בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2022 מועד א'

3 יח"ל · שאלון 035371 · תשפ"ב · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את בחינת הבגרות במתמטיקה בשאלון 371 (3 יח"ל), מועד קיץ 2022 מועד א' (תשפ"ב), כל 6 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · גדילה מעריכית: מספר התושבים בעיר מתוך גרף

מספר התושבים בעיר מסוימת גדל באופן מעריכי.
הגרף שלפניכם מתאר את מספר התושבים בעיר מתחילת שנת 2010.
‫שנה‬‫מספר התושבים בעיר‬2010.02010.52011.02011.52012.02012.52013.02013.516000180002000022000240002600020,00024,500

א.

מה היה מספר התושבים בעיר בתחילת שנת 2010, ומה היה מספרם בתחילת שנת 2013?

ב.

פי כמה גדל מספר התושבים בעיר מדי שנה?

ג.

בהנחה שקצב הגידול הוא קבוע, מה היה מספר התושבים בעיר בתחילת שנת 2015?

ד.

בהנחה שקצב הגידול הוא קבוע, מה היה מספר התושבים בעיר בתחילת שנת 2008?

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

בתחילת 2010: 20,000 תושבים; בתחילת 2013: 24,500 תושבים

הגרף מתחיל בתחילת שנת 2010, ושם הוא נמצא בגובה 20,000.
מעל השנה 2013 הגרף נמצא בגובה 24,500 (הקו המקווקו בסרטוט).
לכן בתחילת 2010 היו בעיר 20,000 תושבים, ובתחילת 2013 היו בעיר 24,500 תושבים.
טעות נפוצה: לקרוא את 24,500 כמספר התושבים שנוספו בשלוש השנים, ולענות שבתחילת 2013 היו 20000+24500=4450020000+24500=4450020000+24500=44500 תושבים.

סעיף ב

תשובה:

פי 1.2253≈1.07\sqrt[3]{1.225}\approx1.0731.225​≈1.07

מתחילת 2010 עד תחילת 2013 עברו t=2013−2010=3t=2013-2010=3t=2013−2010=3 שנים.
בתהליך מעריכי At=A0⋅qtA_t=A_0\cdot q^tAt​=A0​⋅qt, ולכן:
20000⋅q3=2450020000\cdot q^3=2450020000⋅q3=24500
q3=2450020000=1.225q^3=\frac{24500}{20000}=1.225q3=2000024500​=1.225
q=1.2253≈1.07q=\sqrt[3]{1.225}\approx1.07q=31.225​≈1.07
מספר התושבים גדל פי 1.07 בכל שנה (כלומר בכ-7% בשנה).
טעות נפוצה: לספור את השנים 2010, 2011, 2012, 2013 כארבע שנים ולקבל q=1.2254≈1.052q=\sqrt[4]{1.225}\approx1.052q=41.225​≈1.052.

סעיף ג

תשובה:

כ-28,051 תושבים

מתחילת 2010 עד תחילת 2015 עוברות t=5t=5t=5 שנים, והכמות ההתחלתית היא 20,000:
A5=20000⋅1.075≈28051A_5=20000\cdot1.07^5\approx28051A5​=20000⋅1.075≈28051
(אפשר גם להתחיל מ-2013: 24500⋅1.072≈2805024500\cdot1.07^2\approx2805024500⋅1.072≈28050. ההפרש הקטן נובע מעיגול qqq ל-1.07.)
בתחילת 2015 היו בעיר כ-28,051 תושבים.
טעות נפוצה: להתחיל מ-24,500 (מספר התושבים ב-2013) אבל להעלות בחזקת 5, כאילו סופרים מ-2010, ולקבל 24500⋅1.075≈3436324500\cdot1.07^5\approx3436324500⋅1.075≈34363.

