מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 11 בדרך לבגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), בדרך לבגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · גדילה ודעיכה: ציפורים בשני איים

באי א' היו בתחילת המחקר 256 ציפורים, ובכל שנה גדל מספר הציפורים באי ב-50%.
באי ב' היו בתחילת המחקר 1,024 ציפורים, ומספר הציפורים באי זה קטן בכל שנה באחוז קבוע.
כעבור שנתיים היה מספר הציפורים בשני האיים שווה.

א.

מצאו כמה ציפורים היו באי א' כעבור שנה אחת וכעבור שנתיים.

ב.

מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הציפורים באי ב' בכל שנה. היעזרו בכך שכעבור שנתיים מספר הציפורים בשני האיים שווה.

ג.

כמה ציפורים יהיו באי ב' כעבור 5 שנים מתחילת המחקר?

ד.

כעבור כמה שנים מתחילת המחקר יהיו לראשונה באי א' יותר מ-2,000 ציפורים?

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

כעבור שנה: 384; כעבור שנתיים: 576

גדילה של 50% בכל שנה: כופלים בכל שנה ב-q=1.5q=1.5q=1.5 את הכמות של השנה הקודמת.
256⋅1.5=384,384⋅1.5=576256\cdot1.5=384,\qquad384\cdot1.5=576256⋅1.5=384,384⋅1.5=576
כעבור שנה היו 384 ציפורים, וכעבור שנתיים 576.
טעות נפוצה: להוסיף בשנה השנייה שוב 128 ציפורים (50% מהכמות ההתחלתית) ולקבל 384+128=512384+128=512384+128=512 - בשנה השנייה מחשבים 50% מ-384.

סעיף ב

תשובה:

ב-25% בכל שנה

כעבור שנתיים היו גם באי ב' 576 ציפורים (כמו באי א', לפי סעיף א).
1024⋅q2=576⇒q2=5761024=0.5625⇒q=0.5625=0.751024\cdot q^2=576\quad\Rightarrow\quad q^2=\frac{576}{1024}=0.5625\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt{0.5625}=0.751024⋅q2=576⇒q2=1024576​=0.5625⇒q=0.5625​=0.75
q=0.75=1−0.25q=0.75=1-0.25q=0.75=1−0.25, ולכן מספר הציפורים קטן ב-25% בכל שנה.
טעות נפוצה: לעצור ב-5761024=0.5625\frac{576}{1024}=0.56251024576​=0.5625 בלי להוציא שורש, ולענות שמספר הציפורים קטן בכל שנה ב-43.75%43.75\%43.75% - זו הירידה בשנתיים יחד.

סעיף ג

תשובה:

243 ציפורים

באי ב': A0=1024A_0=1024A0​=1024, q=0.75q=0.75q=0.75, t=5t=5t=5:
A5=1024⋅0.755=1024⋅0.2373046875=243A_5=1024\cdot0.75^5=1024\cdot0.2373046875=243A5​=1024⋅0.755=1024⋅0.2373046875=243
כעבור 5 שנים יהיו באי ב' 243 ציפורים.
טעות נפוצה: להתחיל מ-576 הציפורים של שנה 2 ולהעלות בחזקת 5: 576⋅0.755≈137576\cdot0.75^5\approx137576⋅0.755≈137 - משנה 2 עד שנה 5 עוברות רק 3 שנים.

סעיף ד

תשובה:

כעבור 6 שנים

ממשיכים לכפול ב-1.5 (או מציבים בנוסחה 256⋅1.5t256\cdot1.5^t256⋅1.5t):
t=4: 256⋅1.54=1296,t=5: 256⋅1.55=1944,t=6: 256⋅1.56=2916t=4:\ 256\cdot1.5^4=1296,\qquad t=5:\ 256\cdot1.5^5=1944,\qquad t=6:\ 256\cdot1.5^6=2916t=4: 256⋅1.54=1296,t=5: 256⋅1.55=1944,t=6: 256⋅1.56=2916
ב-t=5t=5t=5 עדיין 1944<20001944<20001944<2000, וב-t=6t=6t=6 כבר 2916>20002916>20002916>2000.
לכן כעבור 6 שנים יהיו לראשונה יותר מ-2,000 ציפורים.
טעות נפוצה: לענות 5 שנים כי 1,944 "כמעט 2,000" - הדרישה היא יותר מ-2,000.

