בגרות במתמטיקה 371 - חורף 2024

גידול של $4\%$ בשנה: מקדם הגדילה הוא $q=1+0.04=1.04$.

מ-2000 עד 2006 עברו $t=2006-2000=6$ שנים.

בשנת 2006 ייצרו במפעל א' כ-$354{,}289$ חפיסות שוקולד.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2000, 2001, ..., 2006 ולקבל $t=7$, ואז $280{,}000\cdot1.04^7\approx368{,}461$. בשנת 2000 עוד לא עברה אף שנה של גידול, ולכן $t=6$.

שנת 2000 היא תחילת הגרף. הערך של הגרף בשנה זו הוא $250{,}000$.

בשנת 2000 ייצרו במפעל ב' $250{,}000$ חפיסות שוקולד.

טעות נפוצה: לענות $280{,}000$ - זה מספר החפיסות של מפעל א' בשנת 2000. הגרף מתאר רק את מפעל ב'.

מהשנה 2003 עולים אל הגרף וקוראים את הערך המסומן: $297{,}754$.

בשנת 2003 ייצרו במפעל ב' $297{,}754$ חפיסות שוקולד.

טעות נפוצה: לחשב $250{,}000\cdot1.04^3\approx281{,}216$ באחוז הגדילה של מפעל א'. לכל מפעל אחוז גדילה משלו, ואת הערך של מפעל ב' קוראים מהגרף.

מ-2000 עד 2003 עברו $t=3$ שנים. לפי נוסחת הגדילה $A_t=A_0\cdot q^t$:

מחלקים את שני האגפים ב-$250{,}000$:

מוציאים שורש שלישי (במחשבון):

$q=1.06=1+0.06$, כלומר מספר החפיסות במפעל ב' גדל ב-$6\%$ בכל שנה.

טעות נפוצה: לחשב את הגידול הכולל ($19.1016\%$) ולחלק אותו ב-3, ולקבל $\approx6.37\%$. הגידול מצטבר - בכל שנה האחוז מחושב מכמות שכבר גדלה - ולכן מוציאים שורש ולא מחלקים.

מחשבים את מספר החפיסות במפעל ב' בשנת 2006 ($t=6$, $q=1.06$ מסעיף ג):

במפעל א' (סעיף א) ייצרו בשנת 2006 כ-$354{,}289$ חפיסות.

לכן בשנת 2006 מפעל ב' ייצר יותר חפיסות שוקולד. ההפרש קטן מאוד (כ-341 חפיסות), ולכן אי אפשר להכריע לפי מראה הגרף - חייבים לחשב.

טעות נפוצה: לקבוע שמפעל א' ייצר יותר, כי בשנת 2000 הוא ייצר יותר ($280{,}000>250{,}000$). מפעל ב' גדל מהר יותר ($6\%$ לעומת $4\%$), ועד 2006 הוא עקף את מפעל א'.

מספר העטים השחורים: $18-6-4=8$.

כל העטים זהים בגודלם, ולכן לכל עט אותו סיכוי להיבחר:

טעות נפוצה: לענות $\frac13$ כי יש שלושה צבעים. הצבעים אינם שווי סיכוי - מספר העטים בכל צבע שונה.

לילך מחזירה את העט לפני ההוצאה השנייה, ולכן בכל הוצאה יש בקלמר אותם 18 עטים: שתי ההוצאות הן מאורעות בלתי תלויים.

טעות נפוצה: להתעלם מההחזרה ולחשב $\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}=\frac{5}{51}$. העט הוחזר, ולכן גם בפעם השנייה יש 6 כחולים מתוך 18.

"אותו הצבע" מתקיים בשלושה מסלולים זרים: כחול-כחול, אדום-אדום, שחור-שחור.

כל מסלול הוא מכפלה (ההוצאות בלתי תלויות), ומחברים את שלושת המסלולים:

טעות נפוצה: לשכוח את המסלול שחור-שחור (הצבע שמספר העטים בו לא נתון במפורש) ולקבל $\frac{9}{81}+\frac{4}{81}=\frac{13}{81}$.

