דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

בגרות במתמטיקה 371 - חורף 2023

3 יח"ל · שאלון 035371 · תשפ"ג · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את בחינת הבגרות במתמטיקה בשאלון 371 (3 יח"ל), מועד חורף 2023 (תשפ"ג), כל 6 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · גדילה בשני מפעלי מחזור: נוסחה וגרף

במפעל א' ממחזרים בקבוקים. מספר הבקבוקים שממחזרים במפעל א' גדל בכל שנה ב-3%. בשנת 2000 מוחזרו במפעל א' 500,000 בקבוקים.

א.

כמה בקבוקים מוחזרו במפעל א' בשנת 2006?

גם במפעל ב' ממחזרים בקבוקים. מספר הבקבוקים שממחזרים במפעל ב' גדל באחוז קבוע בכל שנה. לפניכם גרף המתאר את מספר הבקבוקים שמוחזרו במפעל ב', לפי השנים. היעזרו בגרף, וענו על הסעיפים ב-ד שאחריו.

‫השנה‬‫מספר הבקבוקים במפעל ב'‬480,000555,6602000200120022003200420052006
ב(1).

כמה בקבוקים מוחזרו במפעל ב' בשנת 2000?

ב(2).

כמה בקבוקים מוחזרו במפעל ב' בשנת 2003?

ג.

בכמה אחוזים גדל מספר הבקבוקים שממחזרים במפעל ב' בכל שנה?

בתחילת שנת 2006 הודיע המשרד להגנת הסביבה כי מפעל שימחזר באותה השנה יותר מ-600,000 בקבוקים יקבל מענק.

ד.

קבעו בנוגע לכל אחד מן המפעלים א' ו-ב', אם הוא יקבל את המענק. נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

כ-597,026597{,}026 בקבוקים (500,000⋅1.036500{,}000\cdot1.03^6)

גדילה של 3% בכל שנה: מקדם הגדילה הוא q=1+0.03=1.03q=1+0.03=1.03.

מספר השנים מ-2000 עד 2006: t=2006−2000=6t=2006-2000=6.

מציבים בנוסחה At=A0⋅qtA_t=A_0\cdot q^t:

A6=500,000⋅1.036≈597,026A_6=500{,}000\cdot1.03^6\approx597{,}026

בשנת 2006 מוחזרו במפעל א' כ-597,026 בקבוקים.

טעות נפוצה: להוסיף בכל שנה 3% מהכמות של שנת 2000, כמו בגדילה קבועה: 500,000⋅(1+6⋅0.03)=590,000500{,}000\cdot(1+6\cdot0.03)=590{,}000. בגדילה באחוז קבוע כל שנה מחושבת מהכמות של השנה הקודמת, ולכן כופלים ב-1.031.03 שש פעמים.

סעיף ב(1)

תשובה:

480,000480{,}000 בקבוקים

הכמות בשנת 2000 היא נקודת ההתחלה של הגרף - הנקודה שבה הגרף חותך את הציר האנכי, מעל השנה 2000.

ליד הנקודה הזו רשום 480,000.

בשנת 2000 מוחזרו במפעל ב' 480,000 בקבוקים.

טעות נפוצה: לענות 500,000500{,}000 - זה מספר הבקבוקים שמוחזרו במפעל א' בשנת 2000, ולא במפעל ב'.

סעיף ב(2)

תשובה:

555,660555{,}660 בקבוקים

מעל השנה 2003 עולה קו עזר עד הגרף, וממנו קו אופקי עד הציר האנכי.

על הציר האנכי, בגובה הזה, רשום 555,660.

בשנת 2003 מוחזרו במפעל ב' 555,660 בקבוקים.

טעות נפוצה: לחשב במקום לקרוא, עם אחוז הגדילה של מפעל א': 480,000⋅1.033≈524,509480{,}000\cdot1.03^3\approx524{,}509. אחוז הגדילה של מפעל ב' לא נתון - את הערך קוראים מהגרף.

