דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך - שאלון 371

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את המבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך בשאלון 371, כל 6 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · דעיכה מעריכית: שקילות של חומר רדיואקטיבי כל שלוש שעות

משקל חומר רדיואקטיבי קטן בכל שלוש שעות באחוז קבוע.

מדען שקל את החומר הרדיואקטיבי כל שלוש שעות באותו יום.

בשעה 6:00 בבוקר היה משקל החומר 50 גרם.

בשעה 9:00 בבוקר היה משקל החומר 40 גרם.

בשקילה נוספת באותו יום היה משקל החומר 25.6 גרם.

א.

מצא באיזו שעה נערכה השקילה הנוספת.

ב.

מצא באיזו שעה היה משקל החומר 64% ממה שהיה משקלו בשעה 6:00 בבוקר.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

בשעה 15:00

המשקל קטן באחוז קבוע בכל שלוש שעות, לכן יחידת הזמן היא 3 שעות.

בין 6:00 ל-9:00 עברה יחידת זמן אחת, ולכן מקדם הדעיכה הוא המנה של שני המשקלים:

q=4050=0.8q=\frac{40}{50}=0.8

נסמן ב-tt את מספר יחידות הזמן מ-6:00 ועד השקילה הנוספת, ונציב בנוסחה At=A0⋅qtA_t=A_0\cdot q^t:

50⋅0.8t=25.6⇒0.8t=25.650=0.51250\cdot0.8^t=25.6\quad\Rightarrow\quad0.8^t=\frac{25.6}{50}=0.512

מנסים חזקות של 0.8: 0.82=0.640.8^2=0.64, 0.83=0.5120.8^3=0.512. לכן t=3t=3.

3 יחידות זמן הן 3⋅3=93\cdot3=9 שעות. השקילה הנוספת נערכה 9 שעות אחרי 6:00, כלומר בשעה 15:00.

טעות נפוצה: לספור את 9 השעות מהשקילה של 9:00 (השקילה האחרונה שנתונה) ולא מ-6:00, שבה המשקל הוא A0=50A_0=50, ולענות 18:00.

סעיף ב

תשובה:

בשעה 12:00

64% מהמשקל ההתחלתי פירושו At=0.64⋅50=32A_t=0.64\cdot50=32 גרם.

50⋅0.8t=32⇒0.8t=0.6450\cdot0.8^t=32\quad\Rightarrow\quad0.8^t=0.64

0.82=0.640.8^2=0.64, לכן t=2t=2 יחידות זמן, כלומר 2⋅3=62\cdot3=6 שעות אחרי 6:00.

המשקל היה 64% מהמשקל ההתחלתי בשעה 12:00.

טעות נפוצה: לחשוב ש-t=2t=2 הן שעתיים ולענות 8:00 - אבל כל יחידת זמן היא 3 שעות.

שאלה 2 · הסתברות בשני שלבים: מטבעות כסף וזהב בשק

בשק יש 500 מטבעות: 200 מהם מטבעות כסף והשאר מטבעות זהב.

א.

מהי ההסתברות שדני יוציא באקראי מהשק מטבע כסף?

בהטלת מטבע זהב הסיכוי ל"עץ" הוא 0.5, ובהטלת מטבע כסף הסיכוי ל"עץ" הוא 0.7.

דני מוציא מטבע מהשק ומטיל אותו.

ב.

מהי ההסתברות שדני יוציא מטבע כלשהו מהשק, ובהטלה יתקבל "עץ"?

ג.

דני מוציא מטבע, מטיל אותו, מחזיר אותו לשק וחוזר על הפעולות האלה פעם נוספת.

מהי ההסתברות שבדיוק בשתי ההטלות יתקבל "עץ"?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

0.40.4

יש 500 מטבעות, ומתוכם 200 מטבעות כסף. כל מטבע יכול לצאת באותה הסתברות:

P(כסף)=200500=0.4P(\text{כסף})=\frac{200}{500}=0.4

טעות נפוצה: לחלק במספר מטבעות הזהב במקום במספר כל המטבעות: 200300≈0.667\frac{200}{300}\approx0.667.

סעיף ב

תשובה:

0.580.58

יש שתי דרכים לקבל "עץ": להוציא מטבע כסף ולקבל "עץ", או להוציא מטבע זהב ולקבל "עץ".

ההסתברות להוציא מטבע זהב: 1−0.4=0.61-0.4=0.6.

בכל דרך כופלים את ההסתברויות לאורך המסלול, ואחר כך מחברים את שתי הדרכים:

P(עץ)=0.4⋅0.7+0.6⋅0.5=0.28+0.30=0.58P(\text{עץ})=0.4\cdot0.7+0.6\cdot0.5=0.28+0.30=0.58

טעות נפוצה: לקחת ממוצע פשוט של שני הסיכויים, 0.7+0.52=0.6\frac{0.7+0.5}{2}=0.6, בלי להתחשב בכך שמטבעות הזהב רבים יותר ממטבעות הכסף.

