מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 12 בדרך לבגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), בדרך לבגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · גדילה ודעיכה: צריכת מים בשתי ערים

צריכת המים בעיר מסוימת גדלה בכל שנה באחוז קבוע.
בדיאגרמה שלפניכם מוצגת צריכת המים בעיר (במיליוני מ"ק) בשנים 2018-2022.
‫השנה‬‫צריכת המים (מיליוני מ"ק)‬20182019202020212022125135

א.

מהי צריכת המים בעיר בשנת 2018, ומהי צריכת המים בעיר בשנת 2019?

ב.

הראו שצריכת המים בעיר גדלה בכל שנה ב-8%.

ג.

חשבו את צריכת המים בעיר בשנת 2022.

ד.

בעיר שכנה צריכת המים קטנה בכל שנה ב-5%. בשנת 2022 צריכת המים בשתי הערים הייתה שווה.

מצאו את צריכת המים בעיר השכנה בשנת 2024.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

2018: 125 מיליון מ"ק; 2019: 135 מיליון מ"ק

העמודה הראשונה היא של 2018, והקו המקווקו מראשה מגיע לערך 125.
העמודה השנייה היא של 2019, והקו המקווקו מראשה מגיע לערך 135.
בשנת 2018 צרכו בעיר 125 מיליון מ"ק מים, ובשנת 2019 - 135 מיליון מ"ק.
טעות נפוצה: לכתוב 125 מ"ק ו-135 מ"ק ולשכוח שהמספרים בציר הם במיליוני מ"ק - צריכה קטנה פי מיליון, פחות ממה שבית אחד צורך בשנה.

סעיף ב

תשובה:

q=135125=1.08q=\frac{135}{125}=1.08q=125135​=1.08

2019 היא שנה אחת אחרי 2018, ולכן הצריכה של 2019 היא הצריכה של 2018 כפול המקדם:
125⋅q=135⇒q=135125=1.08125\cdot q=135\quad\Rightarrow\quad q=\frac{135}{125}=1.08125⋅q=135⇒q=125135​=1.08
q=1.08=1+0.08q=1.08=1+0.08q=1.08=1+0.08, ולכן הצריכה גדלה בכל שנה ב-8%.
טעות נפוצה: לחלק את התוספת בכמות המאוחרת, 10135≈7.41%\frac{10}{135}\approx7.41\%13510​≈7.41%. אחוז הגדילה מחושב ביחס לכמות שלפני הגידול (125).

סעיף ג

תשובה:

כ-170.06170.06170.06 מיליון מ"ק

מ-2019 עד 2022 עברו t=3t=3t=3 שנים. מציבים בנוסחה At=A0⋅qtA_t=A_0\cdot q^tAt​=A0​⋅qt עם A0=135A_0=135A0​=135 ו-q=1.08q=1.08q=1.08:
A3=135⋅1.083≈170.06A_3=135\cdot1.08^3\approx170.06A3​=135⋅1.083≈170.06
בשנת 2022 צרכו בעיר כ-170.06 מיליון מ"ק מים.
טעות נפוצה: להוסיף בכל שנה את אותה תוספת של 10 מיליון מ"ק (כמו בין 2018 ל-2019) ולקבל 135+3⋅10=165135+3\cdot10=165135+3⋅10=165. התוספת גדלה משנה לשנה, כי האחוז מחושב מכמות גדלה.

סעיף ד

תשובה:

כ-153.48153.48153.48 מיליון מ"ק

בשנת 2022 הצריכה בשתי הערים שווה, ולכן צריכת המים בעיר השכנה בשנת 2022 היא התשובה של סעיף ג: A0≈170.06A_0\approx170.06A0​≈170.06.
הצריכה בעיר השכנה קטנה ב-5% בכל שנה: q=1−0.05=0.95q=1-0.05=0.95q=1−0.05=0.95.
מ-2022 עד 2024 עברו t=2t=2t=2 שנים:
A2=170.06⋅0.952≈153.48A_2=170.06\cdot0.95^2\approx153.48A2​=170.06⋅0.952≈153.48
בשנת 2024 צרכו בעיר השכנה כ-153.48 מיליון מ"ק מים.
טעות נפוצה: לספור שלוש שנים (2022, 2023, 2024) ולחשב 170.06⋅0.953≈145.81170.06\cdot0.95^3\approx145.81170.06⋅0.953≈145.81.

