מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 4 בדרך לבגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), בדרך לבגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · גדילה במספר המנויים בשני אתרים: מקדם משתי שנים עוקבות

באתר חדשות א' מספר המנויים גדל בכל שנה ב-10%. בשנת 2018 היו באתר א' 40,000 מנויים.

א.

כמה מנויים היו באתר א' בשנת 2020?

גם באתר חדשות ב' מספר המנויים גדל באחוז קבוע בכל שנה. לפניכם גרף המתאר את מספר המנויים באתר ב' לפי השנים. היעזרו בגרף, וענו על הסעיפים ב-ד.
‫השנה‬‫מספר המנויים באתר ב׳‬50,00052,00020182019202020212022

ב(1).

כמה מנויים היו באתר ב' בשנת 2018?

ב(2).

כמה מנויים היו באתר ב' בשנת 2019?

ג.

בכמה אחוזים גדל מספר המנויים באתר ב' בכל שנה?

אתר שיהיו בו בשנת 2021 יותר מ-55,000 מנויים יקבל פרס.

ד.

קבעו בנוגע לכל אחד מן האתרים א' ו-ב', אם הוא יקבל את הפרס. נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

48,40048{,}40048,400 מנויים

גדילה של 10% בכל שנה: q=1.1q=1.1q=1.1. מ-2018 עד 2020 עברו t=2t=2t=2 שנים.
A2=40,000⋅1.12=40,000⋅1.21=48,400A_2=40{,}000\cdot1.1^2=40{,}000\cdot1.21=48{,}400A2​=40,000⋅1.12=40,000⋅1.21=48,400
טעות נפוצה: להוסיף פעמיים 10% מ-40,000 (כלומר 4,000 בכל שנה) ולקבל 48,00048{,}00048,000. בשנה השנייה הגדילה היא 10% מ-44,000, כלומר 4,400.

סעיף ב(1)

תשובה:

50,00050{,}00050,000 מנויים

הכמות בשנת 2018 היא הנקודה שבה הגרף חותך את הציר האנכי, מעל השנה 2018: רשום שם 50,000.
טעות נפוצה: לענות 40,00040{,}00040,000 - זה מספר המנויים באתר א' בשנת 2018.

סעיף ב(2)

תשובה:

52,00052{,}00052,000 מנויים

מעל השנה 2019 עולה קו עזר עד הגרף, וממנו קו אופקי עד הציר האנכי, שם רשום 52,000.
טעות נפוצה: לחשב עם אחוז הגדילה של אתר א': 50,000⋅1.1=55,00050{,}000\cdot1.1=55{,}00050,000⋅1.1=55,000. הקצב של אתר ב' לא נתון - קוראים מהגרף.

סעיף ג

תשובה:

ב-4%

מ-2018 עד 2019 עברה שנה אחת, ולכן המקדם הוא היחס בין שתי הכמויות:
q=52,00050,000=1.04q=\frac{52{,}000}{50{,}000}=1.04q=50,00052,000​=1.04
q=1.04=1+0.04q=1.04=1+0.04q=1.04=1+0.04, כלומר גדילה של 4% בכל שנה.
טעות נפוצה: לחשב את האחוז ביחס לכמות המאוחרת: 2,00052,000≈3.85%\frac{2{,}000}{52{,}000}\approx3.85\%52,0002,000​≈3.85%. אחוז הגדילה מחושב תמיד מהכמות שלפני הגדילה (50,000).