סעיף ג

תשובה:

ב-5%

מ-2000 עד 2003 עברו t=3t=3 שנים. מציבים בנוסחת הגדילה את הכמות ההתחלתית ואת הכמות בשנת 2003:

480,000⋅q3=555,660480{,}000\cdot q^3=555{,}660

מבודדים את q3q^3:

q3=555,660480,000=1.157625q^3=\frac{555{,}660}{480{,}000}=1.157625

מוציאים שורש שלישי במחשבון:

q=1.1576253=1.05q=\sqrt[3]{1.157625}=1.05

q=1.05=1+0.05q=1.05=1+0.05, ולכן מספר הבקבוקים במפעל ב' גדל ב-5% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את הגדילה הכוללת במספר השנים: הגדילה בשלוש שנים היא 15.7625%15.7625\%, ו-15.7625%:3≈5.25%15.7625\%:3\approx5.25\%. הגדילה מצטברת (כל שנה אחוז מהכמות החדשה), ולכן מוציאים שורש שלישי ולא מחלקים ב-3.

סעיף ד

תשובה:

מפעל א\' לא יקבל (≈597,026<600,000\approx597{,}026<600{,}000); מפעל ב\' יקבל (480,000⋅1.056≈643,246>600,000480{,}000\cdot1.05^6\approx643{,}246>600{,}000)

מפעל א': לפי סעיף א, בשנת 2006 מוחזרו בו כ-597,026 בקבוקים.

597,026<600,000597{,}026<600{,}000, ולכן מפעל א' לא יקבל את המענק.

מפעל ב': מ-2000 עד 2006 עברו 6 שנים, ולפי סעיף ג q=1.05q=1.05:

480,000⋅1.056≈643,246480{,}000\cdot1.05^6\approx643{,}246

643,246>600,000643{,}246>600{,}000, ולכן מפעל ב' יקבל את המענק.

שימו לב: מפעל ב' התחיל עם פחות בקבוקים, אבל הוא גדל מהר יותר, ולכן בשנת 2006 הוא עובר את מפעל א'.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2000, 2001, ..., 2006 ולקבל t=7t=7. אז במפעל א' מקבלים 500,000⋅1.037≈614,937>600,000500{,}000\cdot1.03^7\approx614{,}937>600{,}000, ומסיקים בטעות ששני המפעלים יקבלו את המענק.

שאלה 2 · קובייה עם המספרים 4 ו-(4-): סכום ומכפלה בשתי הטלות

לפניכם קובייה מאוזנת שלה 6 פאות. על כל אחת מן הפאות של הקובייה רשום מספר. על 5 מן הפאות של הקובייה רשום המספר 4, ועל פאה אחת של הקובייה רשום המספר −4-4.

א.

מטילים את הקובייה פעם אחת. מהי ההסתברות שיתקבל המספר 4?

מטילים את הקובייה פעמיים.

ב.

מהי ההסתברות שסכום שני המספרים שיתקבלו יהיה 8?

ג.

מהי ההסתברות שסכום שני המספרים שיתקבלו יהיה 0?

ד.

מהי ההסתברות שהמכפלה של שני המספרים שיתקבלו תהיה 16?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

56\frac56

הקובייה מאוזנת, ולכן לכל אחת מ-6 הפאות אותה הסתברות, 16\frac16.

המספר 4 רשום על 5 פאות:

P(4)=56P(4)=\frac{5}{6}

טעות נפוצה: לומר שיש שתי תוצאות אפשריות (4 או −4-4) ולכן P(4)=12P(4)=\frac12. שתי התוצאות אינן שוות הסתברות - הפאות הן התוצאות השוות, ו-4 רשום על 5 מהן.

סעיף ב

תשובה:

2536\frac{25}{36}

הסכומים האפשריים: 4+4=84+4=8, 4+(−4)=04+(-4)=0, (−4)+(−4)=−8(-4)+(-4)=-8.

סכום 8 מתקבל רק כשבשתי ההטלות מתקבל 4.

ההטלות בלתי תלויות, ולכן כופלים את ההסתברויות:

P(4,4)=56⋅56=2536P(4,4)=\frac56\cdot\frac56=\frac{25}{36}

טעות נפוצה: לומר שיש שלושה סכומים אפשריים (8, 0, −8-8) ולכן ההסתברות לסכום 8 היא 13\frac13. הסכומים אינם שווי הסתברות.

סעיף ג

תשובה:

1036=518\frac{10}{36}=\frac5{18}

סכום 0 מתקבל כשמתקבל פעם 4 ופעם −4-4. יש לכך שני סדרים:

P(4,−4)=56⋅16=536,P(−4,4)=16⋅56=536P(4,-4)=\frac56\cdot\frac16=\frac5{36},\qquad P(-4,4)=\frac16\cdot\frac56=\frac5{36}

שני המסלולים זרים, ולכן מחברים:

P(סכום 0)=536+536=1036=518P(\text{סכום }0)=\frac5{36}+\frac5{36}=\frac{10}{36}=\frac5{18}

טעות נפוצה: לחשב רק את הסדר "קודם 4 ואחר כך −4-4" ולקבל 536\frac5{36}. גם הסדר ההפוך נותן סכום 0.

