מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך - שאלון 371

תחילת 2016 היא נקודת ההתחלה של הגרף, על הציר האנכי: $25{,}000$ תושבים.

לתחילת 2019 עולים מהשנה 2019 אל הגרף ומשם, לאורך הקו המקווקו, אל הציר האנכי: $33{,}275$ תושבים.

טעות נפוצה: לטעות בשנה ולקרוא את הגרף מעל 2018 (שם יש כ-$30{,}250$ תושבים) במקום מעל 2019, שממנה יוצא הקו המקווקו.

מתחילת 2016 עד תחילת 2019 עברו $t=3$ שנים. לפי נוסחת הגדילה $A_t=A_0\cdot q^t$:

מחלקים ב-$25{,}000$:

מוציאים שורש שלישי (במחשבון):

$q=1.1$ פירושו גדילה של $10\%$ בכל שנה.

טעות נפוצה: לחשב את הגידול הכולל, $\frac{33{,}275-25{,}000}{25{,}000}=33.1\%$, ולחלק אותו ב-3 שנים - ומקבלים כ-$11.03\%$ בשנה. בתהליך מעריכי האחוז מחושב בכל שנה מהכמות החדשה, ולכן אי אפשר לחלק את האחוז הכולל במספר השנים.

סופרים את יחידות הזמן מנקודת ההתחלה של הגרף: מתחילת 2016 עד תחילת 2021 עוברות $t=5$ שנים.

בתחילת 2021 יהיו בעיר כ-$40{,}263$ תושבים.

טעות נפוצה: להתחיל מהכמות של 2019 ($33{,}275$) אבל לספור את הזמן מ-2016 ($t=5$) - ומקבלים $33{,}275\cdot1.1^5\approx53{,}590$. אם מתחילים מ-2019, עד 2021 עוברות רק שנתיים, ואז $33{,}275\cdot1.1^2=40{,}262.75$ - אותה תשובה נכונה.

תחילת 2013 היא 3 שנים לפני תחילת 2016. האוכלוסייה של 2013 היא הכמות ההתחלתית, ואחרי 3 שנים של גדילה היא הגיעה ל-$25{,}000$:

בתחילת 2013 היו בעיר כ-$18{,}783$ תושבים.

טעות נפוצה: "לחזור אחורה" בכפל ב-$0.9$ בכל שנה (כאילו ירידה של $10\%$) - ומקבלים $25{,}000\cdot0.9^3=18{,}225$. ירידה של $10\%$ אינה מבטלת עלייה של $10\%$; כדי לחזור אחורה מחלקים ב-$1.1$.

בהוצאה הראשונה ההסתברות לשחור היא $\frac25$.

כדור שחור מוחזר לכד, ולכן בהוצאה השנייה שוב יש בכד 5 כדורים, מהם 2 שחורים, וההסתברות לשחור היא $\frac25$.

טעות נפוצה: לחשב כאילו הכדור השחור נשאר בחוץ - $\frac25\cdot\frac14=\frac1{10}$. לפי הכלל, רק כדור לבן נשאר בחוץ; כדור שחור מוחזר.

בהוצאה הראשונה ההסתברות ללבן היא $\frac35$.

הכדור הלבן נשאר בחוץ, ולכן בהוצאה השנייה יש בכד 4 כדורים, מהם 2 לבנים, וההסתברות ללבן היא $\frac24$.

טעות נפוצה: לא לעדכן את הכד אחרי שהלבן הוצא - $\frac35\cdot\frac35=\frac{9}{25}$. אחרי שלבן נשאר בחוץ, גם מספר הלבנים וגם מספר הכדורים קטנים ב-1.

"בצבעים שונים" קורה בשני סדרים, וכל סדר מחושב לפי מה שקורה לכדור הראשון:

לבן ואחריו שחור: הלבן נשאר בחוץ, ובכד 4 כדורים מהם 2 שחורים:

שחור ואחריו לבן: השחור מוחזר, ובכד 5 כדורים מהם 3 לבנים:

בדיקה: $1-\frac{4}{25}-\frac{3}{10}=\frac{50-8-15}{50}=\frac{27}{50}$.

טעות נפוצה: לחשב את שני הסדרים כאילו הכד לא משתנה - $2\cdot\frac35\cdot\frac25=\frac{12}{25}$. בסדר "לבן ואחריו שחור" הלבן נשאר בחוץ, ולכן ההסתברות לשחור בהוצאה השנייה היא $\frac24$ ולא $\frac25$.

$CD$ אופקי ומאונך לעץ, ולכן הוא מחלק את $AB$ לשני קטעים, וכל אחד מהם הוא ניצב במשולש ישר זווית שבו $CD$ הוא הניצב השני.

במשולש $ACD$ ($\angle D=90^\circ$): $AD$ הוא הניצב שמול זווית הגובה ו-$CD$ הניצב שליד, לכן משתמשים בטנגנס:

במשולש $BCD$ ($\angle D=90^\circ$): $DB$ מול זווית העומק:

גובה העץ כ-$9.49$ מ'.