סעיף ד

תשובה:

אתר א\' לא יקבל (53,240<55,00053{,}240<55{,}00053,240<55,000); אתר ב\' יקבל (≈56,243>55,000\approx56{,}243>55{,}000≈56,243>55,000)

מ-2018 עד 2021 עברו t=3t=3t=3 שנים.
אתר א': 40,000⋅1.13=53,240<55,00040{,}000\cdot1.1^3=53{,}240<55{,}00040,000⋅1.13=53,240<55,000 - לא יקבל את הפרס.
אתר ב': 50,000⋅1.043≈56,243>55,00050{,}000\cdot1.04^3\approx56{,}243>55{,}00050,000⋅1.043≈56,243>55,000 - יקבל את הפרס.
טעות נפוצה: לספור את השנים 2018, 2019, 2020, 2021 ולקבל t=4t=4t=4: באתר א' 40,000⋅1.14=58,56440{,}000\cdot1.1^4=58{,}56440,000⋅1.14=58,564, ומסיקים בטעות ששני האתרים יקבלו את הפרס.

שאלה 2 · הסתברות: כדורים צהובים וירוקים

בשקית יש 10 כדורים: 2 כדורים צהובים ו-8 כדורים ירוקים.
דני מוציא באקראי כדור אחד מן השקית, רושם את צבעו, מחזיר אותו לשקית, ושוב מוציא באקראי כדור (הוצאה עם החזרה).

א.

מהי ההסתברות שהכדור הראשון שהוציא דני הוא צהוב?

ב.

מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציא דני צהובים?

ג.

מהי ההסתברות שהכדור הראשון צהוב והכדור השני ירוק?

ד.

מהי ההסתברות שדני הוציא בדיוק כדור צהוב אחד? (שימו לב: הכדור הצהוב יכול לצאת בהוצאה הראשונה או בשנייה.)

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

210=15\frac{2}{10}=\frac15102​=51​

יש 2 כדורים צהובים מתוך 10:
P(צהוב)=210=15=0.2P(\text{צהוב})=\frac{2}{10}=\frac15=0.2P(צהוב)=102​=51​=0.2
טעות נפוצה: לחלק במספר הכדורים הירוקים במקום בכל הכדורים: 28=14\frac28=\frac1482​=41​.

סעיף ב

תשובה:

125=0.04\frac{1}{25}=0.04251​=0.04

אחרי ההחזרה יש שוב 2 צהובים מתוך 10, כלומר ההוצאות בלתי תלויות, ומכפילים:
15⋅15=125\frac15\cdot\frac15=\frac{1}{25}51​⋅51​=251​
טעות נפוצה: לחבר: 15+15=25\frac15+\frac15=\frac2551​+51​=52​.

סעיף ג

תשובה:

425=0.16\frac{4}{25}=0.16254​=0.16

P(ירוק)=810=45P(צהוב, ירוק)=15⋅45=425P(\text{ירוק})=\frac{8}{10}=\frac45\qquad P(\text{צהוב, ירוק})=\frac15\cdot\frac45=\frac{4}{25}P(ירוק)=108​=54​P(צהוב, ירוק)=51​⋅54​=254​
טעות נפוצה: לחשב את ההוצאה השנייה כאילו הכדור הצהוב לא הוחזר: 210⋅89=845\frac{2}{10}\cdot\frac{8}{9}=\frac{8}{45}102​⋅98​=458​ - אבל הכדור הוחזר, ולכן בשקית שוב 10 כדורים.

סעיף ד

תשובה:

825=0.32\frac{8}{25}=0.32258​=0.32

שני מסלולים זרים: צהוב ואז ירוק (425\frac{4}{25}254​, סעיף ג), או ירוק ואז צהוב:
P(ירוק, צהוב)=45⋅15=425P(\text{ירוק, צהוב})=\frac45\cdot\frac15=\frac{4}{25}P(ירוק, צהוב)=54​⋅51​=254​
P(בדיוק צהוב אחד)=425+425=825P(\text{בדיוק צהוב אחד})=\frac{4}{25}+\frac{4}{25}=\frac{8}{25}P(בדיוק צהוב אחד)=254​+254​=258​
טעות נפוצה: לבלבל בין "בדיוק צהוב אחד" ל"לא שני צהובים" ולחשב 1−125=24251-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}1−251​=2524​ - כך נספר גם המקרה של שני ירוקים, שבו אין אף כדור צהוב.