סעיף ד

תשובה:

כ-17,469 תושבים

תחילת 2008 היא שנתיים לפני תחילת 2010. נסמן ב-AAA את מספר התושבים בתחילת 2008.
בשנתיים מספר התושבים הוכפל פעמיים ב-1.07 והגיע ל-20,000, ולכן:
A⋅1.072=20000⇒A=200001.072≈17469A\cdot1.07^2=20000\quad\Rightarrow\quad A=\frac{20000}{1.07^2}\approx17469A⋅1.072=20000⇒A=1.07220000​≈17469
בתחילת 2008 היו בעיר כ-17,469 תושבים.
טעות נפוצה: לחשוב שכשחוזרים אחורה מספר התושבים "קטן ב-7% בשנה" ולחשב 20000⋅0.932=1729820000\cdot0.93^2=1729820000⋅0.932=17298. ירידה של 7% אינה מבטלת עלייה של 7%: 17298⋅1.072≈1980417298\cdot1.07^2\approx1980417298⋅1.072≈19804, ולא 20,000.

שאלה 2 · הסתברות: הגרלת פתקים במסעדה

המסעדה "טרי בריא" הכריזה על מבצע הגרלה למי שמזמין ארוחה במסעדה.
כל אדם שמשתתף בהגרלה מקבל מעטפה ובה 10 פתקים:
על פתק אחד כתוב ארוחת בוקר, על 3 פתקים כתוב גלידה, ושאר הפתקים ריקים.
המשתתף מוציא מן המעטפה פתק אחד באקראי, וזוכה בפרס שרשום על הפתק שהוציא (אם הפתק ריק - הוא אינו זוכה בפרס).
ארוחת בוקרגלידהגלידהגלידהריק
ריקריקריקריקריק

ארוחת בוקר	גלידה	גלידה	גלידה	ריק
ריק	ריק	ריק	ריק	ריק

א.

מהי ההסתברות שמשתתף בהגרלה לא יזכה בפרס?

רמי ואמיר הזמינו כל אחד ארוחה במסעדה "טרי בריא", ולכן כל אחד מהם קיבל מעטפה ובה 10 פתקים, כמתואר בשאלה, והוציא פתק אחד באקראי.

ב.

מהי ההסתברות שגם רמי וגם אמיר יזכו בהגרלה: רמי בארוחת בוקר ואמיר בגלידה?

ג.

מהי ההסתברות שגם רמי וגם אמיר יזכו בהגרלה בפרסים שונים: אחד מהם בארוחת בוקר והאחר בגלידה?

ד.

מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם יזכה בארוחת בוקר?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

610=0.6\frac{6}{10}=0.6106​=0.6

במעטפה 10 פתקים, ולכל פתק אותו סיכוי לצאת.
מספר הפתקים הריקים: 10−1−3=610-1-3=610−1−3=6.
P(לא זוכה)=610=0.6P(\text{לא זוכה})=\frac{6}{10}=0.6P(לא זוכה)=106​=0.6
טעות נפוצה: לחשוב שיש שלוש תוצאות (ארוחת בוקר, גלידה, ריק) שסיכוייהן שווים, ולענות 13\frac1331​. התוצאות אינן שוות סיכוי - יש 6 פתקים ריקים ורק פתק אחד של ארוחת בוקר.

סעיף ב

תשובה:

0.1⋅0.3=0.030.1\cdot0.3=0.030.1⋅0.3=0.03

כל אחד מוציא פתק ממעטפה משלו, ולכן מה שרמי מוציא אינו משפיע על מה שאמיר מוציא - המאורעות בלתי תלויים.
P(רמי - ארוחת בוקר)=110=0.1P(\text{רמי - ארוחת בוקר})=\frac{1}{10}=0.1P(רמי - ארוחת בוקר)=101​=0.1, P(אמיר - גלידה)=310=0.3P(\text{אמיר - גלידה})=\frac{3}{10}=0.3P(אמיר - גלידה)=103​=0.3.
להסתברות ש"גם וגם" מתקיימים כופלים:
0.1⋅0.3=0.030.1\cdot0.3=0.030.1⋅0.3=0.03
טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום לכפול, ולקבל 0.1+0.3=0.40.1+0.3=0.40.1+0.3=0.4.

