מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 10 בדרך לבגרות

בתחילת המדידה (על הציר האנכי) גרף II מתחיל ב-160 וגרף I מתחיל ב-250.

בבריכה א השטח בהתחלה קטן יותר, ולכן היא מתוארת על ידי גרף II.

טעות נפוצה: להסתכל על הצד הימני של הסרטוט, שם גרף II גבוה יותר, להסיק שגרף II הוא בריכה ב (זו ש"גדולה") ולענות "גרף I" - הנתון על הגודל מתייחס לתחילת המדידה.

בריכה ב מתוארת על ידי גרף I, שחותך את הציר האנכי ב-250.

טעות נפוצה: לענות 160 מ"ר - זו נקודת ההתחלה של גרף II, בריכה א.

גדילה של 50% ביום: $q=1.5$. כעבור יומיים: $t=2$.

טעות נפוצה: להוסיף פעמיים 50% מהשטח ההתחלתי ($160+80+80$) ולקבל 320 מ"ר - ביום השני מוסיפים 50% מהשטח של היום הראשון (240), לא מ-160.

כעבור יומיים השטחים שווים, ולכן לפי סעיף ג גם בבריכה ב השטח כעבור יומיים הוא 360 מ"ר.

$q=1.2$, כלומר גדילה של 20% בכל יום.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\frac{360}{250}=1.44$ ולהסיק "גדילה של 44% ביום" - זו הגדילה ביומיים יחד.

$q=1.2$ (סעיף ד), $t=5$:

טעות נפוצה: להוסיף כל יום 20% מהשטח ההתחלתי ($250+5\cdot50$) ולקבל 500 מ"ר - זו גדילה קבועה (ליניארית), לא מעריכית.

שחקן א:

שחקן ב:

טעות נפוצה: לחשב את הממוצע של שחקן ב כאמצע בין הנמוך לגבוה: $\frac{9+22}{2}=15.5$. הממוצע מתחשב בכל חמשת המשחקים.

קודם מסדרים את הנתונים לפי גודל: $9, 12, 16, 16, 22$.

יש $5$ נתונים, ולכן החציון הוא הנתון במקום השלישי: $16$.

הערך $16$ מופיע פעמיים וכל השאר פעם אחת, ולכן השכיח $16$.

טעות נפוצה: לקחת את הנתון האמצעי ברשימה כפי שהיא כתובה, בלי לסדר: $16, 9, \underline{22}, 16, 12$, ולענות שהחציון $22$.

הממוצע של שחקן א הוא $15$ (סעיף א). מחשבים את ריבוע הסטייה של כל נתון מהממוצע:

$(14-15)^2=1$, $(19-15)^2=16$, $(11-15)^2=16$, $(16-15)^2=1$, $(15-15)^2=0$.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולקבל $6.8$ - זו השונות, ולא סטיית התקן.

הממוצע של שחקן ב הוא $15$. ריבועי הסטיות:

$(16-15)^2=1$, $(9-15)^2=36$, $(22-15)^2=49$, $(16-15)^2=1$, $(12-15)^2=9$.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 במקום ב-5 (מספר הנתונים): $\sqrt{\frac{96}{4}}=\sqrt{24}\approx4.90$.

לשני השחקנים אותו ממוצע (15), ולכן ההבדל ביניהם הוא בפיזור.

סטיית התקן של שחקן א $\approx2.61$ ושל שחקן ב $\approx4.38$.

סטיית תקן קטנה יותר פירושה שהתוצאות קרובות יותר לממוצע - שחקן א קבוע יותר.

טעות נפוצה: לבחור בשחקן ב בנימוק שאצלו יש שכיח (16 פעמיים) ולכן "הוא חוזר על אותה תוצאה". השכיח לא מודד פיזור; סטיית התקן של ב גדולה כמעט פי 2.

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו: $\angle B=\angle C=\frac{180^\circ-\angle A}{2}$, ובאותו אופן $\angle E=\angle F=\frac{180^\circ-\angle D}{2}$.

$\angle A=\angle D$, ולכן גם $\angle B=\angle E$.

במשולשים יש שתי זוויות שוות ($\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$), ולכן הם דומים לפי משפט ז.ז.

טעות נפוצה: לנמק "שני המשולשים שווי שוקיים, ולכן הם דומים" - שני משולשים שווי שוקיים אינם בהכרח דומים (למשל זווית ראש של $30^\circ$ וזווית ראש של $100^\circ$).

