מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 2 מעל רמת בגרות

ברגע הפיזור הזמן הוא $t=0$, ולכן הכמות ההתחלתית היא נקודת החיתוך של כל גרף עם הציר האנכי.

הגרף של דשן א' יוצא מ-32, והגרף של דשן ב' יוצא מ-96.

טעות נפוצה: להחליף בין הגרפים ולענות שבדשן א' יש 96 ובדשן ב' 32 - הגרף שמתחיל גבוה ויורד בתלילות מסומן "דשן ב'".

משווים את הירידה של שני הגרפים בארבעת הימים הראשונים, עד נקודת החיתוך $(4,24)$:

דשן א': מ-32 ל-24, כלומר נשאר $\frac{24}{32}=0.75$ מהכמות ההתחלתית.

דשן ב': מ-96 ל-24, כלומר נשאר רק $\frac{24}{96}=0.25$ מהכמות ההתחלתית.

באותו זמן נשאר מדשן ב' חלק קטן יותר, והגרף שלו יורד בתלילות רבה יותר - כמות החנקן של דשן ב' קטנה מהר יותר.

טעות נפוצה: לבלבל בין "גבוה יותר" ל"יורד מהר יותר" - מהיום הרביעי והלאה הגרף של דשן א' נמצא מעל הגרף של דשן ב', ומכאן לענות בטעות "דשן א'".

קוראים מהגרף את כמות החנקן של כל דשן כעבור 8 ימים:

דשן א': 18 גרם למ"ר - יותר מ-10.

דשן ב': 6 גרם למ"ר - פחות מ-10.

אפשר גם לחשב: בכל 4 ימים הכמות של דשן א' מוכפלת ב-0.75, ושל דשן ב' ב-0.25 (סעיף ב). 8 ימים הם פעמיים 4 ימים:

רק דשן א' עומד בדרישה, ולכן כדאי לפזר את דשן א'.

טעות נפוצה: לבחור בדשן ב' כי ברגע הפיזור יש ממנו פי 3 (96 לעומת 32) - הדרישה היא על הכמות כעבור 8 ימים, ושם נשארו מדשן ב' רק 6 גרם למ"ר.

הכמויות שוות בנקודת החיתוך של שני הגרפים, $(4,24)$, כלומר 4 ימים אחרי הפיזור.

הדשנים פוזרו בבוקר 3 במאי, ולכן הכמויות היו שוות ארבעה ימים מאוחר יותר: $3+4=7$, ב-7 במאי בבוקר.

טעות נפוצה: לספור את 3 במאי עצמו כיום הראשון (3, 4, 5, 6) ולענות "6 במאי" - כעבור יום אחד מ-3 במאי בבוקר מגיעים ל-4 במאי בבוקר, וכעבור 4 ימים ל-7 במאי.

ב-7 במאי עברו 4 ימים מהפיזור. בנקודת החיתוך $(4,24)$ הכמות היא 24.

בחלקה של חקלאי א' היו 24 גרם חנקן למ"ר (וזו גם הכמות בחלקה של חקלאי ב').

טעות נפוצה: לענות כמה חנקן התפרק עד אז, $32-24=8$ גרם למ"ר - השאלה היא כמה חנקן היה בקרקע, כלומר כמה נשאר.

קוראים מהגרף של דשן א' שתי נקודות: $(0,32)$ ו-$(4,24)$.

מציבים בנוסחה $A_t=A_0\cdot q^t$ עם $A_0=32$, $t=4$, $A_4=24$:

בכל יום נשארים כ-93.06% מהכמות, ולכן הכמות קטנה בכל יום ב-$100\%-93.06\%=6.94\%$.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה הכוללת בארבעת הימים (25%) במספר הימים ולענות $\frac{25\%}{4}=6.25\%$ - בתהליך מעריכי האחוז מחושב בכל יום מהכמות שנשארה, ולכן מוציאים שורש רביעי.

נסמן ב-$p$ את ההסתברות שתושב אקראי מקבל את החדשות בעיקר מאתרי חדשות. האוכלוסייה גדולה, ולכן שתי הבחירות בלתי תלויות:

הסתברות אינה שלילית, ולכן $p=0.3$: 30% מאתרי חדשות.

רשתות חברתיות: 100% - 60% - 30% = 10%.

טעות נפוצה: לשכוח שהנתון הוא הסתברות של שני תושבים יחד, לקחת $p=0.09$ (9%), ולקבל 31% לרשתות החברתיות.

"ממקורות שונים" הוא המשלים של "מאותו מקור". "מאותו מקור" הוא שלושה מסלולים זרים:

(אפשר גם לחבר את ששת המסלולים של זוגות שונים: $2(0.6\cdot0.3+0.6\cdot0.1+0.3\cdot0.1)=0.54$.)

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות למקור זהה, $0.46$, ולעצור בה - בלי לעבור למשלים.