סעיף ג

תשובה:

0.03+0.03=0.060.03+0.03=0.060.03+0.03=0.06

יש שתי אפשרויות (שני מסלולים):
רמי בארוחת בוקר ואמיר בגלידה: 0.1⋅0.3=0.030.1\cdot0.3=0.030.1⋅0.3=0.03.
רמי בגלידה ואמיר בארוחת בוקר: 0.3⋅0.1=0.030.3\cdot0.1=0.030.3⋅0.1=0.03.
המסלולים זרים, ולכן מחברים:
0.03+0.03=0.060.03+0.03=0.060.03+0.03=0.06
טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות ששניהם יזכו בפרס כלשהו, 0.4⋅0.4=0.160.4\cdot0.4=0.160.4⋅0.4=0.16, במקום ששניהם יזכו בפרסים שונים.

סעיף ד

תשובה:

2⋅0.1⋅0.9=0.182\cdot0.1\cdot0.9=0.182⋅0.1⋅0.9=0.18

ההסתברות לא לזכות בארוחת בוקר (גלידה או ריק): 1−0.1=0.91-0.1=0.91−0.1=0.9.
שני מסלולים:
רמי זוכה בארוחת בוקר ואמיר לא: 0.1⋅0.9=0.090.1\cdot0.9=0.090.1⋅0.9=0.09.
אמיר זוכה בארוחת בוקר ורמי לא: 0.9⋅0.1=0.090.9\cdot0.1=0.090.9⋅0.1=0.09.
0.09+0.09=0.180.09+0.09=0.180.09+0.09=0.18
טעות נפוצה: לחשב רק מסלול אחד (רמי זוכה ואמיר לא) ולענות 0.090.090.09.

שאלה 3 · משולשים דומים: שולחן פינתי ומשטח זכוכית

נגר בונה שולחן כתיבה פינתי.
השולחן עשוי ממשטח עץ שצורתו משולש ישר זווית DEFDEFDEF (∠DEF=90∘\angle DEF=90^\circ∠DEF=90∘).
אורך הצלע הארוכה ביותר של משטח העץ (DFDFDF) הוא 2.5 מטר, ואורך הצלע הקצרה ביותר (DEDEDE) הוא 1.5 מטר.
DEFABC

א.

חשבו את אורך הצלע הבינונית של משטח העץ (EFEFEF).

במרכז משטח העץ הניח הנגר משטח זכוכית מעוצב שצורתו משולש ישר זווית ABCABCABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘).
משטח העץ ומשטח הזכוכית הם משולשים דומים (△ABC∼△DEF\triangle ABC\sim\triangle DEF△ABC∼△DEF), ∠A=∠D\angle A=\angle D∠A=∠D.
אורך הצלע הארוכה ביותר של משטח הזכוכית (ACACAC) הוא 1.25 מטר.

ב(1).

פי כמה גדולה הצלע הארוכה ביותר של משטח העץ מן הצלע הגדולה ביותר של משטח הזכוכית?

ב(2).

חשבו את אורך הצלע הקצרה ביותר של משטח הזכוכית (ABABAB).

ב(3).

חשבו את אורך הצלע הבינונית של משטח הזכוכית (BCBCBC).

הנגר החליט לקנות פס של נורות לד כדי לקשט את משטח הזכוכית לאורך כל היקפו.
המחיר של 1 מטר פס נורות לד הוא 32 שקלים.

ג(1).

מהו אורך פס נורות הלד הדרוש לקישוט ההיקף של משטח הזכוכית?

ג(2).

כמה שקלים ישלם הנגר בעבור פס נורות הלד?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

EF=2EF=2EF=2 מטר

המשולש DEFDEFDEF ישר זווית ב-EEE, ולכן DFDFDF (מול הזווית הישרה) הוא היתר, ו-DEDEDE, EFEFEF הם הניצבים.
לפי משפט פיתגורס:
DE2+EF2=DF2⇒1.52+EF2=2.52DE^2+EF^2=DF^2\quad\Rightarrow\quad1.5^2+EF^2=2.5^2DE2+EF2=DF2⇒1.52+EF2=2.52
EF2=6.25−2.25=4⇒EF=2EF^2=6.25-2.25=4\quad\Rightarrow\quad EF=2EF2=6.25−2.25=4⇒EF=2
טעות נפוצה: לחבר את הריבועים במקום לחסר, 2.52+1.52≈2.92\sqrt{2.5^2+1.5^2}\approx2.922.52+1.52​≈2.92 - כאילו EFEFEF הוא היתר. אבל EFEFEF צריך להיות קצר מ-DFDFDF, הצלע הארוכה ביותר.

סעיף ב(1)

תשובה:

פי 2

הצלע הארוכה ביותר בכל משולש היא היתר: DFDFDF במשטח העץ ו-ACACAC במשטח הזכוכית. אלה צלעות מתאימות.
DFAC=2.51.25=2\frac{DF}{AC}=\frac{2.5}{1.25}=2ACDF​=1.252.5​=2
הצלע של משטח העץ גדולה פי 2, ולכן יחס הדמיון הוא 2.
טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך, 1.252.5=0.5\frac{1.25}{2.5}=0.52.51.25​=0.5, ולענות "פי 0.5" - אבל השאלה היא פי כמה הצלע של משטח העץ גדולה יותר.

סעיף ב(2)

תשובה:

AB=0.75AB=0.75AB=0.75 מטר

△ABC∼△DEF\triangle ABC\sim\triangle DEF△ABC∼△DEF עם ∠A=∠D\angle A=\angle D∠A=∠D ו-∠B=∠E\angle B=\angle E∠B=∠E, ולכן הצלע ABABAB מתאימה לצלע DEDEDE.
צלעות משטח העץ גדולות פי 2 מהצלעות המתאימות במשטח הזכוכית, ולכן:
AB=DE2=1.52=0.75AB=\frac{DE}{2}=\frac{1.5}{2}=0.75AB=2DE​=21.5​=0.75
טעות נפוצה: להחסיר את ההפרש בין היתרים (2.5−1.25=1.252.5-1.25=1.252.5−1.25=1.25) במקום לחלק ביחס הדמיון, ולקבל AB=1.5−1.25=0.25AB=1.5-1.25=0.25AB=1.5−1.25=0.25.

סעיף ב(3)

תשובה:

BC=1BC=1BC=1 מטר

הצלע BCBCBC מתאימה לצלע EFEFEF, שאורכה 2 מטר (סעיף א):
BC=EF2=22=1BC=\frac{EF}{2}=\frac{2}{2}=1BC=2EF​=22​=1
טעות נפוצה: לכפול ביחס הדמיון במקום לחלק, BC=2⋅2=4BC=2\cdot2=4BC=2⋅2=4 - צלע ארוכה יותר מכל צלע של משטח העץ, אף שהזכוכית מונחת עליו.

סעיף ג(1)

תשובה:

3 מטר

אורך הפס שווה להיקף משטח הזכוכית:
AB+BC+AC=0.75+1+1.25=3AB+BC+AC=0.75+1+1.25=3AB+BC+AC=0.75+1+1.25=3
(בדיקה: היקף משטח העץ הוא 1.5+2+2.5=61.5+2+2.5=61.5+2+2.5=6, ויחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: 62=3\frac62=326​=3.)
טעות נפוצה: לחבר רק את שתי הצלעות שחושבו בסעיף ב ולשכוח את ACACAC: 0.75+1=1.750.75+1=1.750.75+1=1.75 מטר.

סעיף ג(2)

תשובה:

96 שקלים

כל מטר עולה 32 שקלים, והנגר צריך 3 מטרים:
3⋅32=963\cdot32=963⋅32=96
טעות נפוצה: לחשב את המחיר לפי היקף משטח העץ (6 מטר) ולקבל 6⋅32=1926\cdot32=1926⋅32=192 שקלים - אבל הפס מקשט רק את משטח הזכוכית.

שאלה 4 · טריגונומטריה: מגדלור, ספינה וסירה

מגדלור עומד על החוף בנקודה BBB.
ספינה עוגנת בים בנקודה DDD, שנמצאת במרחק 100 מטר מן המגדלור.
הפנס של המגדלור נמצא בנקודה AAA, שנמצאת מעל הנקודה BBB.
נתון: ∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘, ∠ADB=35∘\angle ADB=35^\circ∠ADB=35∘ (ראו סרטוט).
ABCD

א.

חשבו את הגובה של הפנס מעל הנקודה BBB (ABABAB).

סירה עוגנת בנקודה CCC. הסירה נמצאת בין הספינה למגדלור, על הקו הישר המחבר ביניהן.
המרחק בין הספינה לסירה הוא 25 מטר (CD=25CD=25CD=25 מטר).

ב.

מצאו את הזווית שבה נראה הפנס מן הסירה (∠ACB\angle ACB∠ACB).

הספינה הפליגה מנקודה DDD, לאורך קו ישר, עד למגדלור (נקודה BBB).
הספינה שטה במהירות קבועה של 5 מטר לשנייה.

ג.

כמה שניות שטה הספינה עד שהגיעה למגדלור?

הסירה הפליגה מנקודה CCC, לאורך קו ישר, עד למגדלור.
הסירה שטה במהירות קבועה של 3 מטר לשנייה.
הסירה יצאה לדרכה באותו הזמן שבו יצאה הספינה למגדלור.

ד.

מי הגיעה קודם למגדלור, הסירה או הספינה? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

AB≈70.02AB\approx70.02AB≈70.02 מטר

במשולש ABDABDABD (ישר זווית ב-BBB): ABABAB הוא הניצב שמול הזווית 35∘35^\circ35∘, ו-BD=100BD=100BD=100 הוא הניצב שליד הזווית. לכן משתמשים בטנגנס:
tan⁡35∘=ABBD=AB100⇒AB=100⋅tan⁡35∘≈70.02\tan35^\circ=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{100}\quad\Rightarrow\quad AB=100\cdot\tan35^\circ\approx70.02tan35∘=BDAB​=100AB​⇒AB=100⋅tan35∘≈70.02
גובה הפנס מעל BBB הוא כ-70.02 מטר.
טעות נפוצה: להשתמש בסינוס, כאילו 100 הוא היתר: 100⋅sin⁡35∘≈57.36100\cdot\sin35^\circ\approx57.36100⋅sin35∘≈57.36 מטר. היתר במשולש הוא ADADAD, ולא BDBDBD.

סעיף ב

תשובה:

∠ACB≈43.03∘\angle ACB\approx43.03^\circ∠ACB≈43.03∘

CCC נמצאת על הקטע BDBDBD, ולכן:
BC=BD−CD=100−25=75BC=BD-CD=100-25=75BC=BD−CD=100−25=75
במשולש ABCABCABC (ישר זווית ב-BBB) ידועים שני הניצבים: AB≈70.02AB\approx70.02AB≈70.02 מול הזווית, BC=75BC=75BC=75 ליד הזווית:
tan⁡∠ACB=ABBC=70.0275≈0.9336⇒∠ACB≈43.03∘\tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{70.02}{75}\approx0.9336\quad\Rightarrow\quad\angle ACB\approx43.03^\circtan∠ACB=BCAB​=7570.02​≈0.9336⇒∠ACB≈43.03∘
טעות נפוצה: להפוך את היחס, tan⁡∠ACB=7570.02\tan\angle ACB=\frac{75}{70.02}tan∠ACB=70.0275​, ולקבל 46.97∘46.97^\circ46.97∘ - זו הזווית BACBACBAC ולא ACBACBACB.

