

ישר II יוצא מראשית הצירים: בלי חניה לא משלמים - אפשרות א'.

ישר I חותך את הציר האנכי מעל הראשית: גם לפני שעה אחת משלמים 30 שקלים - אפשרות ב'.

טעות נפוצה: להתאים את הישר התלול יותר (II) לאפשרות ב' "כי יש בה גם תשלום קבוע". התלילות נקבעת לפי המחיר לשעה, והוא גבוה יותר באפשרות א' (12).

התשלום = תשלום קבוע + (מחיר לשעה) $\cdot x$.

אפשרות א': אין תשלום קבוע - $y=12x$.

אפשרות ב': $y=30+7x$.

טעות נפוצה: לכתוב לאפשרות ב' $y=30x+7$ - כך משלמים 30 שקלים לשעה. מקדם ה-$x$ הוא המחיר לשעה (7).

מציבים $x=4$:

אפשרות א': $12\cdot4=48$ שקלים. אפשרות ב': $30+7\cdot4=58$ שקלים.

אפשרות א' זולה יותר.

טעות נפוצה: לבחור באפשרות ב' כי המחיר לשעה בה נמוך יותר, בלי לחשב את הסכום הכולל.

מציבים $x=6$ בשני הביטויים:

אפשרות א': $12\cdot6=72$. אפשרות ב': $30+7\cdot6=30+42=72$.

התשלום שווה - 72 שקלים. בגרף זו נקודת החיתוך של שני הישרים.

טעות נפוצה: להציב לא נכון באפשרות ב' ולחשב $(30+7)\cdot6=222$, כאילו גם התשלום הקבוע משולם בכל שעה.

מציבים $y=100$ בביטוי של אפשרות ב':

רונית חנתה 10 שעות. באפשרות א' הייתה משלמת $12\cdot10=120$ שקלים - יותר. כלומר הבחירה שלה הייתה נכונה: אחרי 6 שעות (נקודת השוויון) אפשרות ב' זולה יותר, כי בכל שעה נוספת היא זולה ב-5 שקלים.

טעות נפוצה: לחלק את כל התשלום במחיר לשעה, $\frac{100}{7}\approx14.3$ שעות, בלי להפחית קודם את התשלום הקבוע של 30 שקלים.

$x=0$ או $-x+6=0$, כלומר $x=6$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$x$ ולקבל רק $(6,0)$.

המקדם של $x^2$ הוא $-1$, שלילי, ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה - גרף 2.

טעות נפוצה: לבחור בגרף 1 בגלל המקדם החיובי 6 של $x$ - כיוון הפתיחה נקבע לפי המקדם של $x^2$.

הקדקוד: $(3,9)$ - הכדור מגיע לגובה מקסימלי של 9 מטרים.

טעות נפוצה: לחשב $-3^2$ כ-$+9$ ולקבל $f(3)=27$.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן עולה משמאל לקדקוד. הכדור עף רק מ-$x=0$, ולכן: $0<x<3$.

טעות נפוצה: לענות $x<3$ - בערכי $x$ שליליים הכדור לא עף (שם הפרבולה מתחת לקרקע).

טעות נפוצה: לחשב $-1^2$ כ-$+1$ ולקבל 7 מטרים.