דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 9 מעל רמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), מעל רמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · ירידת ערך של שתי מכונות: מתי מתחלף הסדר

מפעל קנה היום שתי מכונות.

המחיר של מכונה א' היום הוא 180,000180{,}000 שקלים, והוא יורד מדי שנה ב-15%15\%.

המחיר של מכונה ב' היום הוא 150,000150{,}000 שקלים, והוא יורד מדי שנה באחוז קבוע. בעוד שנתיים יהיה המחיר של מכונה ב' 121,500121{,}500 שקלים.

א.

בכמה אחוזים יורד מדי שנה המחיר של מכונה ב'?

ב.

בעוד כמה שנים שלמות יהיה המחיר של מכונה א' לראשונה נמוך מהמחיר של מכונה ב'?

ג.

מה היה צריך להיות אחוז הירידה השנתי של המחיר של מכונה א', כדי שבעוד שנתיים המחירים של שתי המכונות יהיו שווים?

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

10%10\%

בין היום לבעוד שנתיים המחיר נכפל פעמיים במקדם qq:

150,000⋅q2=121,500⇒q2=0.81⇒q=0.81=0.9150{,}000\cdot q^2=121{,}500\quad\Rightarrow\quad q^2=0.81\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt{0.81}=0.9

(qq חיובי.) המחיר יורד ב-10%10\% בשנה.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה הכוללת (1−0.81=19%1-0.81=19\%) ולחלק אותה ב-2 שנים: 9.5%9.5\% בשנה. ירידה באחוז קבוע מצטברת בכפל, ולכן מוציאים שורש.

סעיף ב

תשובה:

44 שנים

היום מכונה א' יקרה יותר, אבל המחיר שלה יורד מהר יותר. מחשבים לפי At=A0⋅qtA_t=A_0\cdot q^t שנה אחר שנה:

ttמכונה א' 180,000⋅0.85t180{,}000\cdot0.85^tמכונה ב' 150,000⋅0.9t150{,}000\cdot0.9^t
2130,050130{,}050121,500121{,}500
3≈110,543\approx110{,}543109,350109{,}350
4≈93,961\approx93{,}96198,41598{,}415

בעוד 3 שנים מכונה א' עדיין יקרה יותר, ובעוד 4 שנים היא כבר זולה יותר. התשובה: בעוד 4 שנים.

טעות נפוצה: לחשב ירידה ליניארית (א' יורדת 27,00027{,}000 בשנה, ב' יורדת 15,00015{,}000 בשנה): 30,000=12,000t30{,}000=12{,}000t, t=2.5t=2.5, ולענות "בעוד 3 שנים".

סעיף ג

תשובה:

≈17.84%\approx17.84\%

בעוד שנתיים מחיר מכונה ב' הוא 121,500121{,}500. נחפש מקדם qq למכונה א':

180,000⋅q2=121,500⇒q2=0.675⇒q=0.675≈0.8216180{,}000\cdot q^2=121{,}500\quad\Rightarrow\quad q^2=0.675\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt{0.675}\approx0.8216

1−0.8216=0.17841-0.8216=0.1784, כלומר ירידה של כ-17.84%17.84\% בשנה.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולקחת q=0.675q=0.675, כלומר ירידה של 32.5%32.5\% בשנה - זו הירידה הכוללת בשנתיים.

שאלה 2 · הסתברות: דמויות בביצי הפתעה

בחנות צעצועים מוכרים ביצי הפתעה. בכל ביצה יש דמות אחת מתוך סדרה של 20 דמויות שונות, וכל אחת מן הדמויות יכולה להיות בביצה באותה הסתברות.

בסדרה יש דמות זהובה אחת ו-5 דמויות כסופות. שאר הדמויות בסדרה רגילות.

דמות זהובה או דמות כסופה נקראת "דמות מיוחדת".

מאיה קנתה ביצת הפתעה אחת.

א.

מהי ההסתברות שמאיה תקבל דמות מיוחדת?

ב.

גם רון קנה ביצת הפתעה אחת.

(1)

מהי ההסתברות שגם מאיה וגם רון יקבלו את הדמות הזהובה?

(2)

מהי ההסתברות שאחד מהם יקבל את הדמות הזהובה ואחד מהם יקבל דמות כסופה?

ג.

מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם יקבל דמות מיוחדת?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

310\frac{3}{10}

בסדרה 20 דמויות, ולכל אחת אותו סיכוי להיות בביצה.