סעיף ג

תשובה:

0.33640.3364

המטבע מוחזר לשק, ולכן בפעם השנייה המצב זהה לפעם הראשונה: שתי החזרות בלתי תלויות.

בכל חזרה ההסתברות ל"עץ" היא 0.58 (סעיף ב). ההסתברות ל"עץ" בשתי ההטלות היא מכפלת ההסתברויות:

0.58⋅0.58=0.33640.58\cdot0.58=0.3364

טעות נפוצה: לחשב כאילו מטילים פעמיים את אותו מטבע: 0.4⋅0.72+0.6⋅0.52=0.3460.4\cdot0.7^2+0.6\cdot0.5^2=0.346. אבל המטבע מוחזר לשק, ובפעם השנייה דני מוציא מטבע חדש באקראי.

שאלה 3 · טריגונומטריה: מטוס ממריא בזווית קבועה

מטוס ממריא משדה התעופה בזווית של 27∘27^\circ מעל לאופק (ראה ציור).

27°מרחק אוויריגובה מעל הקרקעמרחק על הקרקעABCשדה התעופה
א.

בכל דקה עובר המטוס מרחק אווירי של 5 ק"מ.

לאיזה גובה (BC) יגיע המטוס לאחר דקה מתחילת ההמראה?

ב.

מצא פי כמה גדול המרחק האווירי (AB) שעובר המטוס בהמראה, מהמרחק על הקרקע (AC).

ג.

מהו המרחק האווירי (AB) שצריך לעבור המטוס בהמראה משדה התעופה, על מנת שמרחקו על הקרקע (AC) יהיה 100 ק"מ?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

כ-2.27 ק"מ

לאחר דקה המרחק האווירי הוא AB=5AB=5 ק"מ. זה היתר במשולש ישר הזווית ABC (הזווית הישרה ב-C).

הגובה BC הוא הניצב שמול הזווית 27∘27^\circ, ולכן משתמשים בסינוס:

sin⁡27∘=BCAB⇒BC=5⋅sin⁡27∘≈5⋅0.454=2.27\sin27^\circ=\frac{BC}{AB}\quad\Rightarrow\quad BC=5\cdot\sin27^\circ\approx5\cdot0.454=2.27

לאחר דקה יגיע המטוס לגובה של כ-2.27 ק"מ.

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס (הניצב שליד הזווית) ולקבל 5⋅cos⁡27∘≈4.465\cdot\cos27^\circ\approx4.46 ק"מ - זה המרחק על הקרקע, לא הגובה.

סעיף ב

תשובה:

פי 1cos⁡27∘≈1.12\frac{1}{\cos27^\circ}\approx1.12

AC הוא הניצב שליד הזווית 27∘27^\circ ו-AB הוא היתר:

cos⁡27∘=ACAB⇒ABAC=1cos⁡27∘≈10.891≈1.12\cos27^\circ=\frac{AC}{AB}\quad\Rightarrow\quad\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\cos27^\circ}\approx\frac{1}{0.891}\approx1.12

היחס לא תלוי במרחק שהמטוס עבר - בכל רגע בהמראה המרחק האווירי גדול פי 1.12 בערך מהמרחק על הקרקע.

טעות נפוצה: לענות cos⁡27∘≈0.89\cos27^\circ\approx0.89 - זה היחס ההפוך ACAB\frac{AC}{AB}, והמרחק האווירי (היתר) תמיד גדול מהניצב.

סעיף ג

תשובה:

כ-112.2 ק"מ

נתון AC=100AC=100 ק"מ ומחפשים את היתר AB. לפי סעיף ב:

AB=ACcos⁡27∘=100cos⁡27∘≈112.2AB=\frac{AC}{\cos27^\circ}=\frac{100}{\cos27^\circ}\approx112.2

המטוס צריך לעבור מרחק אווירי של כ-112.2 ק"מ.

טעות נפוצה: לכפול בקוסינוס במקום לחלק: 100⋅cos⁡27∘≈89.1100\cdot\cos27^\circ\approx89.1 ק"מ - יוצא שהיתר קצר מהניצב, וזה בלתי אפשרי.

שאלה 4 · שטחים במגרש: טרפז שווה שוקיים בתוך מלבן

בסרטוט שלפניך מגרש משחקים בצורת מלבן, שממדיו 25 מ' × 10 מ'. בחלק מהמגרש, שצורתו טרפז שווה שוקיים, שתלו דשא. את השטח שנותר, בצורת שני משולשים ישרי זווית זהים, כיסו בחול (ראה סרטוט).

אורך הבסיס העליון של הטרפז הוא 13 מ'.

ABCDEFדשאחולחול
א(1).

חשב את השטח בו שתלו את הדשא.

א(2).

עלות שתילת מ"ר של דשא היא 90 שקלים. כמה עלתה שתילת הדשא?

ב.

מהו השטח המיועד לחול?

ג.

באיזה אחוז מהמגרש נשתל הדשא?

ד.

שני פסי עץ מפרידים בין הדשא לבין החול. מה אורך כל פס הדרוש לכך?

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א(1)

תשובה:

190 מ"ר

הטרפז ממלא את כל רוחב המגרש בתחתית, ולכן הבסיס התחתון שלו הוא 25 מ'. הבסיס העליון הוא 13 מ'.

גובה הטרפז הוא רוחב המלבן, 10 מ'.

Sטרפז=(25+13)⋅102=3802=190S_{\text{טרפז}}=\frac{(25+13)\cdot10}{2}=\frac{380}{2}=190

שטח הדשא הוא 190 מ"ר.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל (25+13)⋅10=380(25+13)\cdot10=380 מ"ר - יותר מהשטח של המגרש כולו (250 מ"ר).

סעיף א(2)

תשובה:

17,100 שקלים

משלמים 90 שקלים על כל מ"ר של דשא, ושטח הדשא הוא 190 מ"ר:

190⋅90=17,100190\cdot90=17{,}100

שתילת הדשא עלתה 17,100 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול את שטח המגרש כולו במחיר: 250⋅90=22,500250\cdot90=22{,}500 שקלים - אבל דשא שתלו רק בטרפז.

סעיף ב

תשובה:

60 מ"ר

שטח המגרש: 25⋅10=25025\cdot10=250 מ"ר. החול מכסה את מה שנשאר אחרי הדשא:

250−190=60250-190=60

בדיקה: לכל משולש ניצב אופקי 25−132=6\frac{25-13}{2}=6 מ' וניצב אנכי 10 מ', ושטחו 6⋅102=30\frac{6\cdot10}{2}=30 מ"ר; שני משולשים - 60 מ"ר.

השטח המיועד לחול הוא 60 מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב רק משולש אחד ולענות 30 מ"ר.

סעיף ג

תשובה:

76%

מחלקים את שטח הדשא בשטח המגרש כולו:

190250⋅100%=76%\frac{190}{250}\cdot100\%=76\%

טעות נפוצה: לחלק את שטח החול בשטח המגרש ולענות 60250=24%\frac{60}{250}=24\% - זה החלק של החול, לא של הדשא.

סעיף ד

תשובה:

136≈11.66\sqrt{136}\approx11.66 מ'

כל פס עץ הוא השוק של הטרפז, כלומר היתר של משולש חול ישר זווית.

הבסיס התחתון ארוך ב-25−13=1225-13=12 מ' מהבסיס העליון, וההפרש מתחלק שווה בין שני הצדדים (הטרפז שווה שוקיים): לכל משולש ניצב אופקי של 122=6\frac{12}{2}=6 מ'. הניצב האנכי הוא 10 מ'.

לפי משפט פיתגורס:

ℓ=62+102=136≈11.66\ell=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{136}\approx11.66

אורך כל פס עץ הוא כ-11.66 מ'.

טעות נפוצה: לא לחלק את ההפרש 12 בין שני הצדדים ולחשב 122+102=244≈15.62\sqrt{12^2+10^2}=\sqrt{244}\approx15.62 מ'.

שאלה 5 · סטטיסטיקה: מסלולי הטבות בדיאגרמת עיגול ושעות גלישה

חברת טלפונים סלולריים מציעה ללקוח לבחור באחד ממסלולי ההטבות: גלישה חינם באינטרנט, מספר מסרונים בלתי מוגבל, שיחות מוזלות, מסלול לשומרי מסורת או אף מסלול.

החברה בדקה את המסלולים אותם בחרו 250 מבין הלקוחות שלה. לפניך התוצאות:

16%30%34%?12%‫אינטרנט (16)‬‫מסרונים (30)‬‫שיחות (34)‬‫שומרי מסורת‬‫אף מסלול (12)‬
א.

מהו המסלול השכיח?

ב.

מהי ההסתברות שאם נבחר באקראי אחד מהלקוחות האלה, הוא יהיה לקוח שבחר במסלול של שומרי מסורת או לקוח שבחר במסלול של המסרונים?

ג.

כמה לקוחות בחרו במסלול האינטרנט?

לפניך התפלגות מספר שעות הגלישה באינטרנט של דני בארבעת החודשים ינואר עד אפריל:

0102030405060708090100‫ינואר‬‫פברואר‬‫מרץ‬‫אפריל‬‫חודש‬‫מספר שעות הגלישה‬
ד.

מה ממוצע שעות הגלישה של דני בארבעת החודשים?

ה.

מהי סטיית התקן?

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

מסלול השיחות (34%)

המסלול השכיח הוא המסלול שבחרו בו הכי הרבה לקוחות, כלומר הגזרה הגדולה ביותר בדיאגרמה.

הגזרה הגדולה ביותר היא "שיחות" - 34% מהלקוחות. (גם האחוז החסר של שומרי מסורת קטן: 100%−16%−30%−34%−12%=8%100\%-16\%-30\%-34\%-12\%=8\%.)

המסלול השכיח הוא מסלול השיחות.

טעות נפוצה: לענות "34%" - זו השכיחות היחסית של המסלול, ולא המסלול השכיח עצמו.

סעיף ב

תשובה:

0.380.38

האחוז של שומרי מסורת לא כתוב בדיאגרמה. סכום כל הגזרות הוא 100%:

100%−(16%+30%+34%+12%)=8%100\%-(16\%+30\%+34\%+12\%)=8\%

כל לקוח בחר במסלול אחד בלבד, ולכן המאורעות "שומרי מסורת" ו"מסרונים" זרים, ומחברים את ההסתברויות:

P=0.08+0.30=0.38P=0.08+0.30=0.38

טעות נפוצה: לכפול את ההסתברויות במקום לחבר: 0.08⋅0.30=0.0240.08\cdot0.30=0.024 - "או" בין מאורעות זרים הוא סכום.

סעיף ג

תשובה:

40 לקוחות

16% מתוך 250 הלקוחות שנבדקו בחרו במסלול האינטרנט:

0.16⋅250=400.16\cdot250=40

טעות נפוצה: לענות 16 לקוחות - 16 הוא אחוז, ולא מספר הלקוחות.

סעיף ד

תשובה:

65 שעות

קוראים את גובה העמודות: ינואר 60, פברואר 40, מרץ 90, אפריל 70 שעות.

xˉ=60+40+90+704=2604=65\bar x=\frac{60+40+90+70}{4}=\frac{260}{4}=65

ממוצע שעות הגלישה הוא 65 שעות בחודש.

טעות נפוצה: לספור "מינואר עד אפריל" כ-3 חודשים ולחלק ב-3: 2603≈86.7\frac{260}{3}\approx86.7 שעות.

סעיף ה

תשובה:

325≈18.03\sqrt{325}\approx18.03 שעות

מחשבים את הסטייה של כל נתון מהממוצע 65, ומעלים בריבוע:

(60−65)2=25, (40−65)2=625, (90−65)2=625, (70−65)2=25(60-65)^2=25,\ (40-65)^2=625,\ (90-65)^2=625,\ (70-65)^2=25

σ=25+625+625+254=13004=325≈18.03\sigma=\sqrt{\frac{25+625+625+25}{4}}=\sqrt{\frac{1300}{4}}=\sqrt{325}\approx18.03

סטיית התקן היא כ-18.03 שעות.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולענות 325 - זו השונות, ולא סטיית התקן.

שאלה 6 · אחוזים: מחיר חולצת כותנה מתוך מחיר חולצת פשתן

חנות קנתה 20 חולצות כותנה ו-60 חולצות פשתן.

המחיר של חולצת פשתן היה נמוך ב-15% מהמחיר של חולצת כותנה.

עבור כל חולצות הפשתן שילמה החנות 2,550 שקל.

א.

מה היה המחיר של חולצת כותנה?

ב.

כמה שקלים שילמה החנות עבור כל חולצות הכותנה?

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

50 שקל

קודם מוצאים את המחיר של חולצת פשתן אחת: 60 חולצות עלו 2,550 שקל.

255060=42.5\frac{2550}{60}=42.5

המחיר של חולצת פשתן נמוך ב-15% מהמחיר של חולצת כותנה, כלומר הוא 85% ממנו. נסמן ב-xx את המחיר של חולצת כותנה:

0.85x=42.5⇒x=42.50.85=500.85x=42.5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{42.5}{0.85}=50

המחיר של חולצת כותנה היה 50 שקל.

טעות נפוצה: להוסיף 15% למחיר של חולצת הפשתן: 42.5⋅1.15=48.87542.5\cdot1.15=48.875 שקל. אבל ה-15% הם מהמחיר של חולצת הכותנה, ולא מהמחיר של חולצת הפשתן.

סעיף ב

תשובה:

1,000 שקל

20⋅50=100020\cdot50=1000

החנות שילמה 1,000 שקל עבור כל חולצות הכותנה.

טעות נפוצה: לכפול את מספר חולצות הכותנה במחיר של חולצת פשתן: 20⋅42.5=85020\cdot42.5=850 שקל.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.