סעיף ד

תשובה:

2636=1318\frac{26}{36}=\frac{13}{18}

מכפלה 16 מתקבלת בשני מקרים:

4⋅4=164\cdot4=16, וגם (−4)⋅(−4)=16(-4)\cdot(-4)=16 (מינוס כפול מינוס הוא פלוס).

P(4,4)=2536,P(−4,−4)=16⋅16=136P(4,4)=\frac{25}{36},\qquad P(-4,-4)=\frac16\cdot\frac16=\frac1{36}
P(מכפלה 16)=2536+136=2636=1318P(\text{מכפלה }16)=\frac{25}{36}+\frac1{36}=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}

טעות נפוצה: לספור את המסלול (−4,−4)(-4,-4) פעמיים, "בשני סדרים" כמו בסעיף ג: 2536+236=34\frac{25}{36}+\frac{2}{36}=\frac34. כששתי התוצאות זהות יש סדר אחד בלבד.

שאלה 3 · מדידת גובה בניין במראה: משולשים דומים

רוני מדדה את הגובה של בניין מסוים. הנקודה CC נמצאת בתחתית הבניין. רוני הניחה מראה על הקרקע בנקודה BB, המרוחקת 280 מטרים מן הנקודה CC. רוני נעמדה בנקודה AA, הנמצאת על המשך הקטע CBCB, במרחק של 2 מטרים מן המראה. רוני ירתה קרן לייזר מנקודה DD לכיוון המראה. קרן הלייזר פגעה במראה, ולאחר מכן פגעה בחיישן שנמצא על גג הבניין בנקודה EE (ראו סרטוט).

נתון: הקטע ECEC מאונך לקטע BCBC והקטע ADAD מאונך לקטע ABAB. ∠ABD=∠CBE\angle ABD=\angle CBE.

ABCDE
א(1).

הוכיחו: המשולש CBECBE דומה למשולש ABDABD.

א(2).

חשבו את יחס הדמיון בין המשולש CBECBE ובין המשולש ABDABD.

רוני ירתה את קרן הלייזר מגובה של 1.6 מטרים מן הקרקע (ADAD).

ב.

מצאו את הגובה של הבניין (CECE).

מקומת הקרקע ועד לגג הבניין פועלת ללא עצירה מעלית נוסעים. מהירות המעלית היא 8 מטרים לשנייה.

ג.

בכמה זמן המעלית עולה מקומת הקרקע לגג הבניין?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א(1)

תשובה:

∠ECB=∠DAB=90∘\angle ECB=\angle DAB=90^\circ ו-∠CBE=∠ABD\angle CBE=\angle ABD, ולכן △CBE∼△ABD\triangle CBE\sim\triangle ABD (ז.ז.)

כדי להוכיח דמיון לפי ז.ז. מספיק למצוא שתי זוגות של זוויות שוות.

EC⊥BCEC\perp BC, ולכן ∠ECB=90∘\angle ECB=90^\circ; AD⊥ABAD\perp AB, ולכן ∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ. מכאן ∠ECB=∠DAB\angle ECB=\angle DAB.

∠CBE=∠ABD\angle CBE=\angle ABD (נתון - זווית הפגיעה במראה שווה לזווית ההחזרה).

לכן △CBE∼△ABD\triangle CBE\sim\triangle ABD לפי משפט הדמיון ז.ז., וההתאמה: C↔AC\leftrightarrow A, B↔BB\leftrightarrow B, E↔DE\leftrightarrow D.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר קודקודים לא מתאים, למשל △CBE∼△DBA\triangle CBE\sim\triangle DBA, ואחר כך להתאים את CBCB ל-DBDB. סדר הקודקודים חייב להתאים לזוויות השוות.

סעיף א(2)

תשובה:

140140

הצלעות המתאימות הן אלה שבין הזוויות המתאימות: CBCB (בין הזווית הישרה לזווית שב-BB) מתאימה ל-ABAB.

k=CBAB=2802=140k=\frac{CB}{AB}=\frac{280}{2}=140

יחס הדמיון הוא 140: כל צלע במשולש CBECBE גדולה פי 140 מהצלע המתאימה לה במשולש ABDABD.