שאלה 3 · דמיון משולשים: שני שלטים - צלעות מתאימות ויחס השטחים

שני שלטים בצורת משולשים ישרי זווית הם משולשים דומים: △ABC∼△DEF\triangle ABC\sim\triangle DEF△ABC∼△DEF (∠B=∠E=90∘\angle B=\angle E=90^\circ∠B=∠E=90∘), כמתואר בסרטוט.
הצלע ABABAB מתאימה לצלע DEDEDE, הצלע BCBCBC מתאימה לצלע EFEFEF, והצלע ACACAC מתאימה לצלע DFDFDF.
יחס הדמיון בין המשולש ABCABCABC ובין המשולש DEFDEFDEF הוא 4:34:34:3.
נתון: AB=12AB=12AB=12 ס"מ, BC=16BC=16BC=16 ס"מ.
DEFABC

א.

מצאו את אורך הצלע ACACAC.

ב.

מצאו את אורכי הצלעות של המשולש DEFDEFDEF.

ג.

מצאו את השטח הכולל של שני השלטים.

ד.

הראו כי היחס בין שטח המשולש ABCABCABC ובין שטח המשולש DEFDEFDEF שווה לריבוע יחס הדמיון.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

AC=20AC=20AC=20 ס"מ

הזווית BBB ישרה, ולכן ACACAC הוא היתר:
AC2=AB2+BC2=144+256=400⇒AC=20AC^2=AB^2+BC^2=144+256=400\quad\Rightarrow\quad AC=20AC2=AB2+BC2=144+256=400⇒AC=20
טעות נפוצה: לחסר את הריבועים ולקבל 162−122≈10.58\sqrt{16^2-12^2}\approx10.58162−122​≈10.58. את ACACAC מחשבים כיתר - מחברים.

סעיף ב

תשובה:

DE=9DE=9DE=9, EF=12EF=12EF=12, DF=15DF=15DF=15 ס"מ

כל צלע של DEFDEFDEF היא 34\frac3443​ מהצלע המתאימה ב-ABCABCABC:
DE=12⋅34=9,EF=16⋅34=12,DF=20⋅34=15DE=12\cdot\frac34=9,\qquad EF=16\cdot\frac34=12,\qquad DF=20\cdot\frac34=15DE=12⋅43​=9,EF=16⋅43​=12,DF=20⋅43​=15
טעות נפוצה: לכפול ב-43\frac4334​ ולקבל DE=16DE=16DE=16, EF≈21.3EF\approx21.3EF≈21.3, DF≈26.7DF\approx26.7DF≈26.7 - אבל היחס 4:34:34:3 הוא בין ABCABCABC ל-DEFDEFDEF, ולכן DEFDEFDEF קטן יותר.

סעיף ג

תשובה:

96+54=15096+54=15096+54=150 סמ"ר

SABC=12⋅162=96,SDEF=9⋅122=54S_{ABC}=\frac{12\cdot16}{2}=96,\qquad S_{DEF}=\frac{9\cdot12}{2}=54SABC​=212⋅16​=96,SDEF​=29⋅12​=54
השטח הכולל: 96+54=15096+54=15096+54=150 סמ"ר.
טעות נפוצה: לחשב את שטח DEFDEFDEF כ-34\frac3443​ משטח ABCABCABC, כלומר 727272, ולקבל שטח כולל של 168168168 סמ"ר.

סעיף ד

תשובה:

9654=169=(43)2\frac{96}{54}=\frac{16}{9}=\left(\frac43\right)^25496​=916​=(34​)2

SABCSDEF=9654=169\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\frac{96}{54}=\frac{16}{9}SDEF​SABC​​=5496​=916​
ויחס הדמיון בריבוע: (43)2=169\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9}(34​)2=916​. היחסים שווים.
הסיבה: השטח הוא מכפלה של שתי צלעות (חלקי 2), וכל אחת מהן קטנה פי 43\frac4334​.
טעות נפוצה: לחשוב שיחס השטחים שווה ליחס הדמיון עצמו, 43≈1.33\frac43\approx1.3334​≈1.33, ואז "להראות" שהשטחים שגויים כי 9654≈1.78≠1.33\frac{96}{54}\approx1.78\ne1.335496​≈1.78=1.33, ולהסיק שאחד השטחים חושב לא נכון. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

שאלה 4 · פירוק טרפז ישר זווית: קיר של מחסן

הקיר הצדדי של מחסן הוא בצורת טרפז ישר זווית ABCDABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD, ∠BCD=90∘\angle BCD=90^\circ∠BCD=90∘).
AEAEAE הוא הגובה של הטרפז (EEE על CDCDCD), ולכן ABCEABCEABCE הוא מלבן והמשולש AEDAEDAED ישר זווית ב-EEE.
אורך הצלע המשופעת ADADAD הוא 50 ס"מ, ∠ADC=40∘\angle ADC=40^\circ∠ADC=40∘, ואורך הבסיס CDCDCD הוא 80 ס"מ.
DCEAB

א.

מצאו את האורכים של AEAEAE ושל DEDEDE.

ב.

מצאו את אורך הבסיס העליון ABABAB.

ג.

מצאו את שטח המלבן ABCEABCEABCE, את שטח המשולש AEDAEDAED, ואת שטח הקיר כולו.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

AE≈32.14AE\approx32.14AE≈32.14 ס"מ, DE≈38.30DE\approx38.30DE≈38.30 ס"מ

במשולש ישר הזווית AEDAEDAED, ADADAD הוא היתר:
AE=50⋅sin⁡40∘≈32.14DE=50⋅cos⁡40∘≈38.30AE=50\cdot\sin40^\circ\approx32.14\qquad DE=50\cdot\cos40^\circ\approx38.30AE=50⋅sin40∘≈32.14DE=50⋅cos40∘≈38.30
טעות נפוצה: להחליף בין סינוס לקוסינוס ולקבל AE≈38.30AE\approx38.30AE≈38.30 - הניצב שמול הזווית DDD הוא AEAEAE, ולכן משתמשים בסינוס.

סעיף ב

תשובה:

≈41.70\approx41.70≈41.70 ס"מ

ABCEABCEABCE מלבן, ולכן AB=CEAB=CEAB=CE:
AB=CE=CD−DE≈80−38.30=41.70AB=CE=CD-DE\approx80-38.30=41.70AB=CE=CD−DE≈80−38.30=41.70
טעות נפוצה: לחסר מ-CDCDCD את הגובה AEAEAE במקום את DEDEDE: 80−32.14=47.8680-32.14=47.8680−32.14=47.86 - AEAEAE הוא קטע אנכי, ו-ABABAB שווה ל-CECECE, החלק של הבסיס התחתון שנשאר אחרי DEDEDE.

סעיף ג

תשובה:

מלבן ≈1,340\approx1{,}340≈1,340 סמ"ר, משולש ≈615.5\approx615.5≈615.5 סמ"ר, הקיר ≈1,956\approx1{,}956≈1,956 סמ"ר

SABCE=CE⋅AE≈41.70⋅32.14≈1,340.2S_{ABCE}=CE\cdot AE\approx41.70\cdot32.14\approx1{,}340.2SABCE​=CE⋅AE≈41.70⋅32.14≈1,340.2
SAED=DE⋅AE2≈38.30⋅32.142≈615.5S_{AED}=\frac{DE\cdot AE}{2}\approx\frac{38.30\cdot32.14}{2}\approx615.5SAED​=2DE⋅AE​≈238.30⋅32.14​≈615.5
SABCD≈1,340.2+615.5=1,955.7≈1,956S_{ABCD}\approx1{,}340.2+615.5=1{,}955.7\approx1{,}956SABCD​≈1,340.2+615.5=1,955.7≈1,956
(בלי עיגול בדרך מתקבל 1,955.61{,}955.61,955.6; גם בנוסחת הטרפז: (41.70+80)⋅32.142≈1,955.7\frac{(41.70+80)\cdot32.14}{2}\approx1{,}955.72(41.70+80)⋅32.14​≈1,955.7.)
טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בשטח המשולש ולקבל 1,340.2+1,231.0=2,571.21{,}340.2+1{,}231.0=2{,}571.21,340.2+1,231.0=2,571.2 סמ"ר.

שאלה 5 · עליית שכר באחוז קבוע: צעד אחר צעד

המשכורת של דנה בשנה הראשונה לעבודתה הייתה 8,000 שקלים לחודש. בכל שנה גדלה המשכורת של דנה ב-5%.

א.

מה יהיה מקדם הגדילה qqq? מצאו את המשכורת של דנה כעבור שנה אחת וכעבור שנתיים.

ב.

מצאו את המשכורת של דנה כעבור 5 שנים.

ג.

כעבור כמה שנים תעבור המשכורת של דנה לראשונה את 9,500 שקלים? הסבירו בעזרת חישוב המשכורת שנה אחר שנה.

רוני החלה לעבוד באותו היום שבו החלה דנה. המשכורת של רוני בשנה הראשונה הייתה 9,000 שקלים לחודש, ובכל שנה היא גדלה ב-2%.

ד.

מי מהשתיים תרוויח יותר כעבור 5 שנים? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

q=1.05q=1.05q=1.05; 8,400 שקלים ו-8,820 שקלים

גדילה של 5% היא כפל ב-q=1+0.05=1.05q=1+0.05=1.05q=1+0.05=1.05.
כעבור שנה: 8000⋅1.05=84008000\cdot1.05=84008000⋅1.05=8400.
כעבור שנתיים: 8400⋅1.05=88208400\cdot1.05=88208400⋅1.05=8820 (או 8000⋅1.052=88208000\cdot1.05^2=88208000⋅1.052=8820).
טעות נפוצה: להוסיף בשנה השנייה שוב 400 שקלים (5% מ-8,000) ולקבל 8,800 - בשנה השנייה ה-5% מחושבים מ-8,400.

סעיף ב

תשובה:

כ-10,210.25 שקלים

A5=8000⋅1.055≈10,210.25A_5=8000\cdot1.05^5\approx10{,}210.25A5​=8000⋅1.055≈10,210.25
טעות נפוצה: להוסיף 400 שקלים בכל שנה, 8000+5⋅400=10,0008000+5\cdot400=10{,}0008000+5⋅400=10,000.

סעיף ג

תשובה:

כעבור 4 שנים

ממשיכים לחשב שנה אחר שנה מהמשכורת שחושבה בסעיף א (כל שנה כופלים ב-1.05):
שנים234
משכורת (שקלים)8,8209,2619,724.05
כעבור 3 שנים המשכורת עדיין נמוכה מ-9,500, וכעבור 4 שנים היא כבר גבוהה ממנו. לכן המשכורת עוברת את 9,500 לראשונה כעבור 4 שנים.
טעות נפוצה: לענות 3, כי 9,261 "הכי קרוב" ל-9,500 - אבל הוא עדיין לא עבר אותו.

שנים	2	3	4
משכורת (שקלים)	8,820	9,261	9,724.05

סעיף ד

תשובה:

דנה (כ-10,210.25 שקלים לעומת כ-9,936.73 שקלים)

המשכורת של רוני כעבור 5 שנים:
9000⋅1.025≈9,936.739000\cdot1.02^5\approx9{,}936.739000⋅1.025≈9,936.73
המשכורת של דנה כעבור 5 שנים (סעיף ב): כ-10,210.25 שקלים. לכן דנה תרוויח יותר.
טעות נפוצה: לענות "רוני", כי המשכורת ההתחלתית שלה גבוהה יותר - בלי לחשב.

שאלה 6 · המודל הליניארי: שתי תוכניות סלולר

חברת סלולר מציעה שתי תוכניות:
תוכנית א: תשלום חודשי קבוע של 45 שקלים, ועוד 0.4 שקל על כל דקת שיחה.
תוכנית ב: תשלום חודשי קבוע של 15 שקלים, ועוד 0.9 שקל על כל דקת שיחה.

א.

מה יהיה התשלום החודשי בתוכנית א למי שמדבר 100 דקות בחודש?

ב.

נסמן ב-xxx את מספר דקות השיחה בחודש. כתבו ביטוי לתשלום החודשי בכל אחת מהתוכניות.

ג.

מצאו למי שמדבר כמה דקות בחודש התשלום בשתי התוכניות שווה.

ד.

דנה מדברת 100 דקות בחודש. איזו תוכנית זולה יותר בשבילה? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

85 שקלים

45+0.4⋅100=45+40=8545+0.4\cdot100=45+40=8545+0.4⋅100=45+40=85
טעות נפוצה: לכפול ב-100 גם את התשלום הקבוע: (45+0.4)⋅100=4,540(45+0.4)\cdot100=4{,}540(45+0.4)⋅100=4,540.

סעיף ב

תשובה:

תוכנית א: 45+0.4x45+0.4x45+0.4x; תוכנית ב: 15+0.9x15+0.9x15+0.9x

התשלום הקבוע נכתב כמספר בודד, והתשלום לדקה מוכפל במספר הדקות xxx:
תוכנית א: 45+0.4x45+0.4x45+0.4x; תוכנית ב: 15+0.9x15+0.9x15+0.9x.
טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב 0.4+45x0.4+45x0.4+45x - כך כל דקה עולה 45 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

60 דקות (בשתי התוכניות 69 שקלים)

משווים את שני הביטויים מסעיף ב:
45+0.4x=15+0.9x45+0.4x=15+0.9x45+0.4x=15+0.9x
45−15=0.9x−0.4x⇒30=0.5x⇒x=6045-15=0.9x-0.4x\quad\Rightarrow\quad30=0.5x\quad\Rightarrow\quad x=6045−15=0.9x−0.4x⇒30=0.5x⇒x=60
בדיקה: 45+0.4⋅60=6945+0.4\cdot60=6945+0.4⋅60=69 ו-15+0.9⋅60=6915+0.9\cdot60=6915+0.9⋅60=69.
טעות נפוצה: להעביר את 15 לאגף השני בלי להחליף סימן: 45+15=0.5x45+15=0.5x45+15=0.5x, ולקבל x=120x=120x=120.

סעיף ד

תשובה:

תוכנית א (85 שקלים לעומת 105 שקלים בתוכנית ב)

תוכנית א: 85 שקלים (סעיף א).
תוכנית ב: 15+0.9⋅100=10515+0.9\cdot100=10515+0.9⋅100=105 שקלים.
85<10585<10585<105, ולכן תוכנית א זולה יותר.
טעות נפוצה: לבחור בתוכנית ב כי התשלום הקבוע שלה נמוך יותר - מעל 60 דקות התשלום לדקה הגבוה של תוכנית ב כבר מכריע.

שאלה 1 · גדילה במספר המנויים בשני אתרים: מקדם משתי שנים עוקבות

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 2 · הסתברות: כדורים צהובים וירוקים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 3 · דמיון משולשים: שני שלטים - צלעות מתאימות ויחס השטחים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 4 · פירוק טרפז ישר זווית: קיר של מחסן

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 5 · עליית שכר באחוז קבוע: צעד אחר צעד

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 6 · המודל הליניארי: שתי תוכניות סלולר

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד