מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 14 בדרך לבגרות

טעות נפוצה: לחבר את מספרי הביקורים שעל הציר, $1+2+3+4+5=15$, ולענות 15 תלמידים.

סכום כל הביקורים: כל מספר ביקורים כפול מספר התלמידים שביקרו כך.

טעות נפוצה: לחלק את 81 בסכום הערכים שעל הציר, $1+2+3+4+5=15$, ולקבל $\frac{81}{15}=5.4$ - מחלקים במספר התלמידים (סכום השכיחויות), לא בסכום הערכים.

25 נתונים (מספר אי-זוגי), ולכן החציון הוא הנתון האמצעי - הנתון ה-13: לפניו 12 נתונים ואחריו 12.

שכיחויות מצטברות: עד 1 - 3; עד 2 - $3+4=7$; עד 3 - $7+6=13$.

הנתון ה-13 נמצא בעמודה של 3 ביקורים, ולכן החציון הוא 3.

טעות נפוצה: לבלבל בין החציון לשכיח ולענות 4 - הערך של העמודה הגבוהה ביותר.

"4 פעמים או יותר" - העמודות של 4 ו-5 ביקורים:

טעות נפוצה: לספור רק את מי שביקר יותר מ-4 פעמים ולקבל $\frac{4}{25}=16\%$.

בכיתה המקבילה $12+8+5=25$ תלמידים. הממוצע שלה:

הממוצע שווה לממוצע מסעיף א(2):

טעות נפוצה: להציב $\frac{1+3+x}{3}=3.24$ ולקבל $x=5.72$ - שוכחים שכל ערך מופיע אצל כמה תלמידים.

בגלגל א' המספרים הזוגיים הם 2 ו-4 - שתי גזרות מתוך שלוש שוות:

טעות נפוצה: לספור את המספרים של שני הגלגלים יחד (2, 3, 4, 1, 2 - שלושה זוגיים מתוך חמישה) ולענות $\frac35$. השאלה היא רק על גלגל א'.

$P(\text{א'}=3)=\frac13$, $P(\text{ב'}=1)=\frac12$, והגלגלים בלתי תלויים:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום לכפול: $\frac13+\frac12=\frac56$. ב"גם... וגם..." של מאורעות בלתי תלויים כופלים.

כל צירוף (גלגל א', גלגל ב') הוא בהסתברות $\frac13\cdot\frac12=\frac16$, ויש $3\cdot2=6$ צירופים:

$(2,1)\to3$, $(2,2)\to4$, $(3,1)\to4$, $(3,2)\to5$, $(4,1)\to5$, $(4,2)\to6$.

הסכום 4 מתקבל בשני צירופים: $(2,2)$ ו-$(3,1)$:

טעות נפוצה: לחשוב שכל אחד מהסכומים האפשריים (3, 4, 5, 6) שווה הסתברות ולענות $\frac14$. הסכום 4 מתקבל בשני צירופים, והסכום 3 רק באחד.

מהרשימה בסעיף ג: הסכומים הגדולים מ-4 הם 5, 5, 6 - בצירופים $(3,2)$, $(4,1)$, $(4,2)$:

טעות נפוצה: לכלול גם את הסכום 4 ("גדול או שווה") ולקבל $\frac56$.

המקל והעץ אנכיים, ולכן $\angle M=\angle B=90^\circ$.

קרני השמש מקבילות, ולכן הן יוצרות עם הקרקע אותה זווית: $\angle P=\angle E$.

שתי זוויות שוות - המשולשים דומים לפי ז.ז.

טעות נפוצה: לנמק "המשולשים דומים כי שניהם ישרי זווית". זווית ישרה אחת לא מספיקה; צריך זווית שנייה שווה - כאן זווית קרני השמש.

צלעות מתאימות: הגובה $MN$ מתאים ל-$AB$, והצל $MP$ מתאים לצל $BE$.

גובה העץ: $9$ מ'.

טעות נפוצה: להפוך את היחס בין גובה לצל: $AB=\frac{2\cdot12}{1.5}=16$ מ'. כאן גובה המקל קטן מהצל שלו, ולכן גם גובה העץ קטן מהצל שלו.

במשולש $NMP$: $MN=1.5$ מול הזווית $P$, ו-$MP=2$ לידה.

טעות נפוצה: להפוך את השבר, $\tan P=\frac{2}{1.5}$, ולקבל כ-$53.13^\circ$ - זו הזווית שבראש המקל, לא הזווית שבקרקע.

במשולש ישר הזווית $ABE$ הניצבים הם $AB=9$ ו-$BE=12$. לפי פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר את הניצבים, $9+12=21$ מ'. היתר קצר מסכום הניצבים - מחשבים אותו בפיתגורס.

היתר נמצא מול הזווית הישרה ($E$), ולכן היתר הוא $AB$. הניצב שמול הזווית $A$ הוא $BE$.

ניצב מול זווית חלקי היתר הוא סינוס:

טעות נפוצה: לבחור טנגנס ולקבל $BE=20\cdot\tan40^\circ\approx16.78$ ס"מ - טנגנס הוא יחס בין שני ניצבים, ו-$AB$ הוא יתר.

$BE$ הוא הגובה לצלע $AD$:

טעות נפוצה: לכפול את שתי הצלעות, $20\cdot45=900$ - כך מחשבים שטח מלבן, ובמקבילית צריך את הגובה.

$AE$ הוא הניצב שליד הזווית $A$:

$E$ נמצאת על $AD$, ולכן $ED=AD-AE\approx45-15.32=29.68$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$\cos40^\circ$ ולקבל $AE\approx26.11$ - ואז $ED\approx18.89$; הניצב חייב להיות קצר מהיתר 20.

במשולש $BED$ הזווית הישרה ב-$E$, והניצבים הם $BE$ ו-$ED$. לפי פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל $AD$ במקום $ED$: $\sqrt{45^2+12.86^2}\approx46.80$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחבר את המחירים, $30+45+70=145$, במקום את מספרי הכרטיסים.

כופלים כל מחיר במספר הכרטיסים שנמכרו במחיר הזה ומחברים:

טעות נפוצה: לכפול את הממוצע הפשוט של שלושת המחירים במספר הכרטיסים: $\frac{145}{3}\cdot50\approx2416.67$ - כך מתעלמים מכך שנמכרו הרבה יותר כרטיסי מבוגר מכרטיסים מהסוגים האחרים.

טעות נפוצה: ממוצע של שלושת המחירים, $\frac{145}{3}\approx48.33$ - בלי להתחשב בכך שנמכרו הרבה יותר כרטיסי מבוגר.

$70>47$, ולכן הוספת כרטיסים במחיר גבוה מהממוצע מגדילה את הממוצע. החישוב:

טעות נפוצה: לשכוח להוסיף את שני הכרטיסים למכנה: $\frac{2490}{50}=49.80$.

בתחילת החיסכון ($x=0$) ליוסי יש חוב, כלומר סכום שלילי, ולכן הגרף שלו מתחיל מתחת לציר ה-$x$ - גרף II.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי "יוסי מוסיף יותר כסף בכל שבוע". בתחילת החיסכון הגרף של יוסי צריך להיות מתחת לציר, כי יש לו חוב.

ב-$y=b+mx$: $b$ הוא הסכום בתחילת החיסכון ו-$m$ הוא התוספת בכל שבוע.

דנה: $b=300$, $m=50$ - ביטוי 1. יוסי: $b=-200$, $m=100$ - ביטוי 3.

טעות נפוצה: להחליף בין הסכום ההתחלתי לתוספת השבועית ולבחור בביטוי 2 לדנה ובביטוי 4 ליוסי.

הסכום חיובי, ולכן יוסי כבר החזיר את החוב ונשארו לו 100 שקלים.

טעות נפוצה: לשכוח את החוב ולענות $100\cdot3=300$ שקלים.

דנה: $300+50\cdot10=800$.

יוסי: $-200+100\cdot10=800$.

לשניהם 800 שקלים - אותו סכום. בגרף זו נקודת החיתוך של גרף I וגרף II.

טעות נפוצה: לחשב ליוסי $200+100\cdot10=1{,}200$ (לשכוח שה-200 הוא חוב) ולהסיק שהסכומים אינם שווים.