יחס הדמיון הוא היחס בין צלעות מתאימות - כאן השוקיים:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\frac{50}{30}\approx1.67$ - יחס של הקטן לגדול קטן מ-1.

כל צלע בדגלון הקטן היא 0.6 מהצלע המתאימה בגדול:

טעות נפוצה: להחסיר את הפרש השוקיים ($50-30=20$) ולקבל $EF=40-20=20$ ס"מ.

סכום ההיקפים:

טעות נפוצה: לספור בכל משולש רק שוק אחת: $(50+40)+(30+24)=144$ ס"מ.

$AB=400$ מ' הוא היתר, ו-BC הוא הניצב שמול הזווית $12^\circ$:

טעות נפוצה: להשתמש בטנגנס ולקבל $400\cdot\tan12^\circ\approx85.0$ מ' - טנגנס מקשר בין שני הניצבים, ו-400 הוא היתר.

AC הוא הניצב שליד הזווית:

טעות נפוצה: לחלק בקוסינוס במקום לכפול: $\frac{400}{\cos12^\circ}\approx408.9$ מ' - יוצא ניצב ארוך מהיתר.

עכשיו הגובה (הניצב שמול הזווית) נתון, והאורך לאורך השביל (היתר) הוא הנעלם:

טעות נפוצה: לכפול בסינוס במקום לחלק: $50\cdot\sin12^\circ\approx10.4$ מ'.

טעות נפוצה: לענות 75% - סכום שתי הגזרות הנתונות, ולא ההשלמה שלהן ל-100%.

גבינה: $0.45\cdot80=36$. טונה: $0.30\cdot80=24$. ביצה: $0.25\cdot80=20$.

בדיקה: $36+24+20=80$.

טעות נפוצה: לרשום את האחוזים (45, 30, 25) כמספר הכריכים - סכומם 100 ולא 80.

ממוצע משוקלל - כל מחיר כפול מספר הכריכים שנמכרו במחיר הזה:

טעות נפוצה: לחלק את סכום המחירים 984 במספר סוגי הכריכים (3) במקום במספר הכריכים (80), ולקבל $328$ שקלים לכריך.

מסדרים את 80 המחירים מהקטן לגדול: 10 שקלים - מקומות 1-36; 12 שקלים - מקומות 37-56; 16 שקלים - מקומות 57-80.

80 נתונים, ולכן החציון הוא ממוצע הנתונים במקומות ה-40 וה-41. שניהם 12:

טעות נפוצה: לענות 10 - המחיר שמופיע הכי הרבה פעמים. זה השכיח, לא החציון.

כל הכריכים שנוספו נמכרו ב-10 שקלים, פחות מהממוצע הקודם (12.3), ולכן הממוצע קטן.

בדיקה:

טעות נפוצה: לחשוב שאם נמכרו יותר כריכים הממוצע בהכרח גדל, ולענות "גדל". הממוצע תלוי במחיר של מה שנוסף, לא בכמות.

העמודה הגבוהה ביותר (7 תלמידים) היא של 2 ספרים.

טעות נפוצה: לענות 7 - זה מספר התלמידים שקראו 2 ספרים, לא מספר הספרים השכיח.

מספר התלמידים: $3+6+7+3+1=20$.

טעות נפוצה: לחלק את סכום המכפלות במספר העמודות (5) במקום במספר התלמידים (20) - ומקבלים $\frac{33}{5}=6.6$, יותר מהערך הגדול ביותר בדיאגרמה.

20 תלמידים - החציון הוא ממוצע האיבר ה-10 והאיבר ה-11.

שכיחויות מצטברות: 0 ספרים - 3; עד 1 - 9; עד 2 - 16.

האיברים ה-10 וה-11 הם שניהם 2, והחציון הוא 2.

טעות נפוצה: לסדר את גובהי העמודות (1, 3, 3, 6, 7) ולקחת את האמצעי - ולענות 3. החציון הוא של מספרי הספרים, לא של השכיחויות.

הממוצע $1.65$. ריבועי הסטיות כפול השכיחות:

טעות נפוצה: לחשב את סטיית התקן של הערכים 0, 1, 2, 3, 4 בלי שכיחויות - ומקבלים $\sqrt2\approx1.41$.