מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 3 מעל רמת בגרות

ירידה של $10\%$ בשנה: $q=1-0.1=0.9$. מ-2018 עד 2022 עברו $t=4$ שנים.

טעות נפוצה: להפחית $4\cdot10\%=40\%$ מהכמות ההתחלתית ולקבל $73{,}205\cdot0.6\approx43{,}923$. בכל שנה הירידה היא $10\%$ מהכמות של אותה שנה.

בשנת 2022 מספר המנויים בשתי החברות שווה, ולכן גם לחברה ב' היו בשנת 2022 כ-$48{,}030$ מנויים (סעיף א).

מ-2018 עד 2022 עברו 4 שנים:

מספר המנויים של חברה ב' גדל ב-$10\%$ בכל שנה.

טעות נפוצה: להציב כמות סופית את מספר המנויים של חברה א' בשנת 2018 ($73{,}205$) במקום בשנת 2022: $q^4=\frac{73{,}205}{32{,}805}$, $q\approx1.222$, ולקבל גידול של כ-$22.2\%$.

בארבע שנים הכמות הוכפלה ב-$0.9^4=0.6561$, כלומר נשארו $65.61\%$ מהמנויים.

מספר המנויים של חברה א' קטן בסך הכול ב-$34.39\%$. (בדיקה: $\frac{73{,}205-48{,}029.8}{73{,}205}\approx0.3439$.)

טעות נפוצה: לחבר את הירידות, $4\cdot10\%=40\%$. כל ירידה של $10\%$ מחושבת מכמות קטנה יותר, ולכן הירידה הכוללת קטנה מ-$40\%$.

משנת 2022 מספר המנויים שווה. בכל שנה מספר המנויים של ב' מוכפל ב-$1.1$ ושל א' ב-$0.9$, ולכן היחס $\frac{B}{A}$ מוכפל בכל שנה ב-$\frac{1.1}{0.9}\approx1.222$.

מנסים שנה אחרי שנה (מ-2022, כשהיחס 1):

ב-2025 היחס עדיין קטן מ-2, וב-2026 הוא כבר גדול מ-2. לכן משנת 2026 מספר המנויים של חברה ב' גדול פי 2 לפחות ממספר המנויים של חברה א'.

טעות נפוצה: לחפש מתי חברה ב' תגיע לפי 2 ממספר המנויים בשנת 2022 ($2\cdot48{,}030$), כאילו חברה א' לא ממשיכה לרדת: $1.1^7<2<1.1^8$, ולענות 2030.

מיכל קנתה ב-$23+31=54$ שקלים - בין 50 ל-150 שקלים - ולכן היא מוציאה כדור אחד.

בהוצאה אחת, 20 שקלים מתקבלים רק מכדור זהוב. יש 5 כדורים זהובים מתוך 20:

טעות נפוצה: לספור שלושה צבעים ולענות $\frac13$ - הצבעים אינם שווי סיכוי, כי מספר הכדורים מכל צבע שונה.

יונתן קנה ב-162 שקלים, יותר מ-150, ולכן הוא מוציא כדור פעמיים (עם החזרה).

בכל הוצאה אפשר לזכות לכל היותר ב-20 שקלים, ולכן 40 שקלים מתקבלים רק משני כדורים זהובים.

הכדור מוחזר לשקית, ולכן בכל הוצאה $P(20)=0.25$ וההוצאות בלתי תלויות:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות, $0.25+0.25=0.5$ - כשצריך זהוב גם בפעם הראשונה וגם בשנייה, כופלים.

בכל הוצאה: $P(20)=0.25$, $P(10)=\frac{6}{20}=0.3$, $P(0)=\frac{9}{20}=0.45$.

שלוש דרכים לזכות בדיוק ב-20 שקלים בשתי הוצאות:

זהוב ואז לבן: $0.25\cdot0.45=0.1125$

לבן ואז זהוב: $0.45\cdot0.25=0.1125$

כסוף ואז שוב כסוף: $0.3\cdot0.3=0.09$

טעות נפוצה: לשכוח את המסלול "כסוף ועוד כסוף" (10 ועוד 10) ולקבל $0.1125+0.1125=0.225$.

נגה קנתה ב-$89+58=147$ שקלים. זה פחות מ-150 שקלים, ולכן היא מוציאה כדור אחד בלבד.

בהוצאה אחת אפשר לזכות ב-20 שקלים, ב-10 שקלים או לא לזכות - אין כדור של 30 שקלים, ולכן זה מאורע בלתי אפשרי:

טעות נפוצה: לחשוב שסכום קרוב ל-150 מזכה בשתי הוצאות, ולחשב 20 ו-10 בשני סדרים: $2\cdot0.25\cdot0.3=0.15$.

$\angle DAB=\angle ECB=90^\circ$ (נתון), ו-$\angle ABD=\angle CBE$ (זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה). לכן $\triangle CBE\sim\triangle ABD$ (ז.ז.).

$AB=3$, ולכן $BC=150-3=147$ מטרים.

מהדמיון: $\frac{EC}{DA}=\frac{BC}{AB}$, כלומר $\frac{EC}{1.5}=\frac{147}{3}=49$, ומכאן $EC=1.5\cdot49=73.5$ מטרים.

עכשיו $AB=4$ ו-$BC=150-4=146$ מטרים. המשולשים עדיין דומים (אותו נימוק כמו בסעיף א).

נסמן ב-$h$ את גובה הפגיעה: $\frac{h}{1.5}=\frac{146}{4}=36.5$, ולכן $h=1.5\cdot36.5=54.75$ מטרים. זה פחות מ-73.5, ולכן הקרן פוגעת בקיר מתחת לגג.

נסמן $AB=x$, ואז $BC=150-x$. מהדמיון: $\frac{36}{1.5}=\frac{150-x}{x}$, כלומר $24x=150-x$, ומכאן $25x=150$ ו-$x=6$ מטרים.

מהדמיון, גובה הפגיעה בקיר הוא $1.5\cdot\frac{BC}{AB}$.

כשמזיזים את המראה לכיוון נועה, $AB$ קטן ו-$BC$ גדל, ולכן היחס $\frac{BC}{AB}$ גדל והקרן פוגעת גבוה יותר. כשמזיזים את המראה לכיוון הבניין, הקרן פוגעת נמוך יותר (כמו בסעיף ב: 54.75 מטרים כש-$AB=4$).

לפי סעיף א, כש-$AB=3$ הקרן פוגעת בדיוק בקצה הגג. אם המראה קרובה יותר לנועה ($AB<3$), הקרן פוגעת מעל גובה 73.5 מטרים, כלומר עוברת מעל הגג.

לכן המרחק הקטן ביותר הוא 3 מטרים.

$AG$ הוא הגובה לבסיס במשולש שווה השוקיים $ABC$, ולכן הוא חוצה את הבסיס:

במשולש ישר הזווית $ABG$ לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס - $\sqrt{2.4^2+6.4^2}\approx6.84$ מטר - הניצב הוא $BG$, מחצית הבסיס.

1. $\angle DAF=\angle BAG$ - זווית משותפת.

2. $AG\perp BC$ ו-$DE\parallel BC$, ולכן $\angle AFD=\angle AGB=90^\circ$ (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).

3. לכן $\triangle ADF\sim\triangle ABG$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $D\leftrightarrow B$, $F\leftrightarrow G$.

טעות נפוצה: לנמק את השוויון $\angle AFD=\angle AGB$ רק בכך ש"העמוד אנכי", בלי להסביר למה הוא מאונך גם לקורה - הניצבות ב-$F$ נובעת מכך ש-$DE\parallel BC$ (זוויות מתאימות).

$AF$ הוא הגובה לבסיס במשולש שווה השוקיים $ADE$, ולכן חוצה את $DE$:

$DF$ מתאימה ל-$BG$:

טעות נפוצה: לחלק את כל הקורה $DE$ ב-$BG$ - $\frac{4}{3.2}=1.25$ - $DE$ מתאימה ל-$BC$, לא ל-$BG$.

$AF$ מתאימה ל-$AG$:

טעות נפוצה: לכפול ביחס את $AB$ - $\frac58\cdot4=2.5$ מטר - זה האורך של $AD$.

הגובה הפנוי מתחת לקורה, במרכז, הוא $FG$:

$0.9<1$, ולכן הארון לא ייכנס מתחת לקורה.

טעות נפוצה: להשוות את גובה הארון ל-$AF$ - "$1.5>1$, ולכן ייכנס" - $AF$ הוא הקטע שמעל הקורה, והארון עומד בין הרצפה לקורה.

מתחילת 2021 עד תחילת 2024 עברו 3 שנים:

$q=0.95$, ולכן המחיר קטן ב-5% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה הכוללת במספר השנים: $\frac{0.1426}{3}\approx0.0475$, ולענות 4.75% - הירידה מצטברת על מחיר שכבר ירד, ולכן לא מחלקים בשלוש אלא מוציאים שורש שלישי.

$34{,}967<41{,}154$, ולכן בתחילת 2024 הסכום לא הספיק.

טעות נפוצה: לחשב ריבית פשוטה, $32{,}000\cdot(1+3\cdot0.03)=34{,}880$ - הגדילה היא 3% מהסכום של כל שנה, ולכן כופלים ב-$1.03$ שלוש פעמים.

אחרי $t$ שנים מתחילת 2021: בתוכנית $32{,}000\cdot1.03^t$, ומחיר המכונית $48{,}000\cdot0.95^t$. בודקים שנה אחרי שנה:

בתחילת 2026 עדיין חסרים כ-44 שקלים; בתחילת 2027 הסכום גדול מהמחיר לראשונה.

טעות נפוצה: לענות 2026, כי בתחילתה הסכומים "כמעט שווים" ($37{,}097$ ו-$37{,}141$) - אבל עדיין חסרים כ-44 שקלים, והחיסכון מספיק לראשונה רק בתחילת 2027.

בתחילת 2025 ($t=4$) מחיר המכונית $48{,}000\cdot0.95^4\approx39{,}096$ שקלים. צריך:

כלומר צריך גדילה של לפחות כ-5.13% בשנה. במספר שלם: 6%.

בדיקה: $32{,}000\cdot1.05^4\approx38{,}896<39{,}096$ (לא מספיק), $32{,}000\cdot1.06^4\approx40{,}399\ge39{,}096$ (מספיק).

טעות נפוצה: לספור 5 שנים מתחילת 2021 עד תחילת 2025 ($t=5$): $32{,}000\cdot q^5\ge48{,}000\cdot0.95^5\approx37{,}141$, ומקבלים $q\ge1.0302$ - ולענות 4%. בתחילת 2025 עברו רק 4 שנים, ועם 4% יש אז רק כ-$37{,}435$ שקלים.

$x=0$ או $-0.4x+2=0$:

נקודות החיתוך: $(0,0)$, $(5,0)$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$x$ ולקבל רק $(5,0)$ - מאבדים את הפתרון $x=0$.

המקדם של $x^2$ שלילי ($-0.4$), ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה: גרפים 2, 3 או 4.

לפי סעיף א הפרבולה עוברת בראשית ובנקודה $(5,0)$ שמימין לה.

גרף 3 אינו עובר בראשית. גרף 2 עובר בראשית אבל נקודת החיתוך השנייה שלו משמאל לראשית. לכן - גרף 4.

טעות נפוצה: לבחור את גרף 2 - הוא פתוח כלפי מטה ועובר בראשית, אבל החיתוך השני שלו ב-$x$ שלילי, ולא ב-$x=5$.

שיעור ה-$x$ של הקדקוד:

(או: אמצע בין נקודות החיתוך, $\frac{0+5}{2}=2.5$.)

הנקודה: $(2.5,\ 2.5)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן של $a$ ולחשב $x=\frac{-2}{0.8}=-2.5$, ואז $f(-2.5)=-7.5$ - נקודה מתחת לפני המים, שאינה במסלול.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן עולה משמאל לקדקוד ($x<2.5$).

הקפיצה מתחילה ב-$x=0$, כשהדולפין יוצא מן המים, ולכן: $0<x<2.5$.

טעות נפוצה: לענות $x<2.5$ - בערכי $x$ שליליים הפרבולה מתחת לפני המים, ואינה חלק מהקפיצה.

לפי סעיף ג, הגובה המקסימלי בקפיצה הוא 2.5 מטרים.

$2.5<2.7$: הדולפין אינו מגיע לגובה החישוק, בשום מקום לאורך הקפיצה.

טעות נפוצה: לחשב בסעיף ג את $-0.4\cdot2.5^2$ כ-$+2.5$, לקבל גובה מקסימלי $2.5+5=7.5$ מטרים, ולענות "כן" ($7.5>2.7$).