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס במקום בטנגנס ($AD=12\sin18^\circ$, $DB=12\sin25^\circ$) - ומקבלים כ-$8.78$ מ'. $12$ מ' הוא ניצב ($CD$) ולא יתר, ולכן היחס בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה הוא טנגנס.

גם כאן $AB=AD+DB$, אבל הפעם הגובה ידוע והמרחק $x=CD$ הוא הנעלם.

במשולש $ACD$: $AD=x\cdot\tan20^\circ$. במשולש $BCD$: $DB=x\cdot\tan30^\circ$.

מוציאים את $x$ כגורם משותף:

יוסף נמצא במרחק של כ-$21.25$ מ' מהעץ.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק - $x=20\cdot(\tan20^\circ+\tan30^\circ)\approx18.83$ מ'. המרחק נמצא במכנה של הטנגנס (ניצב ליד), ולכן מחלקים.

היחס $3:4:5$ אומר שהתשלום מחולק ל"חלקים" שווים: דירת 3 חדרים משלמת 3 חלקים, דירת 4 חדרים 4 חלקים ודירת 5 חדרים 5 חלקים.

דירת 5 חדרים משלמת 5 חלקים = 250 שקלים, ולכן חלק אחד:

דירת 4 חדרים: $4\cdot50=200$ שקלים.

טעות נפוצה: לחלק את 250 בסכום חלקי היחס ($3+4+5=12$), כאילו 250 הוא התשלום של כל הקומה - ומקבלים $4\cdot\frac{250}{12}\approx83.33$ שקלים. 250 הוא התשלום של דירת 5 חדרים בלבד, כלומר 5 חלקים.

דירת 3 חדרים משלמת 3 חלקים: $3\cdot50=150$ שקלים.

טעות נפוצה: לחשב מתוך התשלום של דירת 4 חדרים ולהפוך את היחס - $\frac43\cdot200\approx266.67$ שקלים, יותר מדירת 4 חדרים. היחס בין 3 ל-4 חדרים הוא $3:4$, ולכן $\frac34\cdot200=150$.

בכל קומה יש דירה אחת מכל סוג:

(או: $3+4+5=12$ חלקים, $12\cdot50=600$.)

טעות נפוצה: לכפול את התשלום של דירת 5 חדרים במספר הדירות בקומה - $3\cdot250=750$ שקלים, כאילו כל הדירות גדולות.

בבניין 6 קומות זהות, וכל קומה משלמת 600 שקלים:

טעות נפוצה: לכפול את 250 במספר הדירות בבניין ($6\cdot3=18$ דירות) - ומקבלים $4{,}500$ שקלים, כאילו כל הדירות בנות 5 חדרים.

דירת 3 חדרים = מלבן + מרפסת בצורת טרפז.

שטח המלבן: $8\cdot8.5=68$ מ"ר.

הבסיסים של הטרפז הם 8 מ' (צלע המלבן) ו-4 מ', והגובה 2 מ':

שטח הטרפז: $\frac{(8+4)\cdot2}{2}=12$ מ"ר.

שטח הדירה: $68+12=80$ מ"ר.

דירת 4 חדרים = מלבן + מרפסת מלבנית: $10\cdot8.5+3\cdot5=85+15=100$ מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב את המרפסת של דירת 3 חדרים כמלבן $8\cdot2=16$ - ומקבלים שטח של 84 מ"ר. המרפסת היא טרפז (הצלע העליונה קצרה יותר), ושטחה מחצית סכום הבסיסים כפול הגובה.

הסכום לקומה נשאר 600 שקלים, ועכשיו הוא מתחלק ביחס השטחים $80:100:120$.

סך השטח בקומה: $80+100+120=300$ מ"ר, ולכן לכל מ"ר:

$\frac{600}{300}=2$ שקלים למ"ר.

דירת 3 חדרים: $80\cdot2=160$ שקלים. דירת 4 חדרים: $100\cdot2=200$ שקלים. דירת 5 חדרים: $120\cdot2=240$ שקלים.

בדיקה: $160+200+240=600$.

טעות נפוצה: להשאיר את דירת 5 חדרים על 250 שקלים ולחשב לפיה מחיר למ"ר, $\frac{250}{120}$ - ומקבלים לדירת 3 חדרים כ-$166.67$ שקלים ולדירת 4 חדרים כ-$208.33$ שקלים. כך סכום הקומה כבר לא 600, בניגוד לנתון.

משווים לכל דירה את שני הסכומים, וכדאי לבחור בשיטה שבה הסכום נמוך יותר:

דירת 3 חדרים: $150<160$ - כדאי לפי מספר החדרים.

דירת 5 חדרים: $240<250$ - כדאי לפי השטח.

דירת 4 חדרים: 200 בשתי השיטות - אין הבדל.

טעות נפוצה: לבחור בשיטה שבה הסכום גבוה יותר ולענות הפוך - שדיירי דירת 3 חדרים ירצו לשלם לפי השטח (160) ודיירי דירת 5 חדרים לפי החדרים (250). הדיירים משלמים, ולכן כדאי להם הסכום הנמוך.

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים - העמודה הגבוהה ביותר. העמודה של $6{,}000$ ₪ היא בגובה 24, הגבוהה ביותר.

השכר השכיח: $6{,}000$ שקלים.

טעות נפוצה: לענות 24 - זה מספר העובדים (השכיחות), ולא השכר השכיח.

מספר העובדים: $10+14+24+12=60$.

ממוצע משוקלל - כל שכר כפול מספר העובדים שמקבלים אותו:

טעות נפוצה: לחשב את הממוצע של ארבעת ערכי השכר בלי להתחשב במספר העובדים - $\frac{4{,}800+5{,}400+6{,}000+7{,}200}{4}=5{,}850$.

יש 60 עובדים - מספר זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של האיבר ה-30 והאיבר ה-31 כשהשכר מסודר מהקטן לגדול.

שכיחויות מצטברות: עד $4{,}800$ - 10 עובדים; עד $5{,}400$ - 24; עד $6{,}000$ - 48.

האיברים ה-30 וה-31 נמצאים בין ה-25 ל-48, כלומר שניהם $6{,}000$.

החציון: $6{,}000$ שקלים.

טעות נפוצה: לקחת את האמצע של ארבעת ערכי השכר שעל הציר - $\frac{5{,}400+6{,}000}{2}=5{,}700$ - בלי להתחשב בכמה עובדים יש בכל עמודה.

סטיית התקן: שורש של ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע ($\bar x=5{,}900$), כשכל ריבוע נספר לפי מספר העובדים.

סכום המכפלות: $36{,}120{,}000$.

טעות נפוצה: לחשב את סטיית התקן של ארבעת ערכי השכר בלי השכיחויות (סביב הממוצע $5{,}850$) - ומקבלים כ-$887.41$ שקלים.

השכר של העובד החדש ($6{,}000$) גבוה מהממוצע הקודם ($5{,}900$), ולכן הוא "מושך" את הממוצע כלפי מעלה.

בחישוב: הסכום החדש $354{,}000+6{,}000=360{,}000$, ומספר העובדים 61:

הממוצע עלה בכ-$1.64$ שקלים.

טעות נפוצה: לחשב את הממוצע החדש כממוצע של $5{,}900$ ושל $6{,}000$, כלומר $5{,}950$ - כאילו לעובד החדש יש משקל שווה לכל 60 העובדים יחד.

בכל הוזלה המחיר יורד ב-2 שקלים ומספר העותקים עולה ב-4. ההכנסה היא מחיר העותק כפול מספר העותקים.

2 הוזלות: מחיר $88-2=86$, הכנסה $86\cdot28=2{,}408$.

3 הוזלות: עותקים $28+4=32$, הכנסה $84\cdot32=2{,}688$.

4 הוזלות: מחיר $84-2=82$, עותקים $32+4=36$, הכנסה $82\cdot36=2{,}952$.

טעות נפוצה: להניח שגם ההכנסה עולה בכל פעם באותו סכום ($2{,}112-1{,}800=312$) ולמלא $2{,}424$, $2{,}736$, $3{,}048$. המחיר והכמות משתנים בקצב קבוע, אבל המכפלה שלהם לא - בכל שורה מחשבים את המכפלה מחדש.

המחיר מתחיל ב-90, ובכל אחת מ-$x$ ההוזלות יורדים 2 שקלים - בסך הכול $2x$ שקלים:

בדיקה בטבלה: $x=3$ נותן $90-6=84$.

טעות נפוצה: לכתוב $90-x$ - כאילו כל הוזלה היא שקל אחד. ב-$x=3$ מתקבל 87 ולא 84 כמו בטבלה.

מתחילים מ-20 עותקים, ובכל הוזלה מתווספים 4 - אחרי $x$ הוזלות נוספו $4x$:

בדיקה: $x=3$ נותן $20+12=32$.

טעות נפוצה: להחליף בין המספרים ולכתוב $20x+4$. הביטוי נותן 24 ב-$x=1$ ולכן נראה נכון, אבל ב-$x=2$ הוא נותן 44 ולא 28. המספר שמוכפל ב-$x$ הוא מה שמתווסף בכל פעם (4), והמספר הקבוע הוא נקודת ההתחלה (20).

ההכנסה היא מחיר של עותק כפול מספר העותקים שנמכרו (כמו בעמודה האחרונה של הטבלה), ולכן:

בדיקה: $x=1$: $88\cdot24=2{,}112$, כמו בטבלה.

(ii) היא מנה - "מחיר לכל עותק שנמכר", לא הכנסה. ב-$x=0$ היא נותנת $\frac{90}{20}=4.5$.

(iii) היא סכום של מחיר ושל מספר עותקים - גדלים ביחידות שונות שאין משמעות לחבר. ב-$x=0$ היא נותנת 110.

טעות נפוצה: לבחור בפונקציה (iii) כי "מחברים את שני הביטויים מסעיף ב". הצבה של $x=0$ נותנת 110, ולא $1{,}800$ כמו בטבלה.