"בדיוק שניים" - שניים מהטלוויזיה ואחד לא. התושב שלא מהטלוויזיה יכול להיות הראשון, השני או השלישי, ולכן יש שלושה מסלולים זרים, ובכל אחד מהם אותה מכפלה:

טעות נפוצה: לחשב מסלול אחד בלבד (טלוויזיה, טלוויזיה, אחר) ולקבל $0.144$.

המשלים של "לפחות אחד" הוא "אף אחד": כל שלושת התושבים מקבלים את החדשות ממקור אחר, בהסתברות $0.9$ כל אחד.

טעות נפוצה: לחשב רק את המקרה "בדיוק אחד" - $3\cdot0.1\cdot0.9^2=0.243$ - ולשכוח את המקרים שבהם שניים או שלושה מקבלים את החדשות מרשתות חברתיות.

בכל משולש שווה שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות זו לזו.

נסמן את זווית הראש (המשותפת לשני המשולשים) ב-$\alpha$. בכל אחד מהמשולשים כל זווית בסיס היא $\frac{180^\circ-\alpha}{2}$.

לכן זוויות הבסיס של המשולש הקטן שוות לזוויות הבסיס של הגדול, וגם זוויות הראש שוות. לפי ז.ז. המשולשים דומים.

טעות נפוצה: לנמק רק "שני המשולשים שווי שוקיים, ולכן הם דומים". זה לא מספיק: יש משולשים שווי שוקיים צרים ורחבים שאינם דומים. מה שקובע הוא שזוויות הראש שוות.

פס הנחושת עובר לאורך שלוש הצלעות של המשולש הגדול - שתי שוקיים ובסיס:

דרושים 32 ס"מ של פס נחושת.

טעות נפוצה: לספור שוק אחת בלבד ולחשב $10+12=22$.

יחס הדמיון $5:3$ הוא היחס בין צלע במשולש הגדול לצלע המתאימה במשולש הקטן, ולכן כל צלע של הקטן היא $\frac{3}{5}$ מהצלע המתאימה בגדול.

שוק: $10\cdot\frac{3}{5}=6$ ס"מ. בסיס: $12\cdot\frac{3}{5}=7.2$ ס"מ.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $10\cdot\frac{5}{3}\approx16.67$ ו-$12\cdot\frac{5}{3}=20$ - צלעות ארוכות משל המשולש הגדול.

היקף המשולש הקטן: $6+6+7.2=19.2$ ס"מ (או: יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, $32\cdot\frac{3}{5}=19.2$).

פס נחושת מקיף את שני המשולשים:

טעות נפוצה: לחשב את היקף הקטן כשוק אחת ובסיס, $6+7.2=13.2$, ולקבל $32+13.2=45.2$.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן הוא מחלק את הבסיס לשני חלקים של $\frac{7.2}{2}=3.6$ ס"מ.

נוצר משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא השוק (6) ואחד הניצבים 3.6. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $h=\sqrt{6^2+3.6^2}\approx7.0$ - גובה ארוך מהשוק, שהיא היתר.

שטח משולש הוא מחצית מכפלת הבסיס בגובה אליו:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $7.2\cdot4.8=34.56$.

נסמן $AC=h$. בשני המשולשים ישרי הזווית $ABC$ ו-$ADC$ הניצב $h$ משותף, ונביע בעזרתו את הניצבים שעל הקרקע:

$D$ על המשך $CB$, ולכן $DC-BC=BD=6$:

טעות נפוצה: להתייחס למשולש $ABD$ כאילו הוא ישר זווית ולחשב $h=6\cdot\tan41^\circ\approx5.22$ - הניצב שליד הזווית $41^\circ$ הוא $DC$ כולו, לא $BD$.

במשולש $ADC$: $AC\approx11.418$ מול הזווית $41^\circ$, ו-$AD$ הוא היתר:

טעות נפוצה: לחלק בקוסינוס, $\frac{11.418}{\cos41^\circ}\approx15.13$ - קוסינוס שייך לניצב שליד הזווית ($DC$).

ככל שהיתד רחוק יותר מ-$C$, החבל (היתר) צריך להיות ארוך יותר. המרחק הגדול ביותר מתקבל כשהחבל מתוח לכל אורכו, 20 מטרים.

במשולש ישר הזווית: יתר 20, ניצב אנכי $AC\approx11.418$, והמרחק על הקרקע הוא הניצב השני:

טעות נפוצה: לחבר ריבועים, $\sqrt{20^2+11.418^2}\approx23.03$ - המרחק על הקרקע הוא ניצב, ולכן הוא קצר מהחבל.

עלייה של $4\%$ בשנה: $q=1.04$. מתחילת 2018 עד תחילת 2025 עברו $t=7$ שנים:

טעות נפוצה: לחשב $7\cdot4\%=28\%$ מהמחיר ההתחלתי ולקבל $750{,}000\cdot1.28=960{,}000$ - העלייה בכל שנה מחושבת מהמחיר של אותה שנה.