טעות נפוצה: להשתמש במרחק של רוני מהבניין, AC=282AC=282, במקום CBCB, ולקבל 2822=141\frac{282}2=141.

סעיף ב

תשובה:

224224 מטרים

CECE מתאימה ל-ADAD (שתיהן מול הזווית שב-BB).

לפי יחס הדמיון:

CEAD=140⇒CE=140⋅1.6=224\frac{CE}{AD}=140\qquad\Rightarrow\qquad CE=140\cdot1.6=224

גובה הבניין: 224 מטרים.

טעות נפוצה: לכפול ביחס הדמיון את ABAB במקום את ADAD: 140⋅2=280140\cdot2=280 מטרים. ABAB היא צלע על הקרקע, ומתאימה ל-CBCB, לא לגובה.

סעיף ג

תשובה:

2828 שניות

המעלית עוברת את כל גובה הבניין, 224 מטרים (סעיף ב), במהירות 8 מטרים לשנייה.

זמן=דרךמהירות=2248=28\text{זמן}=\frac{\text{דרך}}{\text{מהירות}}=\frac{224}{8}=28

המעלית עולה לגג ב-28 שניות.

טעות נפוצה: לחלק את המרחק האופקי BC=280BC=280 במהירות ולקבל 3535 שניות. המעלית עולה לגובה הבניין, CECE.

שאלה 4 · מתקן משולש בגן שעשועים: פיתגורס, טריגונומטריה ועלות

בגן שעשועים הציבו מתקן בצורת משולש ABCABC. הצלע ABAB במשולש היא סולם שבו עולים מן הקרקע לראש המתקן (הנקודה BB). הצלע BCBC במשולש היא מגלשה שבה יורדים מראש המתקן לקרקע. BDBD הוא עמוד תמיכה המאונך לצלע ACAC במשולש (ראו סרטוט).

נתון: BD=5BD=5 מטרים, AD=3.5AD=3.5 מטרים.

ADCB
א.

מצאו את אורך הסולם, ABAB.

המגלשה מוקמה בזווית של 40∘40^\circ מן הקרקע.

ב.

מצאו את אורך המגלשה, BCBC.

העירייה החליטה להתקין רשת טיפוס על חזית אחת של המתקן (המשולש ABCABC).

ג(1).

מצאו את אורך הצלע ACAC.

ג(2).

מצאו כמה מטרים רבועים (מ"ר) של רשת דרושים לכיסוי שטח המשולש ABCABC.

עלות 1 מ"ר (מטר רבוע) של רשת טיפוס היא 38 שקלים. נוסף על כך שילמה העירייה לפועלים שהתקינו את הרשת סכום של 2,600 שקלים בעבור העבודה.

ד.

מהו הסכום הכולל ששילמה העירייה בעבור התקנת הרשת?

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

AB=37.25≈6.10AB=\sqrt{37.25}\approx6.10 מטרים

המשולש ABDABD ישר זווית ב-DD (BD⊥ACBD\perp AC), והסולם ABAB הוא היתר שלו - הצלע שמול הזווית הישרה.

לפי משפט פיתגורס:

AB2=AD2+BD2=3.52+52=12.25+25=37.25AB^2=AD^2+BD^2=3.5^2+5^2=12.25+25=37.25
AB=37.25≈6.10AB=\sqrt{37.25}\approx6.10

אורך הסולם: כ-6.10 מטרים.

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, כאילו ABAB ניצב: 52−3.52≈3.57\sqrt{5^2-3.5^2}\approx3.57 מטרים - קצר מהעמוד BDBD, וזה בלתי אפשרי ליתר.

סעיף ב

תשובה:

BC=5sin⁡40∘≈7.78BC=\frac{5}{\sin40^\circ}\approx7.78 מטרים

במשולש ישר הזווית BDCBDC: הזווית CC היא 40∘40^\circ, BD=5BD=5 הוא הניצב שמול הזווית, ו-BCBC הוא היתר.

היחס שמקשר ניצב מול הזווית ויתר הוא סינוס:

sin⁡40∘=BDBC=5BC⇒BC=5sin⁡40∘≈7.78\sin40^\circ=\frac{BD}{BC}=\frac{5}{BC}\qquad\Rightarrow\qquad BC=\frac{5}{\sin40^\circ}\approx7.78

אורך המגלשה: כ-7.78 מטרים.

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס, כאילו BDBD צמוד לזווית CC: 5cos⁡40∘≈6.53\frac{5}{\cos40^\circ}\approx6.53. BDBD נמצא מול הזווית CC, ולכן משתמשים בסינוס.

סעיף ג(1)

תשובה:

AC≈9.46AC\approx9.46 מטרים

AC=AD+DCAC=AD+DC, ו-AD=3.5AD=3.5 נתון. נמצא את DCDC במשולש BDCBDC:

DCDC הוא הניצב שליד הזווית CC, ו-BDBD הניצב שמולה - היחס הוא טנגנס:

tan⁡40∘=BDDC=5DC⇒DC=5tan⁡40∘≈5.96\tan40^\circ=\frac{BD}{DC}=\frac{5}{DC}\qquad\Rightarrow\qquad DC=\frac5{\tan40^\circ}\approx5.96
AC=AD+DC≈3.5+5.96=9.46AC=AD+DC\approx3.5+5.96=9.46

אורך הצלע ACAC: כ-9.46 מטרים.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק: DC=5⋅tan⁡40∘≈4.20DC=5\cdot\tan40^\circ\approx4.20, ואז AC≈7.70AC\approx7.70. הנעלם DCDC נמצא במכנה של הטנגנס.

סעיף ג(2)

תשובה:

כ-23.6523.65 מ"ר

BDBD הוא הגובה לצלע ACAC (מאונך לה), ולכן:

SABC=AC⋅BD2≈9.46⋅52≈23.65S_{ABC}=\frac{AC\cdot BD}{2}\approx\frac{9.46\cdot5}{2}\approx23.65

דרושים כ-23.65 מ"ר של רשת.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל כ-47.2947.29 מ"ר - זה שטח מלבן שצלעותיו ACAC ו-BDBD.

סעיף ד

תשובה:

כ-3,498.63{,}498.6 שקלים

מחיר הרשת: שטח כפול מחיר למ"ר:

23.647⋅38≈898.623.647\cdot38\approx898.6

ועוד התשלום לפועלים:

898.6+2,600=3,498.6898.6+2{,}600=3{,}498.6

העירייה שילמה כ-3,498.6 שקלים (עם השטח המעוגל 23.65 מתקבל 3,498.7).

טעות נפוצה: לעצור במחיר הרשת ולענות כ-898.6898.6 שקלים, בלי התשלום הקבוע של 2,600 שקלים לפועלים.

שאלה 5 · שלוש אפשרויות תשלום לשיעורי נהיגה: גרף, משוואות והשוואה

יובל, תלמידת כיתה י"ב, מעוניינת ללמוד נהיגה. המורה לנהיגה הציע לה לבחור באחת משלוש אפשרויות תשלום:

אפשרות א': סכום כולל של 7,350 שקלים ללא הגבלת מספר השיעורים.

אפשרות ב': תשלום חד-פעמי בסך 1,280 שקלים, ונוסף עליו תשלום של 160 שקלים לכל שיעור.

אפשרות ג': תשלום של 200 שקלים לכל שיעור.

הישרים I-III בגרף שלפניכם מתארים את הקשר בין התשלום שמקבל המורה ובין מספר השיעורים שהתלמיד לומד.

‫מספר השיעורים (x)‬‫התשלום (y)‬
א.

בנוגע לכל אחד מן הישרים I-III, כתבו איזו אפשרות תשלום הוא מתאר. נמקו.

ב.

שלוש מן המשוואות (1)-(4) שלפניכם מתארות את הישרים I-III המוצגים בגרף. בעבור כל אחד מן הישרים I-III, העתיקו את המשוואה המתארת אותו.

(1) y=1,280+160xy=1{,}280+160x

(2) y=200xy=200x

(3) y=7,350xy=7{,}350x

(4) y=7,350y=7{,}350

כדי לגשת למבחן נהיגה מעשי (טסט), יש ללמוד 28 שיעורים לפחות. יובל חושבת שתצליח לעבור את המבחן לאחר שתלמד 28 שיעורים בלבד.

ג.

באיזו אפשרות תשלום כדאי ליובל לבחור, אם היא רוצה לשלם את הסכום הנמוך ביותר בעבור לימודי הנהיגה? נמקו.

ד.