דמויות מיוחדות: דמות זהובה אחת ועוד 5 כסופות, כלומר 6 דמויות.

P(מיוחדת)=620=310P(\text{מיוחדת})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}

טעות נפוצה: לספור רק את הדמויות הכסופות, שהן הרבות יותר, ולענות 520=14\frac{5}{20}=\frac14 - "דמות מיוחדת" כוללת גם את הדמות הזהובה.

סעיף ב(1)

תשובה:

1400\frac{1}{400}

לכל אחד ביצה משלו, ומה שיש בביצה של מאיה לא משפיע על הביצה של רון - המאורעות בלתי תלויים.

בכל ביצה ההסתברות לקבל את הדמות הזהובה היא 120\frac{1}{20} (דמות אחת מתוך 20).

P(שניהם זהובה)=120⋅120=1400P(\text{שניהם זהובה})=\frac{1}{20}\cdot\frac{1}{20}=\frac{1}{400}

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום לכפול: 120+120=110\frac{1}{20}+\frac{1}{20}=\frac{1}{10} - "גם וגם" של מאורעות בלתי תלויים הוא מכפלה.

סעיף ב(2)

תשובה:

140\frac{1}{40}

השאלה לא קובעת מי מקבל איזו דמות, ולכן יש שני סדרים:

מאיה זהובה ורון כסופה: 120⋅520=5400\frac{1}{20}\cdot\frac{5}{20}=\frac{5}{400}.

מאיה כסופה ורון זהובה: 520⋅120=5400\frac{5}{20}\cdot\frac{1}{20}=\frac{5}{400}.

שני המסלולים זרים, ולכן מחברים:

P=5400+5400=10400=140P=\frac{5}{400}+\frac{5}{400}=\frac{10}{400}=\frac{1}{40}

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד ("מאיה זהובה, רון כסופה") ולענות 5400=180\frac{5}{400}=\frac{1}{80}.

סעיף ג

תשובה:

51100\frac{51}{100}

המאורע המשלים ל"לפחות אחד מקבל דמות מיוחדת" הוא "אף אחד לא מקבל דמות מיוחדת".

לפי סעיף א, ההסתברות שאחד מהם יקבל דמות רגילה היא 1−310=7101-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}, והביצים בלתי תלויות:

P(אף אחד לא מקבל)=710⋅710=49100P(\text{אף אחד לא מקבל})=\frac{7}{10}\cdot\frac{7}{10}=\frac{49}{100}
P(לפחות אחד מקבל)=1−49100=51100P(\text{לפחות אחד מקבל})=1-\frac{49}{100}=\frac{51}{100}

טעות נפוצה: לקחת כמשלים את המאורע "שניהם מקבלים דמות מיוחדת" ולחשב 1−310⋅310=1−9100=911001-\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10}=1-\frac{9}{100}=\frac{91}{100} - אבל המשלים של "לפחות אחד" הוא "אף אחד", לא "לא שניהם".

שאלה 3 · דמיון משולשים הפוך: מיחס השטחים ומהשטח הכולל אל הצלעות והמחיר

בגינה קהילתית יש שתי חלקות בצורת משולשים ישרי זווית: חלקה גדולה KLMKLM (∠L=90∘\angle L=90^\circ) וחלקה קטנה PQRPQR (∠Q=90∘\angle Q=90^\circ), כמתואר בסרטוט.

המשולשים KLMKLM ו-PQRPQR דומים, ∠M=∠R\angle M=\angle R.

שטח החלקה הגדולה גדול ב-96%96\% משטח החלקה הקטנה.

PQRKLM
א.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולש KLMKLM ובין המשולש PQRPQR.

ב.

את שתי החלקות כיסו בדיוק בדשא סינתטי. השטח הכולל שכוסה הוא 7474 מ"ר.

מצאו את השטח של כל אחת מן החלקות.

ג.

בחלקה הקטנה, אורך הצלע QRQR גדול פי 2 מאורך הצלע PQPQ. מצאו את אורך הצלע LMLM.

ד.

ועד הגינה קיבל הנחה של 25%25\% מן המחיר המקורי של הדשא, ושילם בסך הכול 8,8808{,}880 שקלים.

מצאו מה היה המחיר המקורי של מטר רבוע דשא סינתטי.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

1.41.4, כלומר 7:57:5

גדול ב-96%96\% פירושו פי 1.961.96: SKLMSPQR=1.96\frac{S_{KLM}}{S_{PQR}}=1.96.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון kk:

k2=1.96⇒k=1.96=1.4k^2=1.96\quad\Rightarrow\quad k=\sqrt{1.96}=1.4

יחס הדמיון הוא 1.41.4, כלומר 7:57:5.

טעות נפוצה: לקחת את יחס השטחים כיחס הדמיון ולענות 1.961.96.

סעיף ב

תשובה:

החלקה הקטנה 2525 מ"ר, החלקה הגדולה 4949 מ"ר

נסמן את שטח החלקה הקטנה ב-SS. שטח הגדולה הוא 1.96S1.96S:

S+1.96S=74⇒2.96S=74⇒S=25S+1.96S=74\quad\Rightarrow\quad 2.96S=74\quad\Rightarrow\quad S=25

החלקה הקטנה: 2525 מ"ר, החלקה הגדולה: 1.96⋅25=491.96\cdot25=49 מ"ר.

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון במקום ביחס השטחים: S+1.4S=74S+1.4S=74, S≈30.83S\approx30.83.

סעיף ג

תשובה:

LM=14LM=14 מטרים

נסמן PQ=aPQ=a, ואז QR=2aQR=2a. המשולש PQRPQR ישר זווית ב-QQ:

SPQR=a⋅2a2=a2=25⇒a=5S_{PQR}=\frac{a\cdot2a}{2}=a^2=25\quad\Rightarrow\quad a=5

(אורך חיובי.) לכן PQ=5PQ=5 ו-QR=10QR=10.

∠L=∠Q\angle L=\angle Q ו-∠M=∠R\angle M=\angle R, ולכן גם ∠K=∠P\angle K=\angle P. LMLM מול ∠K\angle K ו-QRQR מול ∠P\angle P - צלעות מתאימות:

LM=1.4⋅10=14LM=1.4\cdot10=14

(בדיקה: KL=1.4⋅5=7KL=1.4\cdot5=7, SKLM=7⋅142=49S_{KLM}=\frac{7\cdot14}{2}=49.)

טעות נפוצה: להגדיל את QRQR פי יחס השטחים ולקבל LM=1.96⋅10=19.6LM=1.96\cdot10=19.6.

סעיף ד

תשובה:

160160 שקלים

נסמן את המחיר המקורי למ"ר ב-pp. אחרי הנחה של 25%25\% משלמים 75%75\%:

74⋅p⋅0.75=8,880⇒55.5p=8,880⇒p=16074\cdot p\cdot0.75=8{,}880\quad\Rightarrow\quad 55.5p=8{,}880\quad\Rightarrow\quad p=160

המחיר המקורי היה 160160 שקלים למ"ר.

טעות נפוצה: "להחזיר" את ההנחה בהוספת 25%25\% לסכום ששולם: 8,880⋅1.2574=150\frac{8{,}880\cdot1.25}{74}=150 שקלים. ההנחה חושבה מהמחיר המקורי, ולכן מחלקים ב-0.750.75.

שאלה 4 · דמיון משולשים: עמוד אוהל, חבל ומוט תמיכה

באתר קמפינג הציבו עמוד אנכי AB לאוהל גדול (B על הקרקע).

מראש העמוד, הנקודה A, מתחו חבל ישר אל יתד בקרקע בנקודה E (ראו ציור).

גובה העמוד (AB) הוא 3.6 מטרים, ואורך החבל (AE) הוא 6 מטרים.

בנקודה D, שנמצאת על הקרקע בין העמוד ליתד במרחק 3 מטרים מן העמוד (BD), הציבו מוט אנכי CD. הקצה העליון של המוט, C, נוגע בדיוק בחבל.

BAEDC
א.

מה הם שני המשולשים הדומים בציור? נמקו את תשובתכם.

ב.
(1)

מצאו את המרחק BE.

(2)

חשבו את המרחק בין המוט ובין היתד (DE).

ג.

מהו גובה המוט (CD)?

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

△ABE∼△CDE\triangle ABE\sim\triangle CDE (ז.ז.: ∢ABE=∢CDE=90∘\sphericalangle ABE=\sphericalangle CDE=90^\circ, ∢E\sphericalangle E משותפת)

העמוד והמוט אנכיים לקרקע, ולכן ∢ABE=∢CDE=90∘\sphericalangle ABE=\sphericalangle CDE=90^\circ.

הזווית ∢E\sphericalangle E, בין החבל לקרקע, משותפת לשני המשולשים.