סעיף ג

תשובה:

20 שניות

הספינה שטה את הקטע DBDBDB, שאורכו 100 מטר. זמן = דרך חלקי מהירות:
t=1005=20t=\frac{100}{5}=20t=5100​=20
טעות נפוצה: לכפול את הדרך במהירות במקום לחלק, 100⋅5=500100\cdot5=500100⋅5=500 שניות.

סעיף ד

תשובה:

הספינה: היא הגיעה אחרי 20 שניות, והסירה אחרי 25 שניות

הסירה שטה את הקטע CBCBCB, שאורכו 75 מטר (סעיף ב):
t=753=25t=\frac{75}{3}=25t=375​=25
הספינה הגיעה אחרי 20 שניות (סעיף ג), כלומר 5 שניות לפני הסירה. לכן הספינה הגיעה קודם.
טעות נפוצה: לענות שהסירה הגיעה קודם כי היא קרובה יותר למגדלור (75 מטר לעומת 100 מטר), בלי להתחשב בכך שהיא שטה לאט יותר.

שאלה 5 · דיאגרמות עיגול: הוצאות חודשיות של שלוש משפחות

הדיאגרמות I-III שלפניכם מתארות את התפלגות ההוצאות החודשיות של שלוש משפחות: משפחת כהן, משפחת אהרון ומשפחת מאיר.
I25%20%14%16%15%10%‫דיור 25%‬‫נסיעות 20%‬‫מזון 14%‬‫חינוך ותרבות 16%‬‫בריאות 15%‬‫לבוש 10%‬
II20%15%18%25%10%12%‫דיור 20%‬‫נסיעות 15%‬‫מזון 18%‬‫חינוך ותרבות 25%‬‫בריאות 10%‬‫לבוש 12%‬
III10%15%25%25%10%15%‫דיור 10%‬‫נסיעות 15%‬‫מזון 25%‬‫חינוך ותרבות 25%‬‫בריאות 10%‬‫לבוש 15%‬
ידוע כי הסכום שמשפחת מאיר מוציאה על מזון שווה לסכום שהיא מוציאה על חינוך ותרבות.
ידוע כי הסכום שמשפחת אהרון מוציאה על דיור גדול פי 2.5 מן הסכום שהיא מוציאה על לבוש.

א.

התאימו לכל משפחה את הדיאגרמה המתארת את התפלגות ההוצאות החודשיות שלה. הסבירו את קביעותיכם.

בחודש יולי הוציאה משפחת כהן 12,000 שקלים סך הכול.

ב.

מהו הסכום שהוציאה משפחת כהן על חינוך ותרבות בחודש יולי?

בחודש יולי הוציאה משפחת אהרון 14,000 שקלים סך הכול, ומשפחת מאיר הוציאה בחודש זה 15,000 שקלים סך הכול.

ג.

איזו משפחה משלוש המשפחות הוציאה את הסכום הגבוה ביותר על חינוך ותרבות בחודש יולי? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

משפחת מאיר - דיאגרמה III; משפחת אהרון - דיאגרמה I; משפחת כהן - דיאגרמה II

בתוך משפחה אחת, הסכומים שווים בדיוק כשהאחוזים שווים, וסכום אחד גדול פי 2.5 מאחר כשהאחוז שלו גדול פי 2.5.
משפחת מאיר: מזון וחינוך ותרבות באותו אחוז. ב-I: 14% ו-16%; ב-II: 18% ו-25%; ב-III: 25% ו-25%. לכן משפחת מאיר - דיאגרמה III.
משפחת אהרון: דיור פי 2.5 מלבוש. ב-I: 25%10%=2.5\frac{25\%}{10\%}=2.510%25%​=2.5; ב-II: 20%12%≈1.67\frac{20\%}{12\%}\approx1.6712%20%​≈1.67. לכן משפחת אהרון - דיאגרמה I.
הדיאגרמה שנשארה, II, היא של משפחת כהן.
טעות נפוצה: לבדוק את היחס בין שני תחומים אחרים - ב-II חינוך ותרבות (25%) גדול פי 2.5 מבריאות (10%) - ולשייך את משפחת אהרון לדיאגרמה II ואת משפחת כהן לדיאגרמה I.

סעיף ב

תשובה:

3,000 שקלים

משפחת כהן - דיאגרמה II (סעיף א), ושם חינוך ותרבות הם 25% מההוצאות:
0.25⋅12000=30000.25\cdot12000=30000.25⋅12000=3000
טעות נפוצה: לחלק באחוז במקום לכפול, 1200025=480\frac{12000}{25}=4802512000​=480 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

משפחת מאיר (3,750 שקלים)

הסכומים הכוללים של המשפחות שונים, ולכן משווים סכומים בשקלים ולא אחוזים:
משפחת אהרון (I, 16%): 0.16⋅14000=22400.16\cdot14000=22400.16⋅14000=2240 שקלים.
משפחת מאיר (III, 25%): 0.25⋅15000=37500.25\cdot15000=37500.25⋅15000=3750 שקלים.
משפחת כהן: 3,000 שקלים (סעיף ב).
3750>3000>22403750>3000>22403750>3000>2240, ולכן משפחת מאיר הוציאה את הסכום הגבוה ביותר.
טעות נפוצה: להשוות אחוזים - אצל כהן ואצל מאיר חינוך ותרבות הם 25% - ולענות ששתי המשפחות הוציאו אותו סכום. 25% מ-15,000 גדול מ-25% מ-12,000.

שאלה 6 · תעריף מדורג: כביש אגרה למשאית ולמכונית פרטית

בכביש אגרה עלות הנסיעה נקבעת לפי סוג כלי הרכב ולפי מספר קטעי הנסיעה.
בשלושת הקטעים הראשונים של הכביש משלמים סכום קבוע ללא תלות במספר הקטעים של הנסיעה.
החל מן הקטע הרביעי משלמים סכום אחיד על כל קטע נסיעה (כמפורט בטבלה).
הטבלה שלפניכם מתארת את עלות הנסיעה בעבור שני סוגי כלי רכב שונים:
סוג כלי הרכבעלות הנסיעה בשלושת הקטעים הראשונים סך הכולעלות נוספת בכל קטע נוסף (החל מן הקטע הרביעי)
משאית20 שקלים6 שקלים
מכונית פרטית22 שקלים4 שקלים

סוג כלי הרכב	עלות הנסיעה בשלושת הקטעים הראשונים סך הכול	עלות נוספת בכל קטע נוסף (החל מן הקטע הרביעי)
משאית	20 שקלים	6 שקלים
מכונית פרטית	22 שקלים	4 שקלים

עודד, נהג משאית, נוסע לאורך 6 קטעי דרך בכביש האגרה.

א.

חשבו כמה ישלם עודד על נסיעה זו.

רן נסע במכוניתו הפרטית בכביש האגרה לבקר בני משפחה ושילם בעבור נסיעה זו 50 שקלים.

ב.

חשבו לאורך כמה קטעי דרך נסע רן.

נהג משאית ונהג מכונית פרטית נסעו את אותו מספר קטעים בכביש האגרה ושילמו את אותו מחיר.

ג(1).

חשבו כמה קטעי דרך נסע כל אחד מן הנהגים.

ג(2).

חשבו את העלות הכוללת של הנסיעה בעבור מספר הקטעים שמצאתם בתת-סעיף ג(1).

החברה המפעילה את כביש האגרה יצאה במבצע:
"שלמו 49 שקלים ותוכלו לנסוע בכביש האגרה ללא תלות בסוג כלי הרכב או באורך הנסיעה".
עמית מתכנן לנסוע במכונית פרטית נסיעה שאורכה 8 קטעים בכביש האגרה.

ד.

האם המבצע של החברה משתלם לעמית? הסבירו את קביעתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

38 שקלים

על שלושת הקטעים הראשונים עודד משלם 20 שקלים בסך הכול.
מספר הקטעים הנוספים: 6−3=36-3=36−3=3, וכל אחד עולה 6 שקלים:
20+3⋅6=3820+3\cdot6=3820+3⋅6=38
טעות נפוצה: לשלם 6 שקלים על כל ששת הקטעים, בנוסף לסכום הקבוע: 20+6⋅6=5620+6\cdot6=5620+6⋅6=56 שקלים. שלושת הקטעים הראשונים כבר כלולים ב-20 השקלים.

סעיף ב

תשובה:

10 קטעים

50>2250>2250>22, ולכן רן נסע יותר משלושה קטעים. נסמן ב-kkk את מספר הקטעים הנוספים (מעבר לשלושה):
22+4k=50⇒4k=28⇒k=722+4k=50\quad\Rightarrow\quad4k=28\quad\Rightarrow\quad k=722+4k=50⇒4k=28⇒k=7
מספר הקטעים הכולל: 3+7=103+7=103+7=10.
טעות נפוצה: לעצור ב-k=7k=7k=7 ולענות 7 קטעים - 7 הם רק הקטעים שמעבר לשלושת הראשונים.

סעיף ג(1)

תשובה:

4 קטעים

בנסיעה של שלושה קטעים או פחות המחירים שונים (20 שקלים למשאית, 22 למכונית), ולכן הנהגים נסעו יותר משלושה קטעים.
נסמן ב-kkk את מספר הקטעים הנוספים ונשווה את המחירים:
20+6k=22+4k⇒2k=2⇒k=120+6k=22+4k\quad\Rightarrow\quad2k=2\quad\Rightarrow\quad k=120+6k=22+4k⇒2k=2⇒k=1
מספר הקטעים: 3+1=43+1=43+1=4.
טעות נפוצה: לענות k=1k=1k=1, כלומר קטע אחד. בנסיעה של קטע אחד המשאית משלמת 20 שקלים והמכונית 22.

סעיף ג(2)

תשובה:

26 שקלים

בנסיעה של 4 קטעים יש קטע נוסף אחד:
משאית: 20+1⋅6=2620+1\cdot6=2620+1⋅6=26; מכונית פרטית: 22+1⋅4=2622+1\cdot4=2622+1⋅4=26.
טעות נפוצה: להציב את מספר הקטעים הכולל (4) במקום מספר הקטעים הנוספים: 20+4⋅6=4420+4\cdot6=4420+4⋅6=44 שקלים.

סעיף ד

תשובה:

לא: בלי המבצע עמית ישלם 42 שקלים, פחות מ-49

בלי המבצע: 8 קטעים הם 3 קטעים ראשונים ועוד 8−3=58-3=58−3=5 קטעים נוספים:
22+5⋅4=4222+5\cdot4=4222+5⋅4=42
42<4942<4942<49, ולכן המבצע אינו משתלם לעמית - בלי המבצע הוא חוסך 7 שקלים.
טעות נפוצה: לחשב 4 שקלים על כל 8 הקטעים, 22+8⋅4=5422+8\cdot4=5422+8⋅4=54, ולהסיק שהמבצע משתלם.

שאלה 1 · גדילה מעריכית: מספר התושבים בעיר מתוך גרף

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 2 · הסתברות: הגרלת פתקים במסעדה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 3 · משולשים דומים: שולחן פינתי ומשטח זכוכית

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ב(3)

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

שאלה 4 · טריגונומטריה: מגדלור, ספינה וסירה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 5 · דיאגרמות עיגול: הוצאות חודשיות של שלוש משפחות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 6 · תעריף מדורג: כביש אגרה למשאית ולמכונית פרטית

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ד

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד