מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 5 בדרך לבגרות

$q=1.05$, ומ-2018 עד 2023 עברו $t=5$ שנים.

טעות נפוצה: לחבר $5\%$ חמש פעמים מהכמות ההתחלתית ($25\%$ מ-$20{,}000$) ולקבל $25{,}000$. בכל שנה האחוז מחושב מהכמות של אותה שנה, ולכן כופלים ב-$1.05^5$.

לפי הגרף: בשנת 2018 היו $25{,}000$ תושבים, ובשנת 2019 - $25{,}750$.

בין שתי שנים עוקבות הכמות מוכפלת במקדם $q$ פעם אחת:

מספר התושבים ביישוב ב' גדל ב-$3\%$ בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את התוספת (750) בכמות של 2019 במקום בכמות של 2018: $\frac{750}{25{,}750}\approx2.91\%$. אחוז הגידול מחושב מהכמות שלפני הגידול.

יוצאים משנת 2018 ($A_0=25{,}000$) עם $q=1.03$ ו-$t=5$:

טעות נפוצה: לצאת מהערך של 2019 ($25{,}750$) ובכל זאת להעלות בחזקת 5: $25{,}750\cdot1.03^5\approx29{,}851$. מ-2019 עד 2023 עברו רק 4 שנים.

בשנת 2023: ביישוב ב' כ-$28{,}982$ תושבים וביישוב א' כ-$25{,}526$, ולכן ביישוב ב' היו יותר תושבים.

ההפרש בשנת 2018: $25{,}000-20{,}000=5{,}000$.

ההפרש בשנת 2023: $28{,}982-25{,}526=3{,}456$.

ההפרש קטן, כי יישוב א' גדל באחוז גדול יותר ($5\%$ לעומת $3\%$), אף על פי שהוא עדיין קטן יותר.

טעות נפוצה: לקבוע שההפרש גדל, כי ביישוב ב' יש יותר תושבים בכל השנים ולכן הוא "מתרחק". בכמות זה לא נכון: ההפרש ירד ל-$3{,}456$.

3 כדורים, ולכל אחד אותו סיכוי. רק על אחד מהם רשום 3: $P=\frac13$.

טעות נפוצה: לענות $\frac12$ ("1 מול 2 האחרים") - במכנה נמצאים כל הכדורים.

הכדור מוחזר, ולכן ההוצאות בלתי תלויות:

טעות נפוצה: לחבר, $\frac13+\frac13=\frac23$.

בכל משבצת מחברים את מספר השורה ואת מספר העמודה:

בטבלה 9 משבצות, ולכל אחת מהן אותה הסתברות: $\frac13\cdot\frac13=\frac19$.

טעות נפוצה: לרשום במשבצות את המכפלה במקום הסכום (למשל בשורה של 3: 3, 6, 9 במקום 4, 5, 6).

בטבלה יש שתי משבצות עם סכום 5: $(2,3)$ ו-$(3,2)$.

טעות נפוצה: לחשוב שכל הסכומים האפשריים (2, 3, 4, 5, 6) שווי סיכוי ולענות $\frac15$ - הסכומים אינם שווי סיכוי; סופרים משבצות בטבלה.

משבצות עם סכום זוגי: $(1,1)=2$, $(1,3)=4$, $(3,1)=4$, $(2,2)=4$, $(3,3)=6$ - חמש משבצות.

טעות נפוצה: לספור את $(1,3)$ ו-$(3,1)$ פעם אחת ולקבל $\frac49$.

במשולש ישר הזווית $ABC$ (זווית ישרה ב-$C$), $AB$ הוא היתר:

טעות נפוצה: לחסר: $\sqrt{225-64}=\sqrt{161}\approx12.69$.

$AC$ ו-$AE$ הן צלעות מתאימות, ושתיהן ידועות:

טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך, $\frac{6}{15}=0.4$ - זה היחס בין המשולש $ADE$ למשולש $ABC$, ולא כפי שהתבקש.

$DE$ מתאים ל-$BC$, והמשולש $ADE$ קטן פי 2.5:

טעות נפוצה: לכפול ב-2.5 ולקבל $20$ - ארוך מהעמוד $BC$.

$AD$ מתאים ל-$AB$:

$D$ נמצאת על $AB$, ולכן $DB=AB-AD=17-6.8=10.2$.

טעות נפוצה: לחשב את $AD$ מהצלע שאינה מתאימה, $\frac{AC}{2.5}=6$, ולקבל $DB=17-6=11$.

$AC$ מול הזווית $35^\circ$ ו-$BC$ לידה, ולכן משתמשים בטנגנס:

טעות נפוצה: לכפול, $15\cdot\tan35^\circ\approx10.50$ - בזווית קטנה מ-$45^\circ$ הניצב שליד הזווית ארוך מהניצב שמולה.

$AB$ הוא היתר, ו-$AC$ מול הזווית:

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס, $\frac{15}{\cos35^\circ}\approx18.31$ - יוצא יתר קצר מהניצב $BC$.

$D$ על המשך $CB$ מעבר ל-$B$, ולכן $DC=DB+BC\approx4+21.42=25.42$.

טעות נפוצה: להחסיר, $21.42-4=17.42$ - $D$ רחוקה יותר מהמגדל, לא קרובה יותר.

במשולש ישר הזווית $ADC$:

טעות נפוצה: להציב את $BD=4$ במקום $DC$: $\tan\sphericalangle ADC=\frac{15}{4}$ ולקבל כ-$75.07^\circ$.

ירידה של $12\%$: $q=1-0.12=0.88$.

מתחילת 2022 עד תחילת 2025 עברו 3 שנים: $120{,}000\cdot0.88^3\approx81{,}777$.

טעות נפוצה: לקחת $q=0.12$ (האחוז עצמו) ולקבל ערך זעום, $120{,}000\cdot0.12^3\approx207$ שקלים - $q$ הוא החלק שנשאר מהערך, $88\%$.

מחשבים את הערך שנה אחרי שנה (ניסוי וטעייה):

$t=4$ (2026): $120{,}000\cdot0.88^4\approx71{,}963$ - עדיין מעל 70,000.

$t=5$ (2027): $120{,}000\cdot0.88^5\approx63{,}328$ - לראשונה מתחת ל-70,000.

טעות נפוצה: לחפש $t$ שבו $0.88^t\approx\frac{70{,}000}{120{,}000}\approx0.583$, לקבל $t\approx4.2$, לעגל כלפי מטה ל-4 ולענות 2026 - אבל ב-2026 הערך עדיין $71{,}963$, מעל 70,000; הערך יורד מתחת ל-70,000 רק אחרי $t=4$, כלומר בתחילת 2027.

תחילת 2020 היא שנתיים לפני תחילת 2022. בכל שנה הערך הוכפל ב-0.88, ולכן חוזרים אחורה בחלוקה:

טעות נפוצה: "להוסיף בחזרה" $12\%$ בכל שנה, $120{,}000\cdot1.12^2\approx150{,}528$ - אבל $12\%$ מחושבים מהערך הגבוה של השנה הקודמת, ולכן חוזרים אחורה בחלוקה ב-0.88 ולא בכפל ב-1.12.

ל-4 חודשים תוכנית ב' זולה יותר.

טעות נפוצה: לבחור בתוכנית א' כי המחיר החודשי שלה נמוך יותר - בלי לחשב את דמי ההרשמה.

בתוכנית א' משלמים 150 פעם אחת ועוד 80 לכל חודש: $150+80x$.

בתוכנית ב' משלמים רק 110 לכל חודש: $110x$.

טעות נפוצה: לכתוב בתוכנית א' $80+150x$ - דמי ההרשמה משולמים פעם אחת, לא כל חודש.

טעות נפוצה: לשכוח את דמי ההרשמה, $\frac{1030}{80}=12.875$, ולענות 12 חודשים.

משווים את שני הביטויים:

לאחר 5 חודשים המחיר שווה (550 שקלים). בכל חודש תוכנית ב' יקרה ב-30 שקלים, ולכן אחרי 5 חודשים היא "משלימה" את דמי ההרשמה של 150 שקלים.

טעות נפוצה: לחלק את דמי ההרשמה במחיר החודשי של תוכנית א', $\frac{150}{80}=1.875$, במקום בהפרש בין המחירים החודשיים.