חשבו כמה שיעורים צריך ללמוד כדי שסכום התשלום לפי אפשרות ב' יהיה שווה בדיוק לסכום התשלום לפי אפשרות ג'.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

I - אפשרות ג'; II - אפשרות ב'; III - אפשרות א'

ישר III אופקי: התשלום לא משתנה כשמספר השיעורים גדל - זה סכום כולל קבוע, אפשרות א'.

ישר I יוצא מראשית הצירים: בלי שיעורים לא משלמים כלום, כלומר אין תשלום חד-פעמי - אפשרות ג'.

ישר II חותך את הציר האנכי מעל הראשית: גם בלי שיעורים יש תשלום (החד-פעמי), ואחר כך התשלום עולה עם כל שיעור - אפשרות ב'.

(בדיקה: ישר I תלול יותר מ-II, ובאמת 200 שקלים לשיעור יותר מ-160.)

טעות נפוצה: להתאים את הישר האופקי III לאפשרות ג' ("תשלום קבוע לכל שיעור"). ישר אופקי פירושו שהתשלום אינו תלוי במספר השיעורים - וזה סכום כולל, אפשרות א'.

סעיף ב

תשובה:

I - (2); II - (1); III - (4)

בכל אפשרות: התשלום = תשלום קבוע + (מחיר לשיעור) ⋅x\cdot x.

ישר I (אפשרות ג'): אין תשלום קבוע, 200 לשיעור: y=200xy=200x - משוואה (2).

ישר II (אפשרות ב'): 1,280 קבוע ועוד 160 לשיעור: y=1,280+160xy=1{,}280+160x - משוואה (1).

ישר III (אפשרות א'): 7,350 בלי קשר למספר השיעורים: y=7,350y=7{,}350 - משוואה (4).

משוואה (3) מתארת תשלום של 7,350 שקלים לכל שיעור - זו לא אף אחת מהאפשרויות.

טעות נפוצה: לבחור לישר III את משוואה (3), y=7,350xy=7{,}350x. במשוואה זו התשלום גדל עם כל שיעור, וגרפה יוצא מהראשית - לא ישר אופקי.

סעיף ג

תשובה:

אפשרות ג' (5,600 שקלים)

מציבים x=28x=28 בכל משוואה:

אפשרות א': 7,3507{,}350 שקלים.

אפשרות ב': 1,280+160⋅28=1,280+4,480=5,7601{,}280+160\cdot28=1{,}280+4{,}480=5{,}760 שקלים.

אפשרות ג': 200⋅28=5,600200\cdot28=5{,}600 שקלים.

הסכום הנמוך ביותר הוא 5,600 שקלים, ולכן כדאי ליובל לבחור באפשרות ג'.

טעות נפוצה: לבחור באפשרות ב' כי המחיר לשיעור בה (160) נמוך יותר, בלי לחשב את הסכום הכולל. ב-28 שיעורים התשלום החד-פעמי עדיין לא "מוחזר".

סעיף ד

תשובה:

32 שיעורים

משווים את שני הביטויים:

1,280+160x=200x1{,}280+160x=200x
1,280=40x⇒x=321{,}280=40x\qquad\Rightarrow\qquad x=32

בדיקה: 200⋅32=6,400200\cdot32=6{,}400, 1,280+160⋅32=6,4001{,}280+160\cdot32=6{,}400. ✓

ב-32 שיעורים התשלום בשתי האפשרויות שווה (6,400 שקלים).

טעות נפוצה: לחלק את התשלום החד-פעמי במחיר שיעור באפשרות ג': 1,280200=6.4\frac{1{,}280}{200}=6.4 שיעורים. צריך לחלק בהפרש בין המחירים לשיעור (200−160=40200-160=40), כי כל שיעור "מחזיר" רק 40 שקלים מהתשלום החד-פעמי.

שאלה 6 · כרטיסים למסיבה: טבלת שכיחויות לפי מחיר וממוצע משוקלל

ביישוב מסוים פורסמה המודעה שלפניכם.

"היכונו... היכונו... מסיבת סיום הקיץ בבריכה!

מחירי כרטיסי הכניסה למסיבה:

בני 3 עד 12: 30 שקלים

בני 12 עד 18: 35 שקלים

בני 18 עד 70: 45 שקלים

לילדים עד גיל 3 ולמבוגרים בני יותר מ-70 הכרטיסים חינם.

כל משתתף חייב להזמין כרטיס!"

לפניכם דיאגרמה המציגה את מספר המשתתפים שהזמינו כרטיסים מראש, לפי גיל המשתתפים.

01020304050601530405510‫עד גיל 3‬3-1212-1818-70‫יותר מ-70‬‫גיל המשתתפים‬‫מספר המשתתפים‬
א.

חשבו את המספר הכולל של המשתתפים שהזמינו כרטיסים מראש.

ב.

כמה משתתפים הזמינו כרטיס חינם?

ג.

העתיקו את הטבלה שלפניכם למחברת הבחינה, והשלימו אותה על פי הדיאגרמה.

מחיר כרטיס הכניסה (בשקלים)0303545
מספר המשתתפים שהזמינו כרטיסים מראש????
ד.

חשבו את המחיר הממוצע של הכרטיסים שהוזמנו מראש.

דנה בת 16 וסבא שלה, בן 74, לא הזמינו כרטיסים מראש. הם הזמינו ביום המסיבה.

ה.

האם לאחר הצטרפותם למסיבה מחיר כרטיס הכניסה הממוצע גדל, קטן או לא השתנה? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

150 משתתפים

קוראים מהדיאגרמה את גובה כל עמודה: 15, 30, 40, 55, 10.

15+30+40+55+10=15015+30+40+55+10=150

טעות נפוצה: לספור רק את מי שמשלם (30+40+55) ולקבל 125. גם מי שמקבל כרטיס חינם הזמין כרטיס ("כל משתתף חייב להזמין כרטיס").

סעיף ב

תשובה:

25 משתתפים

לפי המודעה, הכרטיסים חינם בשתי קבוצות גיל: ילדים עד גיל 3 (15 משתתפים) ומבוגרים בני יותר מ-70 (10 משתתפים).

15+10=2515+10=25

טעות נפוצה: לספור רק את הילדים עד גיל 3 ולענות 15 - שוכחים שגם המבוגרים בני יותר מ-70 מקבלים כרטיס חינם.

סעיף ג

תשובה:

מחיר 0: 25; מחיר 30: 30; מחיר 35: 40; מחיר 45: 55

מעבירים כל קבוצת גיל למחיר שלה לפי המודעה:

מחיר 0: עד גיל 3 ויותר מ-70 - 15+10=2515+10=25 (סעיף ב).

מחיר 30: בני 3 עד 12 - 30.

מחיר 35: בני 12 עד 18 - 40.

מחיר 45: בני 18 עד 70 - 55.

מחיר כרטיס הכניסה (בשקלים)0303545
מספר המשתתפים25304055

בדיקה: 25+30+40+55=15025+30+40+55=150, כמו בסעיף א.

טעות נפוצה: לרשום במחיר 0 רק את 15 הילדים, ואז סכום השכיחויות בטבלה הוא 140 ולא 150.

סעיף ד

תשובה:

4,775150≈31.83\frac{4{,}775}{150}\approx31.83 שקלים

ממוצע מטבלת שכיחויות: סכום (מחיר ×\times מספר משתתפים), חלקי מספר המשתתפים הכולל:

xˉ=0⋅25+30⋅30+35⋅40+45⋅55150=0+900+1,400+2,475150=4,775150≈31.83\bar x=\frac{0\cdot25+30\cdot30+35\cdot40+45\cdot55}{150}=\frac{0+900+1{,}400+2{,}475}{150}=\frac{4{,}775}{150}\approx31.83

המחיר הממוצע: כ-31.83 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי שכיחויות: 0+30+35+454=27.5\frac{0+30+35+45}{4}=27.5. לכל מחיר יש מספר משתתפים אחר, ולכן צריך ממוצע משוקלל.

סעיף ה

תשובה:

קטן (הממוצע החדש כ-31.64 שקלים)

דנה בת 16 משלמת 35 שקלים, וסבא שלה, בן 74, מקבל כרטיס חינם (0 שקלים).

הממוצע של שני המחירים שנוספו: 35+02=17.5\frac{35+0}{2}=17.5, נמוך מהממוצע הקיים (31.83) - ולכן הממוצע קטן.

בחישוב:

xˉחדש=4,775+35+0152=4,810152≈31.64<31.83\bar x_{\text{חדש}}=\frac{4{,}775+35+0}{152}=\frac{4{,}810}{152}\approx31.64<31.83

טעות נפוצה: להסתכל רק על דנה - "35 גדול מ-31.83, לכן הממוצע גדל". צריך להתחשב גם בכרטיס של הסב: גם הוא נכנס למכנה, והמחיר שלו 0.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.