שאלה 2 · קליעה למטרה עם דיאגרמת עץ: מסלולים ומשלים

לוח מטרה מורכב מעיגול פנימי ומטבעת סביבו. הטבעת מחולקת לשני חצאים שווים. פגיעה בעיגול הפנימי מזכה ב-40 נקודות, פגיעה בחצי אחד של הטבעת מזכה ב-20 נקודות, ופגיעה בחצי השני מזכה ב-10 נקודות.
נועה זורקת חץ אחד. ההסתברות שהיא תפגע בלוח היא 0.7. כאשר היא פוגעת בלוח, ההסתברות שלה לפגוע בעיגול הפנימי היא 0.4, והיא פוגעת בשני חצאי הטבעת באותה הסתברות.
דיאגרמת העץ שלפניכם מתארת את המצב:
0.4??0.7?מרכז (40)חצי טבעת (20)חצי טבעת (10)פוגעת בלוחלא פוגעתזריקה

א.

השלימו את ההסתברויות החסרות בעץ: ההסתברות שנועה לא תפגע בלוח, וההסתברות לפגוע בכל אחד מחצאי הטבעת כאשר היא פוגעת בלוח.

ב.

מהי ההסתברות שנועה תפגע בלוח ותזכה ב-40 נקודות?

ג.

מהי ההסתברות שנועה תזכה ב-20 נקודות לפחות?

ד.

מהי ההסתברות שנועה תזכה בפחות מ-20 נקודות (כולל האפשרות שלא תזכה בנקודות כלל)?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

לא פוגעת: 0.3; כל חצי טבעת: 0.3

ההסתברויות על הענפים שיוצאים מאותה נקודה מסתכמות ל-1.
לא פוגעת: 1−0.7=0.31-0.7=0.31−0.7=0.3.
כאשר היא פוגעת: לטבעת כולה נשאר 1−0.4=0.61-0.4=0.61−0.4=0.6, והוא מתחלק שווה בין שני החצאים: 0.6:2=0.30.6:2=0.30.6:2=0.3 לכל חצי.
טעות נפוצה: לרשום 0.6 על כל אחד מחצאי הטבעת - אז סכום הענפים 1.6, יותר מ-1.

סעיף ב

תשובה:

0.28

מסלול אחד בעץ: פוגעת (0.7) ואז מרכז (0.4). כופלים לאורך המסלול:
P=0.7⋅0.4=0.28P=0.7\cdot0.4=0.28P=0.7⋅0.4=0.28
טעות נפוצה: לענות 0.4 בלי לכפול בהסתברות לפגוע בלוח.

סעיף ג

תשובה:

0.49

20 נקודות לפחות: 20 או 40. שני מסלולים זרים, מחברים:
P=0.7⋅0.3+0.7⋅0.4=0.21+0.28=0.49P=0.7\cdot0.3+0.7\cdot0.4=0.21+0.28=0.49P=0.7⋅0.3+0.7⋅0.4=0.21+0.28=0.49
טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות שעל הענפים השניים בלבד, 0.3+0.4=0.70.3+0.4=0.70.3+0.4=0.7, בלי לכפול ב-0.7.

סעיף ד

תשובה:

0.51

פחות מ-20 נקודות: 10 נקודות (פוגעת בחצי של 10) או 0 נקודות (לא פוגעת).
P=0.7⋅0.3+0.3=0.21+0.3=0.51P=0.7\cdot0.3+0.3=0.21+0.3=0.51P=0.7⋅0.3+0.3=0.21+0.3=0.51
בדיקה: זה המשלים של סעיף ג: 1−0.49=0.511-0.49=0.511−0.49=0.51.
טעות נפוצה: לשכוח את האפשרות שלא תפגע בלוח ולענות 0.21.

שאלה 3 · משולשים דומים: שני קישוטים מבד

לקראת מסיבה גזרו מבד שני קישוטים בצורת משולש שווה שוקיים: קישוט גדול ABCABCABC וקישוט קטן EFGEFGEFG (AB=ACAB=ACAB=AC, EF=EGEF=EGEF=EG).
המשולשים ABCABCABC ו-EFGEFGEFG דומים זה לזה, ויחס הדמיון ביניהם הוא 5:35:35:3.
אורך הבסיס של הקישוט הקטן הוא FG=0.72FG=0.72FG=0.72 מטר.
ADADAD הוא הגובה לבסיס בקישוט הגדול (DDD על BCBCBC), ו-EHEHEH הוא הגובה לבסיס בקישוט הקטן (HHH על FGFGFG). אורך הגובה ADADAD הוא 0.8 מטר.
BCAFGEDH

א.

מצאו את אורך הבסיס BCBCBC של הקישוט הגדול.

ב.

מצאו את אורך הקטע BDBDBD ואת אורך השוק ABABAB.

ג.

מצאו את אורך הגובה EHEHEH של הקישוט הקטן.

ד.

האם פיסת בד ששטחה 0.2 מ"ר תספיק לגזור ממנה את הקישוט הקטן? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

BC=1.2BC=1.2BC=1.2 מטר

BCBCBC מתאים ל-FGFGFG, ויחס הדמיון (גדול לקטן) הוא 5:35:35:3:
BC=0.72⋅53=1.2BC=0.72\cdot\frac53=1.2BC=0.72⋅35​=1.2
טעות נפוצה: לכפול ב-35\frac3553​ ולקבל 0.4320.4320.432 - קטן מ-FGFGFG, אף על פי ש-BCBCBC שייך לקישוט הגדול.

סעיף ב

תשובה:

BD=0.6BD=0.6BD=0.6 מטר, AB=1AB=1AB=1 מטר

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס: BD=BC2=1.22=0.6BD=\frac{BC}{2}=\frac{1.2}{2}=0.6BD=2BC​=21.2​=0.6.
במשולש ישר הזווית ABDABDABD (זווית ישרה ב-DDD):
AB=AD2+BD2=0.82+0.62=0.64+0.36=1=1AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{0.8^2+0.6^2}=\sqrt{0.64+0.36}=\sqrt1=1AB=AD2+BD2​=0.82+0.62​=0.64+0.36​=1​=1
טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס במקום BDBDBD: 0.82+1.22≈1.44\sqrt{0.8^2+1.2^2}\approx1.440.82+1.22​≈1.44.

סעיף ג

תשובה:

EH=0.48EH=0.48EH=0.48 מטר

במשולשים דומים כל הקטעים המתאימים נמצאים ביחס הדמיון - גם הגבהים לבסיסים:
ADEH=53⇒EH=0.8⋅35=0.48\frac{AD}{EH}=\frac53\quad\Rightarrow\quad EH=0.8\cdot\frac35=0.48EHAD​=35​⇒EH=0.8⋅53​=0.48
טעות נפוצה: לכפול בריבוע יחס הדמיון, כמו ביחס שטחים: EH=0.8⋅(35)2=0.288EH=0.8\cdot\left(\frac35\right)^2=0.288EH=0.8⋅(53​)2=0.288. גובה הוא אורך, ולכן הוא מתאים ביחס הדמיון עצמו; רק שטחים מתאימים בריבוע היחס.

סעיף ד

תשובה:

כן; שטח הקישוט הקטן הוא 0.17280.17280.1728 מ"ר, פחות מ-0.2

SEFG=FG⋅EH2=0.72⋅0.482=0.1728S_{EFG}=\frac{FG\cdot EH}{2}=\frac{0.72\cdot0.48}{2}=0.1728SEFG​=2FG⋅EH​=20.72⋅0.48​=0.1728
0.1728<0.20.1728<0.20.1728<0.2, ולכן פיסת הבד תספיק (בהנחה שאפשר לגזור ממנה את המשולש).
טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 0.72⋅0.48≈0.346>0.20.72\cdot0.48\approx0.346>0.20.72⋅0.48≈0.346>0.2 - ולהסיק שהבד לא יספיק. 0.3460.3460.346 הוא שטח של מלבן, לא של משולש.

שאלה 4 · שטחים במגרש: משולשי חול נתונים

מגרש בצורת מלבן, שממדיו 20 מ' × 8 מ', מחולק לשלושה חלקים: בשתי הפינות העליונות יש שני משולשים ישרי זווית זהים מכוסים בחול, ובשאר המגרש, שצורתו טרפז, שתלו דשא (ראו סרטוט).
בכל משולש חול הניצב האופקי הוא 5 מ' והניצב האנכי הוא 8 מ'.
ABCDEFדשאחולחול

א.

מהו השטח של שני משולשי החול יחד?

ב.

מהו השטח שבו שתלו דשא?

ג.

באיזה אחוז מהמגרש שתלו דשא?

ד.

פס עץ מפריד בין הדשא לבין כל אחד ממשולשי החול. מה אורך כל פס?

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

40 מ"ר

שטח משולש ישר זווית הוא חצי מכפלת הניצבים: 5⋅82=20\frac{5\cdot8}{2}=2025⋅8​=20 מ"ר.
יש שני משולשים זהים: 2⋅20=402\cdot20=402⋅20=40 מ"ר.
טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 2⋅5⋅8=802\cdot5\cdot8=802⋅5⋅8=80 מ"ר.

סעיף ב

תשובה:

120 מ"ר

שטח המגרש כולו: 20⋅8=16020\cdot8=16020⋅8=160 מ"ר. הדשא בכל מה שלא מכוסה בחול:
160−40=120160-40=120160−40=120
טעות נפוצה: להחסיר רק משולש אחד ולקבל 160−20=140160-20=140160−20=140 מ"ר.

סעיף ג

תשובה:

75%

120160⋅100%=75%\frac{120}{160}\cdot100\%=75\%160120​⋅100%=75%
טעות נפוצה: לחשב את אחוז החול, 40160=25%\frac{40}{160}=25\%16040​=25%.

סעיף ד

תשובה:

89≈9.43\sqrt{89}\approx9.4389​≈9.43 מ'

פס העץ הוא היתר של משולש החול, וניצביו 5 מ' ו-8 מ':
ℓ=52+82=89≈9.43\ell=\sqrt{5^2+8^2}=\sqrt{89}\approx9.43ℓ=52+82​=89​≈9.43
טעות נפוצה: לחסר את הריבועים: 82−52=39≈6.24\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}\approx6.2482−52​=39​≈6.24 מ'.

שאלה 5 · גדילה ודעיכה: שעון ואופנוע

המחיר של שעון יוקרה גדל בכל שנה באחוז קבוע, והמחיר של אופנוע קטן בכל שנה באחוז קבוע.
הגרפים I-II שלפניכם מתארים את המחיר של כל אחד מהם, לפי השנה.
‫השנה‬‫המחיר (בשקלים)‬20152020III

א.

איזה מן הגרפים I-II מתאר את המחיר של השעון? נמקו.

ב.

בתחילת שנת 2015 היה המחיר של השעון 25,000 שקלים, ובתחילת שנת 2016 היה מחירו 26,000 שקלים.

הראו כי המחיר של השעון גדל ב-4% בכל שנה.

ג.

מצאו מה היה המחיר של השעון בתחילת שנת 2020.

ד.

בתחילת שנת 2020 היה המחיר של השעון והמחיר של האופנוע זהה. המחיר של האופנוע קטן בכל שנה ב-8%.

מצאו מה היה המחיר של האופנוע בתחילת שנת 2021.

ה.

לדנה היו 28,500 שקלים בתחילת שנת 2021. האם יכלה דנה לקנות את האופנוע בתחילת שנה זו? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

גרף II

המחיר של השעון גדל, ולכן הגרף שלו עולה. גרף II עולה וגרף I יורד, ולכן גרף II מתאר את השעון.
טעות נפוצה: לבחור בגרף I "כי שעון יוקרה יקר" - הגרף נבחר לפי הכיוון (עולה או יורד), לא לפי הגובה.

סעיף ב

תשובה:

q=2600025000=1.04q=\frac{26000}{25000}=1.04q=2500026000​=1.04

בין תחילת 2015 לתחילת 2016 עברה שנה אחת, ולכן המקדם הוא המנה של שני המחירים:
q=2600025000=1.04q=\frac{26000}{25000}=1.04q=2500026000​=1.04
q=1.04q=1.04q=1.04 פירושו גדילה של 4% בכל שנה.
טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך, 2500026000≈0.96\frac{25000}{26000}\approx0.962600025000​≈0.96, ולהסיק שהמחיר יורד בכ-4% - מחלקים את המחיר המאוחר במחיר המוקדם.

סעיף ג

תשובה:

כ-30,416 שקלים

מתחילת 2015 עד תחילת 2020: t=5t=5t=5.
A5=25000⋅1.045≈30416A_5=25000\cdot1.04^5\approx30416A5​=25000⋅1.045≈30416
טעות נפוצה: להציב t=4t=4t=4 ולקבל 25000⋅1.044≈2924625000\cdot1.04^4\approx2924625000⋅1.044≈29246 שקלים.

סעיף ד

תשובה:

כ-27,983 שקלים

בתחילת 2020 המחירים שווים, ולכן המחיר של האופנוע אז הוא כ-30,416 שקלים (סעיף ג).
ירידה של 8%: q=1−0.08=0.92q=1-0.08=0.92q=1−0.08=0.92. שנה אחת:
30416⋅0.92≈2798330416\cdot0.92\approx2798330416⋅0.92≈27983
טעות נפוצה: להכפיל ב-0.080.080.08 ולקבל כ-2,433 שקלים - אחרי ירידה של 8% נשארים 92%.

סעיף ה

תשובה:

כן: 27983<2850027983<2850027983<28500

לפי סעיף ד, בתחילת 2021 המחיר של האופנוע היה כ-27,983 שקלים.
27983<2850027983<2850027983<28500, ולכן דנה יכלה לקנות את האופנוע.
טעות נפוצה: להשוות למחיר של תחילת 2020 (כ-30,416 שקלים) ולענות שלא - בשנה שבין 2020 ל-2021 המחיר כבר ירד.

שאלה 6 · חבילת גלישה: מהחשבון לצריכה ואחוז השינוי

חשבון חודשי של חבילת גלישה סלולרית מורכב מתשלום קבוע של 606060 שקלים ומתשלום של 7.57.57.5 שקלים לכל ג'יגה-בייט (GB) של גלישה.
נועם גולש אותה כמות בכל חודש ומשלם 375375375 שקלים בחודש.

א.

כמה GB גולש נועם בחודש?

ב.

התשלום הקבוע הועלה ב-15%15\%15%. מהו התשלום הקבוע החדש?

ג.

כמה ישלם נועם בחודש אחרי ההעלאה, אם כמות הגלישה לא תשתנה?

ד.

בכמה אחוזים עלה החשבון החודשי של נועם?

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

424242 GB

החשבון = תשלום קבוע + 7.57.57.5 לכל GB. נסמן ב-ggg את מספר ה-GB:
60+7.5g=375⇒7.5g=315⇒g=4260+7.5g=375\quad\Rightarrow\quad7.5g=315\quad\Rightarrow\quad g=4260+7.5g=375⇒7.5g=315⇒g=42
טעות נפוצה: לחלק את כל החשבון במחיר ל-GB: 3757.5=50\frac{375}{7.5}=507.5375​=50, בלי להפחית את התשלום הקבוע.

סעיף ב

תשובה:

696969 שקלים

העלאה ב-15%15\%15% היא כפל במקדם 1.151.151.15:
60⋅1.15=6960\cdot1.15=6960⋅1.15=69
טעות נפוצה: להוסיף 151515 שקלים במקום 15%15\%15% ולקבל 757575 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

384384384 שקלים

התשלום על הגלישה לא השתנה: 7.5⋅42=3157.5\cdot42=3157.5⋅42=315. רק התשלום הקבוע עלה ל-696969:
69+315=38469+315=38469+315=384
טעות נפוצה: להעלות את כל החשבון ב-15%15\%15%: 375⋅1.15=431.25375\cdot1.15=431.25375⋅1.15=431.25 שקלים. ההעלאה חלה רק על התשלום הקבוע.

סעיף ד

תשובה:

2.4%2.4\%2.4%

החשבון עלה מ-375375375 ל-384384384, כלומר ב-999 שקלים. אחוז השינוי מחושב ביחס לחשבון שלפני השינוי:
9375⋅100%=2.4%\frac{9}{375}\cdot100\%=2.4\%3759​⋅100%=2.4%
החשבון כולו עלה הרבה פחות מ-15%15\%15%, כי רק החלק הקבוע התייקר.
טעות נפוצה: לחלק בחשבון החדש: 9384⋅100%≈2.34%\frac{9}{384}\cdot100\%\approx2.34\%3849​⋅100%≈2.34%. הבסיס לאחוז השינוי הוא הערך שלפני השינוי.

שאלה 1 · גדילה ודעיכה: ציפורים בשני איים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 2 · קליעה למטרה עם דיאגרמת עץ: מסלולים ומשלים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 3 · משולשים דומים: שני קישוטים מבד

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 4 · שטחים במגרש: משולשי חול נתונים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 5 · גדילה ודעיכה: שעון ואופנוע

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 6 · חבילת גלישה: מהחשבון לצריכה ואחוז השינוי

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד