מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 1 מעל רמת בגרות

נסמן ב-$x$ את אחוז שתילי הפלפל. הפלפלים והחצילים יחד הם $100\%-30\%-25\%=45\%$, ולכן אחוז החצילים הוא $45-x$.

הממוצע המשוקלל הוא סכום של (חלק מהשתילים) כפול (היבול לשתיל):

פלפלים: $20\%$, חצילים: $45\%-20\%=25\%$.

בדיקה: $1.8+1+0.6+1.25=4.65$.

טעות נפוצה: להניח בלי לבדוק שהפלפלים והחצילים מתחלקים שווה בשווה ($22.5\%$ כל אחד) - אבל אז הממוצע הוא $1.8+1+0.675+1.125=4.6$, לא 4.65.

בדיקה: $240+200+160+200=800$.

טעות נפוצה: להחליף בין האחוזים של הפלפל והחציל ($25\%$ פלפל, $20\%$ חציל) ולקבל 200 פלפלים ו-160 חצילים - אבל $x=20$ בסעיף א הוא אחוז שתילי הפלפל, ובחלוקה כזאת הממוצע היה $1.8+1+0.75+1=4.55$, לא 4.65.

הממוצע לא השתנה ומספר השתילים לא השתנה, ולכן גם היבול של כל החממה יחד לא השתנה: התוספת בעגבניות שווה לירידה בחצילים.

התוספת בעגבניות: כל שתיל עגבנייה נותן $6\cdot0.1=0.6$ ק"ג יותר:

לכן היבול של 200 החצילים יחד קטן ב-144 ק"ג, כלומר כל שתיל חציל נותן $\frac{144}{200}=0.72$ ק"ג פחות.

באחוזים מהיבול של שתיל חציל (5 ק"ג):

היבול של כל שתיל חציל קטן ב-$14.4\%$ (מ-5 ק"ג ל-4.28 ק"ג).

טעות נפוצה: לענות שהחצילים קטנו ב-$10\%$ "כדי לקזז" את העלייה של $10\%$ - אז הירידה היא רק $200\cdot0.5=100$ ק"ג מול תוספת של 144 ק"ג, והממוצע עולה ל-$4.705$ ק"ג.

הגזרות שוות, ולכן לכל גזרה הסתברות $\frac18$. המספר 6 רשום על גזרה אחת מתוך 8:

טעות נפוצה: להשוות את הגזרה של 6 לשבע הגזרות האחרות ולענות $\frac17$ - מחלקים במספר כל הגזרות, 8.

המספר 5 רשום על 3 גזרות מתוך 8:

טעות נפוצה: להשוות את 3 הגזרות של 5 ל-5 הגזרות האחרות ולענות $\frac35$ - במכנה נמצאות כל 8 הגזרות.

המספרים הזוגיים על הגלגל הם 4 ו-6. המספר 4 רשום על 4 גזרות והמספר 6 על גזרה אחת - בסך הכול 5 גזרות מתוך 8:

טעות נפוצה: לספור רק את הגזרות של 4 ולשכוח שגם 6 הוא מספר זוגי - ומקבלים $\frac48=\frac12$.

שני הסיבובים בלתי תלויים, ולכן כופלים את ההסתברויות:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום לכפול - $\frac38+\frac38=\frac34$ - "גם בפעם הראשונה וגם בשנייה" הוא חיתוך, ולכן כפל.

מוצאים את כל הזוגות (סיבוב ראשון, סיבוב שני) שסכומם 10:

ההסתברויות: $P(4)=\frac48=\frac12$, $P(5)=\frac38$, $P(6)=\frac18$.

המסלולים זרים, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לספור את הזוג 4 ו-6 פעם אחת בלבד ולשכוח את הסדר ההפוך - $\frac1{16}+\frac9{64}=\frac{13}{64}$.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס $AM$ חוצה את הבסיס: $BM=1.6$.

טעות נפוצה: להשתמש בשוק כגובה: $\frac{3.2\cdot3.4}{2}=5.44$ - השוק אינה מאונכת לבסיס.

$DE\parallel BC$, ולכן $\triangle ABC\sim\triangle ADE$ (זווית $A$ משותפת וזוויות מתאימות).

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון $k$:

טעות נפוצה: לענות $1.5625=\frac{25}{16}$ - זה יחס השטחים; יחס הדמיון הוא השורש שלו.

$DE$ מתאים ל-$BC$, והמשולש $ADE$ הוא הקטן:

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac54$ ולקבל $DE=4$ - ארוך מהבסיס $BC$, אף על פי שהתפר בתוך המפרש.

הגובה של המשולש $ADE$ (מ-$A$ אל $DE$) מתאים לגובה $AM=3$ של המשולש הגדול:

המרחק של התפר מהבסיס: $AM-h_{ADE}=3-2.4=0.6$ מטרים.

טעות נפוצה: לענות 2.4 מטרים - זה המרחק מהקודקוד $A$ אל התפר, לא המרחק מהבסיס.

המשולש $CEB$ ישר זווית ב-$E$. $BE=15$ הוא הניצב שליד הזווית $58^\circ$, ו-$CE$ הוא הניצב שמולה.

היחס בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה הוא טנגנס:

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס, כאילו 15 הוא היתר: $15\cdot\sin58^\circ\approx12.72$. היתר במשולש הוא $BC$, לא $BE$.

$M$ אמצע $CE$, ולכן $EM=\frac{24.01}{2}\approx12.00$.

במשולש ישר הזווית $AEM$ (הזווית הישרה ב-$E$) הניצבים הם $AE=36$ ו-$EM$. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל $CE$ במקום חציו ולקבל $\sqrt{36^2+24.01^2}\approx43.27$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ($\frac{36}{12.00}$) ולקבל $71.56^\circ$ - זו הזווית $AME$.

צריך את כל ארבע הצלעות של הטרפז.

$BC$ הוא היתר במשולש $CEB$, ו-$BE$ הניצב שליד הזווית: $\cos58^\circ=\frac{15}{BC}$, ולכן $BC=\frac{15}{\cos58^\circ}\approx28.31$.

$AB=BE+EA=15+36=51$.

$AECD$ מלבן, ולכן $CD=AE=36$ ו-$DA=CE\approx24.01$.

טעות נפוצה: לחשב $BC=15\cdot\cos58^\circ\approx7.95$ (לכפול במקום לחלק) - יתר קצר מהניצב - ולקבל היקף של כ-$118.95$.

המשכורת של טל גדלה ב-3.5% בכל שנה.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולענות 10.87% - זו הגדילה הכוללת בשלוש שנים.

מחפשים את ה-$t$ השלם הקטן ביותר שעבורו:

כל שנה היחס בין המשכורות משתנה פי $\frac{1.07}{1.035}\approx1.0338$. מנסים ערכים (או מחשבים ישירות את שתי המשכורות):

כעבור 9 שנים טל עדיין מרוויחה יותר, וכעבור 10 שנים מאיה מרוויחה יותר. מכיוון שהמשכורת של מאיה גדלה בקצב גבוה יותר, מרגע שעקפה היא נשארת גבוהה.

המשכורת של מאיה תהיה לראשונה גבוהה מזו של טל כעבור 10 שנים.

טעות נפוצה: להשוות למשכורת ההתחלתית של טל (12,500) כאילו היא לא גדלה: $9000\cdot1.07^t>12500$ מתקיים כבר ב-$t=5$, ולענות 5.

לפי סעיף ב, מאיה עקפה את טל כעבור 10 שנים. מקדם הגדילה הכולל ב-10 שנים:

כלומר המשכורת גדלה פי 1.9672 - גדילה כוללת של כ-96.72%.

(בדיקה: $\frac{17704.4}{9000}\approx1.9672$.)

טעות נפוצה: לכפול את האחוז השנתי במספר השנים, $7\%\cdot10=70\%$ - האחוזים מצטברים בכפל, לא בחיבור.

בכל יום יורדים מהמכל הכחול 100 ליטרים. ב-4 ימים: $4\cdot100=400$.

טעות נפוצה: לענות 400 - זו כמות המים שהוציאו מהמכל, לא הכמות שנשארה בו.

(אחרי 17 ימים: $1700-17\cdot100=0$.)

טעות נפוצה: לחלק בקצב של המכל הירוק, $\frac{1700}{50}=34$.

הכמות ההתחלתית 1,700, ובכל יום היא קטנה ב-100: $1700-100x$ - ביטוי III. בדיקה: $1700-400=1300$ (סעיף א(1)).

טעות נפוצה: לבחור בביטוי II, $1700+100x$ - לפיו כמות המים גדלה, אבל מוציאים מים מהמכל.

הכמות ההתחלתית 1,200, ובכל יום היא קטנה ב-50: $1200-50x$ - ביטוי I.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי IV, $1200x-50$ - בו הכמות ההתחלתית מוכפלת במספר הימים.

בדיקה: במכל הכחול $1700-1000=700$, ובמכל הירוק $1200-500=700$.

טעות נפוצה: לחבר את הקצבים כאילו כמות אחת עולה והשנייה יורדת: $500=150x$, $x\approx3.33$. שני המכלים מתרוקנים, ולכן הפער נסגר רק בהפרש הקצבים, $100-50=50$ ליטרים ביום.

הגרף שמתחיל ב-1,700 ויורד מהר יותר הוא של המכל הכחול; הגרף שמתחיל ב-1,200 הוא של המכל הירוק.

נקודת החיתוך: כעבור 10 ימים, עם 700 ליטרים בכל מכל (סעיף ג) - לכן $b=10$, $a=700$.

הגרף של המכל הכחול פוגש את ציר הזמן כשהמכל מתרוקן - כעבור 17 ימים (סעיף א(2)) - לכן $c=17$.

טעות נפוצה: לכתוב ב-$c$ את הזמן שבו מתרוקן המכל הירוק, $\frac{1200}{50}=24$ - הגרף שפוגש את הציר ב-$c$ הוא של המכל הכחול.