בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2023 מועד א'

הנתון מתייחס לשעה 8:00: אז נפח הבצק לעוגות גדול מנפח הבצק לחלות.

בשעה 8:00 הגרפים מתחילים על הציר האנכי: גרף I מתחיל ב-5,000 וגרף II מתחיל ב-6,170.

הבצק לחלות הוא הקטן מבין השניים בשעה 8:00, ולכן הוא מתואר על ידי גרף I (וגרף II מתאר את הבצק לעוגות).

טעות נפוצה: להסתכל על הצד הימני של הסרטוט, שם גרף I גבוה יותר, להסיק שגרף I הוא הבצק לעוגות ולענות "גרף II" - הנתון על הגודל מתייחס לשעה 8:00, תחילת התהליך.

לפי סעיף א, הבצק לחלות מתואר על ידי גרף I.

בשעה 8:00 (תחילת התהליך) קוראים את נקודת החיתוך של גרף I עם הציר האנכי: 5,000.

נפח הבצק לחלות בשעה 8:00 היה 5,000 סמ"ק.

טעות נפוצה: לקרוא את הערך של גרף II ולענות 6,170 סמ"ק - זה נפח הבצק לעוגות.

גדילה של 20% בכל שעה: מקדם הגדילה הוא $q=1+0.2=1.2$.

מ-8:00 עד 10:00 עברו 2 שעות, ולכן $t=2$.

נפח הבצק לחלות בשעה 10:00 היה 7,200 סמ"ק.

טעות נפוצה: להוסיף פעמיים 20% מהנפח ההתחלתי ($5{,}000\cdot1.4$) ולקבל 7,000 סמ"ק - בגדילה מעריכית כל שעה מוסיפים 20% מהנפח של אותה שעה, לא מהנפח ההתחלתי.

בשעה 10:00 הנפחים של שני סוגי הבצק שווים, ולכן לפי סעיף ג גם נפח הבצק לעוגות בשעה 10:00 היה 7,200 סמ"ק.

הבצק לעוגות התחיל ב-6,170 סמ"ק (גרף II), ועד 10:00 עברו 2 שעות:

$q\approx1.08$, כלומר הנפח גדל בכ-8% בכל שעה.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\frac{7{,}200}{6{,}170}\approx1.167$ ולענות "כ-16.7%" - זו הגדילה בשתי שעות יחד; כדי לקבל את הגדילה בשעה אחת מוציאים שורש.

סופרים את הזמן מתחילת התהליך: מ-8:00 עד 13:00 עברו 5 שעות, $t=5$.

(עם המקדם המעוגל $q=1.08$ מתקבל $6{,}170\cdot1.08^5\approx9{,}066$.)

אפשר גם להתחיל מ-10:00, כשהנפח 7,200, ואז $t=3$: $7{,}200\cdot1.0802^3\approx9{,}076$.

נפח הבצק לעוגות בשעה 13:00 היה כ-9,076 סמ"ק.

טעות נפוצה: לספור $t=3$ (מ-10:00) אבל להציב את הנפח של 8:00: $6{,}170\cdot1.0802^3\approx7{,}778$ סמ"ק - הכמות ההתחלתית וספירת הזמן חייבות להתחיל באותה שעה.

במעטפה 4 פתקים, ולכל אחד מהם אותו סיכוי לצאת.

רק על פתק אחד רשום 2:

טעות נפוצה: להשוות את הפתק הרצוי לשאר הפתקים ("1 מול 3") ולענות $\frac13$ - במכנה נמצאים כל הפתקים, כולל הפתק הרצוי.

הפתק מוחזר לפני ההוצאה השנייה, ולכן שתי ההוצאות בלתי תלויות: בכל אחת מהן ההסתברות לפתק 1 היא $\frac14$.

"בשתי הפעמים" = גם בפעם הראשונה וגם בפעם השנייה, ולכן כופלים:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות, $\frac14+\frac14=\frac12$ - ל"גם וגם" של מאורעות בלתי תלויים כופלים.

רושמים את כל הזוגות הסדורים (פתק ראשון, פתק שני) שסכומם 4:

$(1,3)$, $(3,1)$, $(2,2)$. (הזוג $(0,4)$ אינו אפשרי - אין פתק 4.)

ההסתברות של כל זוג היא $\frac14\cdot\frac14=\frac1{16}$, והזוגות זרים זה לזה, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לספור את $(1,3)$ ו-$(3,1)$ כאפשרות אחת ולקבל $\frac2{16}=\frac18$ - אלה שני מסלולים שונים (1 ואז 3, או 3 ואז 1).

במעטפה נשארו 3 פתקים: 0, 1, 3. בכל הוצאה ההסתברות לכל פתק היא $\frac13$.

הזוגות הסדורים שסכומם 4: $(1,3)$, $(3,1)$. הזוג $(2,2)$ כבר אינו אפשרי.

טעות נפוצה: להמשיך לספור את הזוג $(2,2)$ ולקבל $\frac39=\frac13$ - הפתק 2 הוצא מן המעטפה.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס, ולכן $AK=\frac{6}{2}=3$ ס"מ.

המשולש $ABK$ ישר זווית ב-$K$, והיתר שלו הוא השוק $AB=5$. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים במקום לחסר, $\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx5.83$ - הגובה הוא ניצב, והשוק היא היתר, ולכן הגובה קצר מהשוק.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 24 סמ"ר - זה שטח המלבן שבסיסו 6 וגובהו 4.

הבסיסים הם צלעות מתאימות. היחס מבוקש "בין הגדול לקטן", ולכן הגדול במונה:

טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך, $\frac69=\frac23$ - זה היחס בין הקטן לגדול.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לכפול את השטח ביחס הדמיון עצמו, $12\cdot1.5=18$ סמ"ר - יחס הדמיון הוא יחס האורכים; השטח גדל פי ריבוע היחס.

רוני השתמשה בחצי משטח הבצק: $\frac{546}{2}=273$ סמ"ר.

נסמן ב-$n$ את מספר העוגיות מכל סוג. עוגייה קטנה - 12 סמ"ר, עוגייה גדולה - 27 סמ"ר:

רוני הכינה 7 עוגיות קטנות ו-7 עוגיות גדולות.

טעות נפוצה: לשכוח שהשתמשה רק בחצי מהבצק ולקבל $n=\frac{546}{39}=14$.

במלבן $\angle B=90^\circ$, ולכן המשולש $ABC$ ישר זווית.

ביחס לזווית $\angle CAB=35^\circ$: $BC$ הוא הניצב שמול הזווית, ו-$AB$ הוא הניצב שליד הזווית - משתמשים בטנגנס:

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס, $BC=20\cdot\sin35^\circ\approx11.47$ - סינוס הוא מול חלקי יתר, ו-$AB$ אינו היתר (היתר הוא $AC$).

שטח מלבן = אורך כפול רוחב:

טעות נפוצה: לחלק ב-2 ולקבל כ-140 מ"ר - זה שטח המשולש $ABC$, חצי מהמלבן.

$E$ אמצע $AB$, ולכן $EB=10$ מטרים.

המשולש $EBC$ ישר זווית ב-$B$, והיתר שלו הוא $EC$:

אורך הגדר הוא היקף המשולש $EBC$:

טעות נפוצה: להציב בפיתגורס את $AB=20$ במקום $EB=10$: $\sqrt{20^2+14^2}\approx24.42$, ולקבל היקף של כ-48.42 מטרים.

הזווית $\angle ACE$ אינה במשולש ישר זווית, ולכן מחשבים אותה כהפרש של שתי זוויות.

במשולש $EBC$ (ישר זווית ב-$B$):

$\angle CEB$ היא זווית חיצונית למשולש $AEC$, ולכן היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

(דרך נוספת: $\angle ACB=90^\circ-35^\circ=55^\circ$, $\angle ECB\approx35.53^\circ$, וההפרש $\approx19.47^\circ$.)

טעות נפוצה: לעצור ב-$\angle CEB\approx54.47^\circ$ ולענות אותה - זו הזווית בין השביל $CE$ לצלע $AB$, לא בין שני השבילים.

קוראים מהדיאגרמה את שלוש העמודות של מפעל א': ייצור 20, שיווק 12, הנהלה 8.

טעות נפוצה: לחבר את כל שש העמודות ($20+14+12+10+8+4$) ולענות 68 - זה מספר העובדים בשני המפעלים יחד.

העמודות של מפעל ב': ייצור 14, שיווק 10, הנהלה 4.

טעות נפוצה: לדלג על העמודה הנמוכה של ההנהלה ולענות $14+10=24$.

מספר העובדים במפעלים שונה, ולכן משווים אחוזים (שכיחות יחסית) ולא מספרים.

במפעל א': $\frac{12}{40}=0.3=30\%$. במפעל ב': $\frac{10}{28}\approx0.357=35.7\%$.

אחוז העובדים בשיווק גדול יותר במפעל ב'.

טעות נפוצה: להשוות את מספרי העובדים (12 לעומת 10) ולענות "מפעל א'" - במפעל א' יש יותר עובדים בכלל, ולכן המספר המוחלט אינו מלמד על האחוז.

מעתיקים מהדיאגרמה את העמודות של מפעל ב' (לפי המקרא), לפי שמות המחלקות - סדר המחלקות בטבלה הפוך מהסדר בדיאגרמה:

הנהלה - 4, שיווק - 10, ייצור - 14.

טעות נפוצה: להעתיק את העמודות של מפעל א' ולרשום 8, 12, 20 - הטבלה עוסקת במפעל ב'.

הממוצע של טבלת שכיחויות: סכום (ערך כפול שכיחות) חלקי מספר הנתונים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שלוש המשכורות בלי השכיחויות, $\frac{18{,}000+x+9{,}000}{3}=11{,}500$, ולקבל $x=7{,}500$.

מסדרים את המשכורות מהקטנה לגדולה: 9,000 (14 עובדים), 12,400 (10 עובדים), 18,000 (4 עובדים).

יש 28 נתונים (מספר זוגי), ולכן החציון הוא הממוצע של הנתונים שבמקומות 14 ו-15.

המקומות 1-14: 9,000. המקומות 15-24: 12,400.

טעות נפוצה: לקחת רק את הנתון שבמקום ה-14 ולענות 9,000 - כשמספר הנתונים זוגי יש שני נתונים אמצעיים, ומחשבים את הממוצע שלהם.

על ציר ה-$x$: $y=0$.

מוציאים גורם משותף:

מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0: $x=0$ או $-x+3=0$, כלומר $x=3$.

נקודות החיתוך: $(0,0)$, $(3,0)$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה ב-$x$ ולקבל רק $x=3$, כלומר רק $(3,0)$ - בחלוקה ב-$x$ מאבדים את הפתרון $x=0$.

המקדם של $x^2$ הוא $-1$ (שלילי), ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה: נשארים גרפים 1 ו-2.

לפי סעיף א, הפרבולה חותכת את ציר ה-$x$ ב-$x=0$ וב-$x=3$: עוברת בראשית ובנקודה מימין לה.

גרף 2 סימטרי לציר ה-$y$ ואינו עובר בראשית. לכן הגרף המתאים הוא גרף 1.

טעות נפוצה: לבחור את גרף 2 רק לפי כיוון הפתיחה - גם הוא פתוח כלפי מטה, אבל אינו עובר ב-$(0,0)$ וב-$(3,0)$.

הגובה המקסימלי הוא בקדקוד הפרבולה. שיעור ה-$x$ של הקדקוד נמצא באמצע בין נקודות החיתוך:

(או בנוסחה: $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-3}{2\cdot(-1)}=1.5$.)

מציבים בפונקציה:

הנקודה: $(1.5,\ 2.25)$ - המים מגיעים לגובה של 2.25 מטרים, במרחק אופקי של 1.5 מטרים מנקודת המוצא.

טעות נפוצה: לחשב $-1.5^2$ כ-$+2.25$ ולקבל $f(1.5)=2.25+4.5=6.75$ - הריבוע מחושב לפני הסימן מינוס.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן היא עולה משמאל לקדקוד ($x<1.5$) ויורדת מימינו.

זרם המים קיים רק מעל פני המים - מנקודת המוצא $x=0$ ועד $x=3$.

לכן זרם המים בעלייה בתחום $0<x<1.5$.

טעות נפוצה: לענות $x<1.5$ - ערכי $x$ שליליים אינם חלק ממסלול המים (שם הפרבולה מתחת לפני המים).

לפי סעיף ג, הגובה המקסימלי שזרם המים מגיע אליו הוא 2.25 מטרים.

$2.25<3$: זרם המים אינו מגיע לגובה שבו עפה הציפור, ולכן הציפור לא נרטבה.

טעות נפוצה: לחשב בסעיף ג את $-1.5^2$ כ-$+2.25$, לקבל גובה מקסימלי $2.25+4.5=6.75$ מטרים, ולענות "כן, הציפור נרטבה" ($6.75>3$).