מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 15 בדרך לבגרות

הגרף מתחיל בתחילת 2019 בגובה 50,000, ומעל השנה 2020 הוא נמצא בגובה 54,000.

לכן בתחילת 2019 היו 50,000 עוקבים, ובתחילת 2020 היו 54,000 עוקבים.

טעות נפוצה: לקרוא את 54,000 כמספר העוקבים שהצטרפו במהלך השנה ולענות שבתחילת 2020 היו $50000+54000=104000$ עוקבים.

בין תחילת 2019 לתחילת 2020 עברה שנה אחת, ולכן המקדם הוא היחס בין שני הערכים:

מספר העוקבים גדל פי 1.08 בכל שנה (ב-8% בשנה).

טעות נפוצה: לחשב את ההפרש $54000-50000=4000$ ולענות שהמספר גדל ב-4,000 בכל שנה - זו גדילה קבועה (ליניארית), ולא גדילה מעריכית.

מתחילת 2019 עד תחילת 2024 עוברות $t=5$ שנים, והכמות ההתחלתית היא 50,000:

בתחילת 2024 היו לערוץ כ-73,466 עוקבים.

טעות נפוצה: להתחיל מ-54,000 (המספר ב-2020) ולהעלות בחזקת 5, ולקבל $54000\cdot1.08^5\approx79344$.

תחילת 2017 היא שנתיים לפני תחילת 2019. נסמן ב-$A$ את מספר העוקבים בתחילת 2017:

בתחילת 2017 היו לערוץ כ-42,867 עוקבים.

טעות נפוצה: לחשב אחורה "ירידה של 8% בשנה": $50000\cdot0.92^2=42320$. ירידה של 8% אינה מבטלת עלייה של 8%.

"20 או יותר" - הטבעת האמצעית (20) או העיגול הפנימי (50):

טעות נפוצה: לקחת רק את האזור של 20 ולענות $\frac13$.

שתי הקליעות בלתי תלויות, ולכן מכפילים:

טעות נפוצה: לחבר $\frac16+\frac16=\frac13$ במקום להכפיל.

בעץ יש שלושה מסלולים שבהם התוצאה זהה: 10-10, 20-20, 50-50.

טעות נפוצה: לשכוח את המסלול 10-10 ולקבל $\frac5{36}$.

רושמים את כל הזוגות (קליעה ראשונה, קליעה שנייה) שסכומם 60: רק $(10,50)$ ו-$(50,10)$ (20 דורש 40, שאינו על הלוח).

טעות נפוצה: לספור רק את הסדר $(10,50)$ ולקבל $\frac1{12}$.

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את הבסיס: $BK=15$ ס"מ.

במשולש ישר הזווית $ABK$ היתר הוא $AB=25$:

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים כאילו $AK$ הוא היתר: $\sqrt{25^2+15^2}\approx29.15$. היתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה - $AB$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $600$ סמ"ר.

כל צלע של $ABC$ ארוכה פי 5 מהצלע המתאימה ב-$DEF$, ולכן מחלקים ב-5:

טעות נפוצה: לכפול ב-5 ולקבל $EF=150$, $DE=DF=125$ - אבל $DEF$ הוא המשולש הקטן.

גם הגבהים המתאימים מקיימים את יחס הדמיון: $DM=\frac{20}{5}=4$ ס"מ (או: $\sqrt{5^2-3^2}=4$).

$\frac{300}{12}=25=5^2$: השטח קטן פי ריבוע יחס הדמיון.

טעות נפוצה: להשתמש בגובה של המשולש הגדול עם הבסיס של הקטן: $\frac{6\cdot20}{2}=60$ סמ"ר (ואז נראה כאילו השטח קטן רק פי 5).

היקף $ABC$: $25+25+30=80$ ס"מ. היקף $DEF$: $5+5+6=16$ ס"מ.

יחד: $96$ ס"מ. $1$ מטר $=100$ ס"מ, ו-$96<100$, ולכן השרשרת מספיקה.

טעות נפוצה: לכפול את ההיקף של $ABC$ ביחס הדמיון במקום לחלק ($5\cdot80=400$ ס"מ להיקף $DEF$), לקבל יחד $480$ ס"מ ולהסיק שהשרשרת אינה מספיקה. $DEF$ הוא המשולש הקטן.

במשולש $ABD$ הזווית הישרה ב-$D$, ולכן $AB$ (מולה) הוא היתר:

טעות נפוצה: לחסר, $\sqrt{1.2^2-0.9^2}\approx0.79$ - קצר מהניצב $AD$, וזה לא ייתכן ליתר.

במשולש $ABD$: מול הזווית $B$ נמצא $AD=1.2$, וליד הזווית $BD=0.9$:

טעות נפוצה: להפוך את המנה, $\frac{0.9}{1.2}$, ולקבל $36.9^\circ$.

הנקודה $D$ נמצאת על $BC$, ולכן הקרן $BD$ והקרן $BC$ הן אותה קרן: $\angle ABC=\angle ABD\approx53.1^\circ$.

במשולש $ABC$ הזווית $A$ ישרה, $BC$ הוא היתר ו-$AB$ הניצב שליד $B$:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $1.5\cdot\cos53.1^\circ\approx0.9$ - זה אורך $BD$, ויתר לא יכול להיות קצר מ-$AB$.

במשולש $ABC$ (זווית ישרה ב-$A$), לפי פיתגורס:

(או: $AC=AB\cdot\tan B=1.5\cdot\frac43=2$.)

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים, $\sqrt{2.5^2+1.5^2}\approx2.92$ - כאן ידוע היתר ומחפשים ניצב, ולכן מחסרים.

4 כדורים עולים $4\cdot10=40$ שקלים. נסמן ב-$y$ את מספר החישוקים:

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום במחיר חישוק, $76:6\approx12.67$ - ולשכוח את הכסף ששולם בעבור הכדורים.

נסמן ב-$n$ את מספר הכדורים; זה גם מספר החישוקים. כל זוג של כדור וחישוק עולה $10+6=16$ שקלים:

טעות נפוצה: לחלק את הסכום במחיר כדור בלבד, $112:10=11.2$ - ולשכוח שעל כל כדור נקנה גם חישוק.

התייקרות של 10%: המחיר החדש הוא 110% מהמחיר הקודם:

טעות נפוצה: לחשב רק את גובה ההתייקרות, $10\cdot0.1=1$ שקל, ולענות שהמחיר הוא 1 שקל.

הכמויות לא השתנו, ומחיר החישוק לא השתנה - ולכן התשלום בעבור החישוקים זהה בשני החודשים. כל ההפרש בתשלום, $103-98=5$ שקלים, נובע מהתייקרות הכדורים.

כל כדור התייקר בשקל אחד ($11-10$), ולכן:

טעות נפוצה: לחלק את ההפרש במחיר החדש של כדור, $\frac{5}{11}\approx0.45$ - ההפרש נוצר מהתוספת לכל כדור (שקל אחד), לא מכדורים נוספים.

בחודש השלישי 5 כדורים עלו $5\cdot10=50$ שקלים:

בדיקה בחודש הרביעי: $5\cdot11+8\cdot6=55+48=103$ ✓.

טעות נפוצה: להשתמש במחיר החדש של כדור עם התשלום של החודש השלישי - $\frac{98-55}{6}\approx7.17$ - בחודש השלישי הכדור עלה עוד 10 שקלים.

מציבים $x=5$:

טעות נפוצה: להוריד $2$ ₪ פעם אחת בלבד: $17\cdot58=986$ ₪. ב-$x=5$ המחיר יורד ב-$2\cdot5=10$ ₪.

$y=0$ כשאחד הגורמים מתאפס:

$12+x=0\Rightarrow x=-12$; $60-2x=0\Rightarrow x=30$.

ל-$x=-12$ אין משמעות (מספר שלילי של ילדים נוספים).

ל-$x=30$ יש משמעות: כשמצטרפים $30$ ילדים המחיר לילד הוא $60-60=0$ - נאסף $0$ ₪.

טעות נפוצה: לפתור $12+x=0$ ולקבל $x=12$ (בלי הסימן), ואז "הנקודות $x=12$ ו-$x=30$". אבל $y(12)=24\cdot36=864\ne0$.

הפרבולה עצובה, והמקסימום בקדקוד - באמצע בין נקודות החיתוך מסעיף ב:

טעות נפוצה: לקחת את האמצע בין $0$ ל-$30$ (התחום שיש לו משמעות) במקום בין שתי נקודות החיתוך: $x=15$ ו-$y(15)=27\cdot30=810$ ₪. הקדקוד נקבע לפי שתי נקודות החיתוך של הפרבולה, גם זו שאין לה משמעות בהקשר.