עט אחד אדום ועט אחד כחול - בשני סדרים אפשריים: כחול ואחריו אדום, או אדום ואחריו כחול.

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד ולקבל $\frac{2}{27}$. השאלה לא קובעת איזה עט יצא קודם, ולכן יש שני מסלולים בעץ.

מתאימים צלעות לפי הזוויות השוות: $\angle B=\angle E$ ו-$\angle C=\angle F$, ולכן גם $\angle A=\angle D$.

הצלע $BC$ נמצאת מול הזווית $A$, והצלע $EF$ נמצאת מול הזווית $D$, ולכן $BC$ ו-$EF$ צלעות מתאימות.

$EF=8$ מטרים.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכפול ב-$\frac32$, ולקבל $EF=18$ - אבל $DEF$ הוא המפרש הקטן, ולכן הצלע שלו קטנה מ-12.

במשולש $DEF$ הזווית $E$ ישרה, ולכן $DF$ (מול הזווית הישרה) הוא היתר, ו-$DE$, $EF$ הם הניצבים.

לפי משפט פיתגורס:

$DE=6$ מטרים.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים כאילו $DF$ ניצב: $\sqrt{10^2+8^2}\approx12.81$. היתר הוא הצלע הארוכה ביותר, ו-$DF=10$ הוא היתר.

שטח משולש ישר זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים:

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

(אפשר גם: $AB=6\cdot\frac32=9$, ו-$S_{ABC}=\frac{9\cdot12}{2}=54$.)

השטח הכולל: $24+54=78$ מ"ר.

טעות נפוצה: להגדיל את השטח לפי יחס הדמיון עצמו: $24\cdot\frac32=36$, ולקבל שטח כולל של $60$ מ"ר. השטח גדל פי ריבוע היחס.

המחיר המקורי של הבד: $78\cdot380=29{,}640$ שקלים.

הנחה של $20\%$: משלמים $80\%$ מהמחיר המקורי.

יצרן הסירות שילם $23{,}712$ שקלים.

טעות נפוצה: לכפול ב-$0.2$ ולקבל $5{,}928$ שקלים - זה גובה ההנחה, לא הסכום ששולם.

במשולש $ADE$ הזווית $E$ ישרה. ביחס לזווית $A$: $AD$ הוא היתר ו-$DE$ הניצב שמול הזווית - לכן משתמשים בסינוס.

אורך עמוד התמיכה $DE$ הוא כ-$1.44$ מטרים.

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס ולקבל $2\cos46^\circ\approx1.39$ - זה אורך הניצב שליד הזווית, $AE$.

$DE$ ו-$CF$ שניהם מאונכים לבסיס $AB$ ומחברים אותו לבסיס המקביל $DC$, ולכן הם שווים: $DEFC$ מלבן, ו-$CF=DE\approx1.44$.

במשולש $CFB$ הזווית $F$ ישרה, ולכן לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להניח שהטרפז שווה שוקיים ולענות $BC=AD=2$. בטרפז הזה $BF=3$ ארוך בהרבה מ-$AE\approx1.39$, ולכן השוקיים אינן שוות.

במשולש $CFB$ ($\angle F=90^\circ$) ידועים שני הניצבים: $CF$ מול הזווית $B$ ו-$BF$ לידה.

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס כאילו $BF$ הוא היתר: $\sin\angle B=\frac{1.44}{3}$, ולקבל $\approx28.7^\circ$. היתר במשולש הוא $BC$.

הבסיס $AB$ מתחלק לשלושה קטעים: $AB=AE+EF+FB$.

$AE$ - הניצב שליד הזווית במשולש $ADE$: $AE=2\cos46^\circ\approx1.39$.

$EF=DC=2.5$ (צלעות נגדיות במלבן $DEFC$), ו-$FB=3$.

טעות נפוצה: לשכוח את הקטע האמצעי $EF$ ולקבל $AB\approx1.39+3=4.39$.

מספר התורמים הוא סכום השכיחויות (השורה התחתונה בטבלה):

טעות נפוצה: לחבר את גובהי התרומות (השורה העליונה): $5+10+20+50=85$. אלה סכומי כסף, לא מספר אנשים.

כל גובה תרומה מוכפל במספר התורמים שתרמו אותו, ומחלקים במספר התורמים:

גובה התרומה הממוצע הוא $18.4$ שקלים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת גובהי התרומה בלי השכיחויות: $\frac{5+10+20+50}{4}=21.25$.

מעל $18.4$ שקלים נמצאות התרומות של $20$ ושל $50$ שקלים: $53+34=87$ תורמים.

טעות נפוצה: לחשב את אחוז הכסף שהגיע מתרומות אלה במקום את אחוז התורמים: $\frac{20\cdot53+50\cdot34}{3{,}680}=\frac{2{,}760}{3{,}680}=75\%$.

הסכום שאספה כיתה י"א הוא סכום כל התרומות: $18.4\cdot200=3{,}680$ שקלים (המונה בסעיף ב(1)).

טעות נפוצה: לחבר את מספר התורמים של כיתה י"א (סעיף א) לסכום של כיתה י"ב: $200+3{,}600=3{,}800$. מחברים סכומי כסף - את סך התרומות של כיתה י"א, $3{,}680$ שקלים.

סל מזון ליחיד: $18+12+x=30+x$.

סל מזון למשפחה: $12+4+18+x+x=34+2x$.

טעות נפוצה: לספור בקבוק שמן אחד בסל המשפחה ולכתוב $34+x$ - בסל יש שני בקבוקי שמן.

כל הכסף ($7{,}280$ שקלים, סעיף ג) הוצא על הסלים:

מחיר בקבוק שמן הוא $15$ שקלים.

טעות נפוצה: להשתמש בביטוי $34+x$ לסל המשפחה: $4{,}160+128x=7{,}280$, ולקבל $x=24.375$.

בהצעה א' משלמים $0.5$ שקלים על כל קילומטר כבר מהקילומטר הראשון, ולכן המחיר עולה בקצב קבוע מתחילת הגרף - ישר עולה: גרף $1$.

בהצעה ב' המחיר קבוע ($50$ שקלים) עד $80$ ק"מ - קטע אופקי - ורק אחר כך עולה: גרף $2$.

טעות נפוצה: לבחור בגרף $2$ כי בהצעה א' יש "תשלום קבוע" של $50$ שקלים ליום, ולחשוב שהקטע האופקי מתאר אותו. התשלום הקבוע הוא נקודת ההתחלה של שני הגרפים; הקטע האופקי פירושו שהק"מ הראשונים לא עולים כסף.

מרים שילמה $110$ שקלים.

טעות נפוצה: לחשב רק את המחיר לפי ק"מ, $0.5\cdot120=60$, ולשכוח את התשלום הקבוע ליום.

התשלום הקבוע ($50$) הוא המקדם החופשי, והמחיר לק"מ ($0.5$) הוא המקדם של $x$:

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $y=0.5+50x$ - אז כל ק"מ היה עולה $50$ שקלים.

לפי הצעה ב', בנסיעה של $120$ ק"מ משלמים $50$ שקלים על $80$ הק"מ הראשונים, ועוד $120-80=40$ ק"מ נוספים במחיר $p$ לק"מ.

העלות זהה לעלות בהצעה א' ($110$ שקלים, סעיף ב):

התשובה היא II. (בדיקה: $50+40\cdot1.3=102$, $50+40\cdot1.6=114$ - שתיהן לא $110$.)

טעות נפוצה: לשכוח ש-$80$ הק"מ הראשונים כלולים ב-$50$ השקלים ולכתוב $50+120p=110$, ולקבל $p=0.5$ - ערך שלא מופיע בין האפשרויות.

אופק שילם יותר מ-$50$ שקלים, ולכן נסע יותר מ-$80$ ק"מ:

אופק נסע $176$ ק"מ.

טעות נפוצה: לעצור ב-$96$ ק"מ - זה רק מספר הק"מ הנוספים. צריך להוסיף את $80$ הק"מ הכלולים.