לפי ז.ז.: △ABE∼△CDE\triangle ABE\sim\triangle CDE, וההתאמה היא AB↔CDAB\leftrightarrow CD, BE↔DEBE\leftrightarrow DE, AE↔CEAE\leftrightarrow CE.

טעות נפוצה: לנמק רק "בשני המשולשים יש זווית ישרה". זוג אחד של זוויות שוות אינו מספיק לדמיון - צריך גם את הזווית המשותפת E.

סעיף ב(1)

תשובה:

BE=4.8BE=4.8 מטרים

במשולש ABEABE הזווית BB ישרה, והחבל AEAE הוא היתר:

BE2=62−3.62=36−12.96=23.04⇒BE=23.04=4.8BE^2=6^2-3.6^2=36-12.96=23.04\quad\Rightarrow\quad BE=\sqrt{23.04}=4.8

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים: 62+3.62≈7.0\sqrt{6^2+3.6^2}\approx7.0 - ניצב ארוך מהיתר.

סעיף ב(2)

תשובה:

DE=1.8DE=1.8 מטרים

DE=BE−BD=4.8−3=1.8DE=BE-BD=4.8-3=1.8

טעות נפוצה: לחסר את BDBD מאורך החבל: 6−3=36-3=3 מטרים.

סעיף ג

תשובה:

CD=1.35CD=1.35 מטרים

מהדמיון בסעיף א:

CDAB=DEBE⇒CD3.6=1.84.8=0.375\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}\quad\Rightarrow\quad\frac{CD}{3.6}=\frac{1.8}{4.8}=0.375
CD=3.6⋅0.375=1.35CD=3.6\cdot0.375=1.35

טעות נפוצה: להתאים את DEDE לחבל AEAE במקום ל-BEBE: CD3.6=1.86\frac{CD}{3.6}=\frac{1.8}{6}, ולקבל CD=1.08CD=1.08 מטרים. AEAE מתאים ל-CECE, ולא ל-DEDE.

שאלה 5 · גדילה ודעיכה: אוסף מטבעות ומשאית - מנקודת החיתוך אחורה וקדימה

הערך של אוסף מטבעות גדל בכל שנה באחוז קבוע, והערך של משאית קטן בכל שנה באחוז קבוע.

הגרפים I-II שלפניכם מתארים את הערך של כל אחד מהם, לפי השנה. בתחילת שנת 2020 הערכים של שניהם היו שווים.

‫השנה‬‫הערך (בשקלים)‬20162020III

בתחילת שנת 2016 היה הערך של האוסף 160,000 שקלים, ובתחילת שנת 2020 היה ערכו 194,481 שקלים.

א.

בכמה אחוזים גדל הערך של האוסף בכל שנה?

ב.

בתחילת שנת 2022 היה הערך של המשאית 150,606 שקלים.

בכמה אחוזים קטן הערך של המשאית בכל שנה?

ג.

מה היה הערך של המשאית בתחילת שנת 2016?

ד.

בתחילת איזו שנה הערך של המשאית יהיה לראשונה פחות ממחצית הערך של האוסף?

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

5%

מ-2016 עד 2020: t=4t=4.

160000⋅q4=194481⇒q4=194481160000=1.21550625160000\cdot q^4=194481\quad\Rightarrow\quad q^4=\frac{194481}{160000}=1.21550625
q=1.215506254=1.05q=\sqrt[4]{1.21550625}=1.05

גדילה של 5% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את השינוי הכולל (כ-21.55%) ב-4 ולענות כ-5.39%.

סעיף ב

תשובה:

12%

הגרפים נחתכים בתחילת 2020, ולכן הערך של המשאית אז היה כערך האוסף: 194,481 שקלים. זו הכמות ההתחלתית לחישוב המקדם של המשאית.

מ-2020 עד 2022: t=2t=2.

194481⋅q2=150606⇒q2=150606194481≈0.7744194481\cdot q^2=150606\quad\Rightarrow\quad q^2=\frac{150606}{194481}\approx0.7744
q≈0.7744=0.88q\approx\sqrt{0.7744}=0.88

q=0.88q=0.88 - ירידה של 12% בכל שנה.

טעות נפוצה: להתחיל מ-160,000 (ערך האוסף ב-2016) עם t=2t=2, לקבל q≈0.97q\approx0.97 ולענות ירידה של כ-3% - הערך המשותף הוא של שנת 2020.

סעיף ג

תשובה:

כ-324,300 שקלים

הערך ב-2016 הוא הכמות שקדמה ב-4 שנים לערך של 2020. נסמן אותו A0A_0:

A0⋅0.884=194481A_0\cdot0.88^4=194481
A0=1944810.884≈1944810.5997≈324300A_0=\frac{194481}{0.88^4}\approx\frac{194481}{0.5997}\approx324300

בדיקה: ערך המשאית ב-2016 גבוה מערך האוסף (160,000), כמו בגרף - הגרף היורד מתחיל גבוה.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, 194481⋅0.884≈116629194481\cdot0.88^4\approx116629 - זה הערך ארבע שנים אחרי 2020, לא לפני.

סעיף ד

תשובה:

2024

אחרי 2020 שני הערכים מתחילים מאותה כמות, 194,481. אחרי tt שנים:

משאית=194481⋅0.88t,אוסף=194481⋅1.05t\text{משאית}=194481\cdot0.88^t,\qquad\text{אוסף}=194481\cdot1.05^t

מנסים שנים:

t=3t=3 (2023): משאית ≈132533\approx132533, מחצית האוסף ≈2251362=112568\approx\frac{225136}{2}=112568 - המשאית עדיין יותר.

t=4t=4 (2024): משאית ≈116629\approx116629, מחצית האוסף ≈2363932≈118196\approx\frac{236393}{2}\approx118196 - המשאית פחות.

לכן לראשונה בתחילת 2024.

טעות נפוצה: להשוות למחצית הערך של האוסף ב-2020 (כ-97,241) כאילו הוא קבוע, ולקבל 2026 - גם האוסף ממשיך לגדול.

שאלה 6 · פרבולה בהקשר: סכום הכסף לסדנת צילום

קבוצה של 1616 משתתפים נרשמה לסדנת צילום. כל משתתף היה צריך לשלם 120120 ₪.

המדריך הסכים שלכל משתתף נוסף שיצטרף לסדנה, הוא יוזיל את המחיר ב-33 ₪ לכל משתתף בסדנה.

(לדוגמה, אם יצטרפו 44 משתתפים, כל אחד ישלם 4⋅3=124\cdot3=12 ₪ פחות.)

סמנו ב-xx את מספר המשתתפים הנוספים (מעבר ל-1616 המשתתפים) שישתתפו בסדנה.

א.
(1)

במידה ולא יתווספו משתתפים, מעבר ל-1616 המשתתפים, מה סכום הכסף שייאסף לסדנה?

(2)

במידה וישתתפו בסדנה 2121 משתתפים (55 בנוסף ל-1616), מה סכום הכסף שייאסף לסדנה?

ב.

לפניכם 33 פונקציות. איזו מבין הפונקציות מייצגת את סכום הכסף שייאסף לסדנה במצב המתואר?

(i) y=(16+3x)(120−x)y=(16+3x)(120-x)

(ii) y=(16+x)(120−3x)y=(16+x)(120-3x)

(iii) y=(16+x)(117−x)y=(16+x)(117-x)

ג.

גרף הפונקציה בהקשר למצב המתואר מסורטט במערכת הצירים.

(1)

מהו ערך הפונקציה עבור x=2x=2, x=9x=9, x=1.5x=1.5, x=−3x=-3? מבין הערכים האלה, מה הם הערכים שיש להם משמעות בהקשר לנתוני השאלה?

(2)

לאיזה חלק בגרף הפונקציה יש משמעות? הסבר.

ד.
(1)

מה מספר המשתתפים הנוספים שכדאי למדריך שיצטרפו, כדי שסכום הכסף שהוא יקבל יהיה הגבוה ביותר?

(2)

מהו סכום הכסף שייאסף במקרה זה?

ה.

עבור מספר משתתפים שגדול ממספר המשתתפים שמצאת בסעיף ד', האם סכום הכסף שייאסף לסדנה:

(1) הולך וגדל (2) נשאר אותו הדבר (3) הולך וקטן.

הסבר את תשובתך.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א(1)

תשובה:

1,9201{,}920 ₪

בלי משתתפים נוספים אין הנחה: 16⋅120=1,92016\cdot120=1{,}920.

טעות נפוצה: להפעיל את ההנחה גם על 1616 המשתתפים המקוריים: 16⋅(120−3⋅16)=1,15216\cdot(120-3\cdot16)=1{,}152 ₪.

סעיף א(2)

תשובה:

2,2052{,}205 ₪

55 משתתפים נוספים: המחיר יורד ב-5⋅3=155\cdot3=15 ₪, ל-105105 ₪.

21⋅105=2,20521\cdot105=2{,}205

טעות נפוצה: להוריד 33 ₪ פעם אחת בלבד: 21⋅117=2,45721\cdot117=2{,}457 ₪.

סעיף ב

תשובה:

(ii) y=(16+x)(120−3x)y=(16+x)(120-3x)

מספר המשתתפים: 16+x16+x. המחיר למשתתף: 120−3x120-3x (הנחה של 33 ₪ על כל משתתף נוסף).

y=(16+x)(120−3x)y=(16+x)(120-3x)

זו פונקציה (ii). בדיקה עם x=5x=5: (ii) 21⋅105=2,20521\cdot105=2{,}205 ✓; (i) 31⋅115=3,56531\cdot115=3{,}565; (iii) 21⋅112=2,35221\cdot112=2{,}352.

טעות נפוצה: לבחור את (i), (16+3x)(120−x)(16+3x)(120-x), ולהצמיד את ה-33 למספר המשתתפים במקום להנחה. לפי (i) כש-x=5x=5 נאסף 3,5653{,}565 ₪.

סעיף ג(1)

תשובה:

y(2)=2,052y(2)=2{,}052, y(9)=2,325y(9)=2{,}325, y(1.5)=2,021.25y(1.5)=2{,}021.25, y(−3)=1,677y(-3)=1{,}677; משמעות יש רק ל-x=2x=2 ול-x=9x=9

y(2)=18⋅114=2,052y(9)=25⋅93=2,325y(2)=18\cdot114=2{,}052\qquad y(9)=25\cdot93=2{,}325
y(1.5)=17.5⋅115.5=2,021.25y(−3)=13⋅129=1,677y(1.5)=17.5\cdot115.5=2{,}021.25\qquad y(-3)=13\cdot129=1{,}677

xx הוא מספר משתתפים נוספים - שלם ולא שלילי. ל-x=1.5x=1.5 (חצי משתתף) ול-x=−3x=-3 (פחות משתתפים, והמחיר עולה ל-129129 ₪ - לא חלק מההסכם) אין משמעות.

יש משמעות רק ל-x=2x=2 ול-x=9x=9.

טעות נפוצה: לקבל גם את x=1.5x=1.5 כי "יוצא סכום כסף אפשרי". ערך הפונקציה אפשרי, אבל אין חצי משתתף.

סעיף ג(2)

תשובה:

לנקודות עם xx שלם בתחום 0≤x≤400\le x\le40

x≥0x\ge0 ושלם. המחיר למשתתף לא שלילי: 120−3x≥0120-3x\ge0, כלומר x≤40x\le40 (ב-x=40x=40 הסדנה בחינם והגרף חותך את ציר ה-xx).

לכן יש משמעות רק לחלק שבין x=0x=0 (נקודת החיתוך עם ציר ה-yy) ל-x=40x=40, ורק לנקודות עם xx שלם.

טעות נפוצה: לענות "כל החלק שמעל ציר ה-xx", −16<x<40-16<x<40 - כולל ערכים שליליים של xx.

סעיף ד(1)

תשובה:

1212

הפרבולה עצובה (y=1920+72x−3x2y=1920+72x-3x^2). נקודות החיתוך עם ציר ה-xx: x=−16x=-16 ו-x=40x=40.

x=−16+402=12x=\frac{-16+40}{2}=12

(או: x=−722⋅(−3)=12x=\frac{-72}{2\cdot(-3)}=12.)

טעות נפוצה: בנוסחת הקדקוד לשכוח את ה-22: x=−72−3=24x=\frac{-72}{-3}=24.

סעיף ד(2)

תשובה:

2,3522{,}352 ₪

16+12=2816+12=28 משתתפים, וכל אחד משלם 120−36=84120-36=84 ₪:

y(12)=28⋅84=2,352y(12)=28\cdot84=2{,}352

טעות נפוצה: להציב x=28x=28 (מספר כל המשתתפים): 44⋅36=1,58444\cdot36=1{,}584 ₪.

סעיף ה

תשובה:

(3) הולך וקטן

מימין לקדקוד (x=12x=12) הפרבולה העצובה יורדת. בהקשר: כל משתתף נוסף מוריד 33 ₪ לכל המשתתפים, וזה כבר יותר ממה שהוא משלם. למשל y(13)=29⋅81=2,349<2,352y(13)=29\cdot81=2{,}349<2{,}352.

טעות נפוצה: לבחור (2) "נשאר אותו הדבר" כי בקדקוד הגרף "שטוח". הוא שטוח רק בנקודה אחת; אחריה הסכום יורד.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.