$1.04^1=1.04$, $1.04^2=1.0816$ - ולכן $t=2$: שנתיים אחרי תחילת 2018, בתחילת שנת 2020.

טעות נפוצה: לספור את 2018 כשנה הראשונה ולענות 2019 - אבל $t=2$ פירושו שעברו שתי שנים שלמות מתחילת 2018.

מתחילת 2021 עד תחילת 2025 עברו 4 שנים:

$q=0.92=1-0.08$: המחיר יורד ב-$8\%$ בכל שנה.

טעות נפוצה: לספור 5 שנים (2021 עד 2025 כולל) ולחשב $q=\sqrt[5]{0.7164}\approx0.935$, כלומר ירידה של כ-$6.5\%$.

תחילת 2018 היא 3 שנים לפני תחילת 2021. כדי לחזור אחורה מחלקים ב-$q^3$:

טעות נפוצה: לכפול ב-$0.92^3$ במקום לחלק ולקבל $800{,}000\cdot0.92^3\approx622{,}950$ - אבל המחיר יורד עם השנים, ולכן ב-2018 הוא היה גבוה מ-800,000.

מחיר המגרש של רונית עולה ומחיר המגרש של אמיר יורד - צריך גרף עולה וגרף יורד. בסרטוט II שני הגרפים עולים - נפסל.

בתחילת 2018 מחיר המגרש של אמיר (כ-1,027,369 שקלים, סעיף ג(2)) גבוה ממחיר המגרש של רונית (750,000 שקלים). לכן הגרף היורד צריך להתחיל מעל הגרף העולה.

בסרטוט I הגרף העולה מתחיל גבוה יותר - נפסל. בסרטוט III הגרף היורד מתחיל גבוה יותר, והגרפים נחתכים כשהמחירים משתווים (בין 2020 ל-2021) - זה הסרטוט המתאים.

טעות נפוצה: לבחור בסרטוט I כי "בשנים המאוחרות רונית יקרה יותר" - בלי לבדוק מי היה יקר יותר בנקודת ההתחלה, 2018.

הצעה א': $y=40+0.5x$.

הצעה ב': עד $100$ ק"מ $y=70$. מעבר ל-$100$ ק"מ משלמים $1.5$ שקלים רק על הק"מ שמעבר לסף, כלומר על $x-100$ ק"מ:

טעות נפוצה: לכתוב $y=70+1.5x$ לנסיעה של יותר מ-$100$ ק"מ, כאילו גם $100$ הק"מ הראשונים מחויבים בנפרד.

בודקים כל קטע של הצעה ב' בנפרד.

עד $100$ ק"מ: $40+0.5x=70\ \Rightarrow\ x=60$ - בתחום ($60\le100$), ולכן מתאים.

מעבר ל-$100$ ק"מ: $40+0.5x=1.5x-80\ \Rightarrow\ x=120$ - בתחום ($120>100$), ולכן מתאים.

המחיר זהה בנסיעה של $60$ ק"מ (שתי ההצעות $70$ שקלים) ובנסיעה של $120$ ק"מ (שתיהן $100$ שקלים).

טעות נפוצה: לפתור רק עם הביטוי של הקטע העולה ולמצוא רק $x=120$, בלי לבדוק את הקטע האופקי.

בתחילת הדרך הצעה ב' יקרה יותר ($70$ לעומת $40$). ב-$60$ ק"מ המחירים משתווים, ומשם הצעה א' ממשיכה לעלות בעוד הצעה ב' קבועה - הצעה ב' זולה יותר.

מעבר ל-$100$ ק"מ הצעה ב' עולה מהר יותר ($1.5$ לק"מ לעומת $0.5$), וב-$120$ ק"מ המחירים שוב משתווים. מכאן והלאה הצעה א' זולה יותר.

לכן הצעה ב' זולה יותר כאשר $60<x<120$.

טעות נפוצה: להסתפק בנקודת השוויון הראשונה ולענות $x>60$ - אבל בנסיעה של $150$ ק"מ הצעה ב' עולה $145$ שקלים והצעה א' רק $115$.

החיסכון הוא ההפרש (מחיר א') פחות (מחיר ב').

אם $x\le100$: $(40+0.5x)-70=12\ \Rightarrow\ 0.5x=42\ \Rightarrow\ x=84$ - מתאים ($84\le100$).

אם $x>100$: $(40+0.5x)-(1.5x-80)=12\ \Rightarrow\ 120-x=12\ \Rightarrow\ x=108$ - מתאים ($108>100$).

אופק נסע $84$ ק"מ או $108$ ק"מ. (בדיקה: ב-$84$ ק"מ: $82$ לעומת $70$; ב-$108$ ק"מ: $94$ לעומת $82$.)

טעות נפוצה: לפתור רק במקרה הראשון ולענות $84$ ק"מ בלבד. הפרש של $12$ שקלים מתקבל פעמיים - פעם בכל צד של הסף.