שאלה 2 · דיאגרמת עמודות של חיות מחמד: שכיח, ממוצע וחציון

בסקר שנערך בשכונה נשאלו משפחות כמה חיות מחמד יש להן. דיאגרמת העמודות שלפניכם מתארת את התוצאות:
012345674753101234‫מספר חיות מחמד‬‫מספר משפחות‬

א.

כמה משפחות השתתפו בסקר?

ב.

מהו המספר השכיח של חיות מחמד במשפחה?

ג.

חשבו את הממוצע של מספר חיות המחמד במשפחה.

ד.

סדרו את הנתונים מהקטן לגדול. החציון הוא הממוצע של הנתונים שבמקומות 10 ו-11. מצאו את החציון.

ה.

משפחה נוספת, שיש לה 4 חיות מחמד, הצטרפה לסקר. חשבו את הממוצע החדש.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

20 משפחות

מחברים את גובהי כל העמודות:
4+7+5+3+1=204+7+5+3+1=204+7+5+3+1=20
טעות נפוצה: לענות 5 - זה מספר העמודות (מספר הערכים השונים), לא מספר המשפחות.

סעיף ב

תשובה:

1

העמודה הגבוהה ביותר היא של 1 חיית מחמד (7 משפחות). לכן השכיח הוא 1.
טעות נפוצה: לענות 7 - זה מספר המשפחות, כלומר השכיחות, ולא הערך השכיח.

סעיף ג

תשובה:

1.5

כופלים כל ערך במספר המשפחות, מחברים ומחלקים ב-20:
xˉ=0⋅4+1⋅7+2⋅5+3⋅3+4⋅120=0+7+10+9+420=3020=1.5\bar x=\frac{0\cdot4+1\cdot7+2\cdot5+3\cdot3+4\cdot1}{20}=\frac{0+7+10+9+4}{20}=\frac{30}{20}=1.5xˉ=200⋅4+1⋅7+2⋅5+3⋅3+4⋅1​=200+7+10+9+4​=2030​=1.5
טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הערכים שעל הציר בלבד: 0+1+2+3+45=2\frac{0+1+2+3+4}{5}=250+1+2+3+4​=2, בלי להתחשב במספר המשפחות.

סעיף ד

תשובה:

1

מצטבר: 0 חיות - מקומות 1-4; 1 חיה - מקומות 5-11.
במקומות 10 ו-11 נמצא 1, ולכן החציון 1+12=1\frac{1+1}{2}=121+1​=1.
טעות נפוצה: לבחור את הערך האמצעי על הציר (2) - החציון הוא הנתון שבאמצע רשימת כל 20 המשפחות.

סעיף ה

תשובה:

3421≈1.62\frac{34}{21}\approx1.622134​≈1.62

הסכום גדל ב-4 ומספר המשפחות גדל ב-1:
xˉ′=30+420+1=3421≈1.62\bar x'=\frac{30+4}{20+1}=\frac{34}{21}\approx1.62xˉ′=20+130+4​=2134​≈1.62
טעות נפוצה: לשכוח שגם מספר המשפחות גדל ולחלק ב-20: 3420=1.7\frac{34}{20}=1.72034​=1.7.

שאלה 3 · דמיון משולשים: קו מקביל בשלט משולש

שלט שצורתו משולש ישר זווית ABCABCABC (∠B=90∘\angle B=90^\circ∠B=90∘).
הנקודה DDD נמצאת על הצלע ABABAB, והנקודה EEE נמצאת על הצלע ACACAC, כך ש-DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC.
המשולש ADEADEADE צבוע באדום, והטרפז DBCEDBCEDBCE צבוע בכחול (ראו סרטוט).
ABCDE

א.

הסבירו מדוע המשולשים ADEADEADE ו-ABCABCABC דומים זה לזה.

ב.

נתון: AD=30AD=30AD=30 ס"מ, DB=20DB=20DB=20 ס"מ.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים ADEADEADE ו-ABCABCABC.

ג.

נתון: BC=40BC=40BC=40 ס"מ.

מצאו את אורך הקטע DEDEDE.

ד.

(1)

חשבו את השטח של החלק האדום (המשולש ADEADEADE).

(2)

חשבו את השטח של החלק הכחול (הטרפז DBCEDBCEDBCE).

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

דומים לפי ז.ז.: ∠A\angle A∠A משותפת, ∠ADE=∠ABC\angle ADE=\angle ABC∠ADE=∠ABC (זוויות מתאימות)

הזווית AAA משותפת לשני המשולשים.
DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC, ולכן ∠ADE=∠ABC\angle ADE=\angle ABC∠ADE=∠ABC (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).
שני זוגות של זוויות שוות - המשולשים דומים לפי ז.ז. ההתאמה: A↔AA\leftrightarrow AA↔A, D↔BD\leftrightarrow BD↔B, E↔CE\leftrightarrow CE↔C.
טעות נפוצה: לנמק "המשולש הקטן נמצא בתוך הגדול" - זה אינו נימוק; צריך שני זוגות של זוויות שוות.

סעיף ב

תשובה:

35\frac3553​

הצלע ADADAD במשולש הקטן מתאימה לצלע ABABAB במשולש הגדול.
AB=AD+DB=30+20=50AB=AD+DB=30+20=50AB=AD+DB=30+20=50
ADAB=3050=35\frac{AD}{AB}=\frac{30}{50}=\frac35ABAD​=5030​=53​
טעות נפוצה: לחשב את היחס בין שני הקטעים, ADDB=3020=32\frac{AD}{DB}=\frac{30}{20}=\frac32DBAD​=2030​=23​ - DBDBDB אינה צלע של אף אחד מהמשולשים.

סעיף ג

תשובה:

24 ס"מ

DEDEDE מתאימה ל-BCBCBC (ההתאמה D↔BD\leftrightarrow BD↔B, E↔CE\leftrightarrow CE↔C):
DE=35⋅BC=35⋅40=24DE=\frac35\cdot BC=\frac35\cdot40=24DE=53​⋅BC=53​⋅40=24
טעות נפוצה: לכפול ב-DBAB=25\frac{DB}{AB}=\frac25ABDB​=52​ ולקבל 161616 ס"מ.

סעיף ד(1)

תשובה:

360 סמ"ר

∠ADE=∠ABC=90∘\angle ADE=\angle ABC=90^\circ∠ADE=∠ABC=90∘ (סעיף א), ולכן גם ADEADEADE ישר זווית, עם הניצבים ADADAD ו-DEDEDE:
SADE=30⋅242=360S_{ADE}=\frac{30\cdot24}{2}=360SADE​=230⋅24​=360
טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 720720720 סמ"ר.

סעיף ד(2)

תשובה:

640 סמ"ר

SABC=AB⋅BC2=50⋅402=1000S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{50\cdot40}{2}=1000SABC​=2AB⋅BC​=250⋅40​=1000
SDBCE=SABC−SADE=1000−360=640S_{DBCE}=S_{ABC}-S_{ADE}=1000-360=640SDBCE​=SABC​−SADE​=1000−360=640
טעות נפוצה: לחשב את הטרפז כמשולש, DB⋅BC2=20⋅402=400\frac{DB\cdot BC}{2}=\frac{20\cdot40}{2}=4002DB⋅BC​=220⋅40​=400 - הצורה הכחולה אינה משולש.

שאלה 4 · טריגונומטריה במלבן: זווית בין שני קטעים בהדרכה

בסרטוט שלפניכם מלבן ABCDABCDABCD. הנקודה EEE היא אמצע הצלע ABABAB.
נתון: AB=16AB=16AB=16 ס"מ, ∠CAB=40∘\angle CAB=40^\circ∠CAB=40∘.
ABCDE

א.

מצאו את אורך הצלע BCBCBC.

ב.

מצאו את שטח המשולש EBCEBCEBC.

ג.

מצאו את גודל הזווית ∠CEB\angle CEB∠CEB.

ד.

הזווית ∠CEB\angle CEB∠CEB היא זווית חיצונית למשולש AECAECAEC, ולכן היא שווה לסכום הזוויות ∠CAE\angle CAE∠CAE ו-∠ACE\angle ACE∠ACE.

חשבו את גודל הזווית ∠ACE\angle ACE∠ACE.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

BC≈13.43BC\approx13.43BC≈13.43 ס"מ

במשולש ABCABCABC (ישר זווית ב-BBB): tan⁡40∘=BC16\tan40^\circ=\frac{BC}{16}tan40∘=16BC​.
BC=16⋅tan⁡40∘≈13.43BC=16\cdot\tan40^\circ\approx13.43BC=16⋅tan40∘≈13.43
טעות נפוצה: להשתמש בסינוס, 16⋅sin⁡40∘≈10.2816\cdot\sin40^\circ\approx10.2816⋅sin40∘≈10.28.

סעיף ב

תשובה:

כ-53.70 סמ"ר

EB=162=8EB=\frac{16}{2}=8EB=216​=8 ס"מ. המשולש EBCEBCEBC ישר זווית ב-BBB, והניצבים שלו הם בסיס וגובה:
SEBC=8⋅13.432≈53.70S_{EBC}=\frac{8\cdot13.43}{2}\approx53.70SEBC​=28⋅13.43​≈53.70
טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל כ-107.40 סמ"ר.

סעיף ג

תשובה:

∠CEB≈59.21∘\angle CEB\approx59.21^\circ∠CEB≈59.21∘

ביחס לזווית ∠CEB\angle CEB∠CEB: BCBCBC מולה ו-EBEBEB לידה.
tan⁡∠CEB=13.438≈1.678⇒∠CEB≈59.21∘\tan\angle CEB=\frac{13.43}{8}\approx1.678\quad\Rightarrow\quad\angle CEB\approx59.21^\circtan∠CEB=813.43​≈1.678⇒∠CEB≈59.21∘
טעות נפוצה: להפוך את השבר, tan⁡−1813.43≈30.79∘\tan^{-1}\frac{8}{13.43}\approx30.79^\circtan−113.438​≈30.79∘ - זו הזווית ∠ECB\angle ECB∠ECB.

סעיף ד

תשובה:

∠ACE≈19.21∘\angle ACE\approx19.21^\circ∠ACE≈19.21∘

במשולש AECAECAEC הזווית ∠CEB\angle CEB∠CEB היא זווית חיצונית, ולכן:
∠CEB=∠CAE+∠ACE\angle CEB=\angle CAE+\angle ACE∠CEB=∠CAE+∠ACE
59.21∘=40∘+∠ACE⇒∠ACE≈19.21∘59.21^\circ=40^\circ+\angle ACE\quad\Rightarrow\quad\angle ACE\approx19.21^\circ59.21∘=40∘+∠ACE⇒∠ACE≈19.21∘
טעות נפוצה: לחבר את הזוויות, 59.21∘+40∘=99.21∘59.21^\circ+40^\circ=99.21^\circ59.21∘+40∘=99.21∘, במקום לחסר.

שאלה 5 · דיאגרמות עיגול: הוצאות של שתי משפחות

הדיאגרמות I ו-II שלפניכם מתארות את התפלגות ההוצאות החודשיות של שתי משפחות: משפחת גולן ומשפחת שני.
I30%25%15%10%20%‫דיור 30%‬‫מזון 25%‬‫חינוך ותרבות 15%‬‫נסיעות 10%‬‫אחר 20%‬
II25%25%20%10%20%‫דיור 25%‬‫מזון 25%‬‫חינוך ותרבות 20%‬‫נסיעות 10%‬‫אחר 20%‬
ידוע כי הסכום שמשפחת גולן מוציאה על דיור גדול פי 2 מן הסכום שהיא מוציאה על חינוך ותרבות.

א.

איזו דיאגרמה מתארת את ההוצאות של משפחת גולן? הסבירו.

ב.

בחודש מרץ הוציאה משפחת גולן 10,000 שקלים סך הכול.

כמה שקלים הוציאה משפחת גולן על דיור בחודש מרץ?

ג.

באותו חודש הוציאה משפחת שני 7,000 שקלים סך הכול.

איזו משפחה הוציאה יותר כסף על חינוך ותרבות בחודש מרץ? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

דיאגרמה I (משפחת שני - דיאגרמה II)

בתוך משפחה אחת, סכום גדול פי 2 מסכום אחר כשהאחוז שלו גדול פי 2.
ב-I: דיור 30% וחינוך ותרבות 15%, ו-3015=2\frac{30}{15}=21530​=2.
ב-II: דיור 25% וחינוך ותרבות 20%, ו-2520=1.25\frac{25}{20}=1.252025​=1.25.
לכן דיאגרמה I היא של משפחת גולן, ודיאגרמה II של משפחת שני.
טעות נפוצה: לראות ב-II יחס של פי 2 בין חינוך ותרבות (20%) לנסיעות (10%) ולבחור בדיאגרמה II. הרמז מדבר על דיור מול חינוך ותרבות, ולא על שני תחומים אחרים.

סעיף ב

תשובה:

3,000 שקלים

משפחת גולן - דיאגרמה I, דיור 30%:
0.3⋅10000=30000.3\cdot10000=30000.3⋅10000=3000
טעות נפוצה: לחלק באחוז במקום לכפול, 1000030≈333\frac{10000}{30}\approx3333010000​≈333 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

משפחת גולן: 1,500 שקלים, לעומת 1,400 שקלים של משפחת שני

משפחת גולן (I, 15%): 0.15⋅10000=15000.15\cdot10000=15000.15⋅10000=1500 שקלים.
משפחת שני (II, 20%): 0.2⋅7000=14000.2\cdot7000=14000.2⋅7000=1400 שקלים.
1500>14001500>14001500>1400, ולכן משפחת גולן הוציאה יותר - אף שאצלה האחוז נמוך יותר.
טעות נפוצה: להשוות אחוזים ולענות משפחת שני (20% לעומת 15%), בלי לשים לב שהסכום הכולל שלה קטן יותר.

שאלה 6 · המודל הליניארי: שתי חברות מוניות

בעיר פועלות שתי חברות מוניות. בכל נסיעה משלמים סכום קבוע ותוספת לכל קילומטר.
המחיר בשקלים של נסיעה של xxx קילומטרים בחברה א' הוא y=10+4xy=10+4xy=10+4x, ובחברה ב' הוא y=22+3xy=22+3xy=22+3x.
לפניכם שני גרפים I-II, כל אחד מתאר את המחיר באחת החברות.
III
‫מספר הקילומטרים‬‫המחיר (שקלים)‬III

א.

קבעו איזה גרף מתאר את חברה א'. נמקו.

ב.

כמה תשלם נסיעה של 777 ק"מ בחברה א'?

ג.

נוסע שילם 494949 שקלים בחברה ב'. כמה קילומטרים נסע?

ד.

בעבור נסיעה של כמה קילומטרים המחיר בשתי החברות זהה? מהו המחיר?

ה.

איזו חברה זולה יותר לנסיעה של 202020 ק"מ?

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

גרף II

בנסיעה של 0 ק"מ המחיר הוא הסכום הקבוע: בחברה א' 101010 ובחברה ב' 222222. לכן הגרף של חברה א' חותך את ציר yyy נמוך יותר - גרף II.
טעות נפוצה: לבחור בגרף I ולחשוב שהגרף שמתחיל גבוה שייך לחברה שהמחיר שלה לקילומטר גבוה יותר (4). הגובה בתחילת הציר נקבע לפי הסכום הקבוע.

סעיף ב

תשובה:

383838 שקלים

y=10+4⋅7=38y=10+4\cdot7=38y=10+4⋅7=38
טעות נפוצה: לכפול גם את הסכום הקבוע: (10+4)⋅7=98(10+4)\cdot7=98(10+4)⋅7=98 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

999 ק"מ

22+3x=49⇒3x=27⇒x=922+3x=49\quad\Rightarrow\quad3x=27\quad\Rightarrow\quad x=922+3x=49⇒3x=27⇒x=9
טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום ב-3 ולקבל כ-16.3316.3316.33 ק"מ - בלי להפחית את הסכום הקבוע.

סעיף ד

תשובה:

121212 ק"מ; 585858 שקלים

10+4x=22+3x⇒x=1210+4x=22+3x\quad\Rightarrow\quad x=1210+4x=22+3x⇒x=12
המחיר: 10+4⋅12=5810+4\cdot12=5810+4⋅12=58 שקלים (וגם 22+3⋅12=5822+3\cdot12=5822+3⋅12=58).
טעות נפוצה: להעביר את 3x3x3x בלי להחליף סימן, 7x=127x=127x=12, ולקבל x≈1.71x\approx1.71x≈1.71.

סעיף ה

תשובה:

חברה ב' (828282 שקלים לעומת 909090)

חברה א': 10+4⋅20=9010+4\cdot20=9010+4⋅20=90; חברה ב': 22+3⋅20=8222+3\cdot20=8222+3⋅20=82. חברה ב' זולה יותר.
(אחרי 12 ק"מ - נקודת השוויון - החברה עם התוספת הקטנה לקילומטר זולה יותר.)
טעות נפוצה: לענות "חברה א'" כי הסכום הקבוע שלה נמוך יותר. זה נכון רק לנסיעות קצרות מ-12 ק"מ.

שאלה 1 · גדילה ודעיכה: צריכת מים בשתי ערים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 2 · דיאגרמת עמודות של חיות מחמד: שכיח, ממוצע וחציון

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 3 · דמיון משולשים: קו מקביל בשלט משולש

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד(1)

סעיף ד(2)

שאלה 4 · טריגונומטריה במלבן: זווית בין שני קטעים בהדרכה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 5 · דיאגרמות עיגול: הוצאות של שתי משפחות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 6 · המודל הליניארי: שתי חברות מוניות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד