בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2023 מועד ב'

העמודה הראשונה היא של שנת 2010. הקו המקווקו שיוצא מראש העמודה מגיע בציר האנכי לערך 320.

הכמויות בדיאגרמה הן במיליוני טונות, ולכן בשנת 2010 הפיקו 320 מיליון טונות נפט.

טעות נפוצה: לענות "320 טונות" ולשכוח שיחידת המידה בציר היא מיליוני טונות - תשובה קטנה פי מיליון.

העמודה של שנת 2013 היא הרביעית. הקו המקווקו שיוצא מראשה מגיע בציר האנכי לערך 370.44.

בשנת 2013 הפיקו 370.44 מיליון טונות נפט.

טעות נפוצה: לקחת את הקו המקווקו העליון, של העמודה הגבוהה ביותר (2014), כאילו הוא של 2013, ולהעריך מהציור כמות של כ-390 מיליון טונות. הקו של 2013 הוא זה שמסומן ב-370.44 ויוצא מהעמודה הרביעית.

הכמות גדלה באחוז קבוע, ולכן זה תהליך מעריכי: $A_t=A_0\cdot q^t$.

מ-2010 עד 2013 עברו $t=2013-2010=3$ שנים. הכמות ההתחלתית $A_0=320$ והכמות אחרי 3 שנים $A_3=370.44$:

מחלקים את שני האגפים ב-320:

מוציאים שורש שלישי במחשבון: $q=\sqrt[3]{1.157625}=1.05$.

מקדם הגדילה הוא $q=1.05=1+0.05$, ולכן הכמות גדלה בכל שנה ב-5%.

טעות נפוצה: לחשב את הגידול הכולל $\frac{370.44-320}{320}\approx15.76\%$ ולחלק אותו ב-3, כאילו הגידול שווה בכל שנה בלי ריבית דריבית, ולקבל $5.25\%$.

שנת 2014 באה שנה אחת אחרי 2013, ולכן כופלים את הכמות של 2013 במקדם הגדילה פעם אחת:

(בדיקה: גם מ-2010, ארבע שנים: $320\cdot1.05^4=388.962$.)

בשנת 2014 הפיקו 388.962 מיליון טונות נפט.

טעות נפוצה: לכפול ב-0.05 במקום ב-1.05 ולקבל $370.44\cdot0.05\approx18.52$ - זו רק התוספת בשנה אחת, לא הכמות.

בשנת 2014 הפיקו בשתי המדינות אותה כמות, ולכן הכמות של המדינה השכנה בשנת 2014 היא הכמות שמצאנו בסעיף ג. זו הכמות ההתחלתית של המדינה השכנה:

$A_0=388.962$.

הכמות קטנה בכל שנה ב-8%, ולכן מקדם הדעיכה הוא $q=1-0.08=0.92$.

מ-2014 עד 2017 עברו $t=3$ שנים:

בשנת 2017 הפיקו במדינה השכנה כ-302.88 מיליון טונות נפט.

טעות נפוצה: לספור ארבע שנים (2014, 2015, 2016, 2017) ולחשב $388.962\cdot0.92^4\approx278.65$.

בשק א' יש $32-14=18$ כדורים כחולים.

כל הכדורים בשק אפשריים באותה מידה, ולכן ההסתברות היא מספר הכדורים הכחולים חלקי מספר כל הכדורים:

טעות נפוצה: להציב את מספר הכדורים האדומים (14) במונה ולקבל $\frac{14}{32}=\frac{7}{16}$ - זו ההסתברות לכדור אדום.

הכדורים מוצאים משני שקים שונים, ולכן הצבע של כדור אחד אינו משפיע על הצבע של הכדור השני - המאורעות בלתי תלויים.

ההסתברות ששניהם יתרחשו היא מכפלת ההסתברויות:

ההסתברות לכדור כחול משק א' היא $\frac{9}{16}$ (סעיף א), וההסתברות לכדור אדום משק ב' היא $\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$:

טעות נפוצה: לקחת משק ב' את ההסתברות לכדור כחול ($\frac{15}{35}$) ולקבל $\frac{9}{16}\cdot\frac{15}{35}=\frac{27}{112}$.

בהוצאה הראשונה יש 6 סגולים מתוך 15 כדורים: $P=\frac{6}{15}$.

הכדור הראשון לא הוחזר. אם הוא היה סגול, נשארו בשק 14 כדורים, ומהם 5 סגולים.

טעות נפוצה: לחשב כאילו הכדור הוחזר, $\frac{6}{15}\cdot\frac{6}{15}=\frac{4}{25}$, ולשכוח שבהוצאה השנייה גם מספר הסגולים וגם מספר הכדורים קטנו ב-1.

בכל משולש שווה צלעות שלוש הזוויות שוות, וסכומן $180^\circ$, ולכן כל זווית היא $\frac{180^\circ}{3}=60^\circ$.

לכן בשני המשולשים יש שתי זוויות של $60^\circ$ (למעשה שלוש), ולפי משפט הדמיון ז.ז. המשולשים דומים.

טעות נפוצה: לכתוב שהמשולשים "חופפים" כי בכל אחד מהם כל הצלעות שוות. המשולשים שונים בגודלם, ולכן הם דומים ולא חופפים - הצלעות של הקטן אינן שוות לצלעות של הגדול.

חוט הכסף של המשולש הגדול עובר לאורך שלוש הצלעות שלו, כלומר אורכו הוא היקף המשולש.

דרושים 18 ס"מ של חוט כסף.

טעות נפוצה: לבלבל בין היקף לשטח ולחשב $6\cdot6=36$.

יחס הדמיון $3:2$ הוא היחס בין צלע של המשולש הגדול לצלע המתאימה במשולש הקטן (הגדול הוא ה-3).

נסמן ב-$x$ את צלע המשולש הקטן:

צלע המשולש הקטן היא 4 ס"מ.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון היחס ולחשב $6\cdot\frac{3}{2}=9$ - צלע גדולה מצלע המשולש הגדול, אף שזה המשולש הקטן.

חוט כסף מקיף גם את המשולש הקטן (את האבן השחורה) וגם את המשולש הגדול.

היקף המשולש הקטן: $3\cdot4=12$ ס"מ (או: יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, $18\cdot\frac{2}{3}=12$).

לתליון אחד דרושים 30 ס"מ של חוט כסף.

טעות נפוצה: להוסיף להיקף הגדול רק צלע אחת של המשולש הקטן ולקבל $18+4=22$. גם האבן השחורה מוקפת בחוט מכל שלושת הצדדים.

במשולש שווה צלעות הגובה לצלע הוא גם תיכון, ולכן הוא מחלק את הצלע לשני חלקים של 2 ס"מ ויוצר שני משולשים ישרי זווית.

באחד מהם היתר הוא צלע המשולש (4), ניצב אחד הוא 2, והניצב השני הוא הגובה $h$. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $h=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\approx4.47$ - גובה ארוך מהצלע, שהיא היתר.

שטח משולש הוא מחצית מכפלת הצלע בגובה אליה:

שטח המשולש הקטן הוא כ-6.93 סמ"ר.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $4\cdot3.46\approx13.86$.

$CE\perp AB$, ולכן המשולש $CEB$ ישר זווית ב-$E$. היתר שלו הוא $BC=32$, ו-$CE$ הוא הניצב שמול הזווית $52^\circ$.

היחס בין הניצב שמול הזווית ליתר הוא סינוס:

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס, $CE=32\cdot\cos52^\circ\approx19.70$ - זה הניצב שליד הזווית, $BE$.

$M$ היא אמצע $CE$, ולכן $EM=\frac{25.22}{2}=12.61$.

המשולש $AEM$ ישר זווית ב-$E$ (כי $CE\perp AB$), והניצבים שלו הם $AE=42$ ו-$EM=12.61$. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לשכוח ש-$M$ היא אמצע $CE$ ולהציב את כל $CE$, $\sqrt{42^2+25.22^2}\approx48.99$ - זה אורך הקטע $AC$.

במשולש ישר הזווית $AEM$: $EM$ הוא הניצב שמול הזווית $MAE$, ו-$AE$ הוא הניצב שלידה.

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\alpha=\frac{42}{12.61}$, ולקבל $\alpha\approx73.29^\circ$ - זו הזווית $AME$.

היקף הטרפז הוא $AB+BC+CD+DA$. ידוע $BC=32$; צריך את שאר הצלעות.

$BE$ במשולש $CEB$ הוא הניצב שליד הזווית $52^\circ$: $BE=32\cdot\cos52^\circ\approx19.70$.

לכן $AB=BE+EA\approx19.70+42=61.70$.

המרובע $AECD$ הוא מלבן (שלוש זוויות ישרות: ב-$A$, ב-$E$, וב-$C$ בין $CE$ ל-$CD\parallel AB$), ולכן הצלעות הנגדיות שוות: $CD=EA=42$ ו-$DA=CE\approx25.22$.

יואב רץ כ-160.92 מטרים.

טעות נפוצה: לקחת $AB=AE=42$ ולשכוח את הקטע $BE$, ולקבל $42+32+42+25.22\approx141.22$.

סכום כל הגזרות בדיאגרמת עיגול הוא 100%. לכן אחוז העטים הוא מה שמשלים את שלוש הגזרות האחרות ל-100%:

טעות נפוצה: להעריך מהציור שגזרת העטים היא רבע עיגול ולענות 25%. את האחוז מחשבים מהשלמה ל-100%, לא מעריכים מהציור.

מספר המוצרים מכל סוג הוא האחוז שלו מתוך 200:

עפרונות: $0.30\cdot200=60$. סרגלים: $0.20\cdot200=40$. מחקים: $0.22\cdot200=44$. עטים: $0.28\cdot200=56$.

בדיקה: $60+40+44+56=200$.

טעות נפוצה: להעתיק את האחוזים כמספרי מוצרים (30, 20, 22, 28). סכומם 100, ולא 200 כפי שנתון.

לכל מחיר יש שכיחות אחרת, ולכן מחשבים ממוצע משוקלל: סכום כל המחירים של כל המוצרים חלקי מספר המוצרים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי שכיחויות, $\frac{3+5+6+12}{4}=6.5$.

מסדרים את 200 המחירים מהקטן לגדול. מספר הנתונים זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של הנתונים במקומות ה-100 וה-101.

שכיחויות מצטברות לפי המחיר: 3 שקלים - מקומות 1-60; 5 שקלים - מקומות 61-100; 6 שקלים - מקומות 101-144; 12 שקלים - מקומות 145-200.

במקום ה-100 המחיר הוא 5, ובמקום ה-101 המחיר הוא 6:

טעות נפוצה: לקחת רק את הנתון במקום ה-100 ולענות 5. כשמספר הנתונים זוגי יש שני נתונים אמצעיים, וכאן הם שונים.

מחיר עט אחרי הנחה של 30%: $12\cdot0.7=8.4$ שקלים.

כל הנתונים שנוספו (8.4) גדולים מהממוצע הקודם (6.58), ולכן הם "מושכים" את הממוצע למעלה - הממוצע גדל.

בדיקה:

טעות נפוצה: לחשב את מחיר העט כ-$12\cdot0.3=3.6$ (גובה ההנחה במקום המחיר אחרי ההנחה), לראות ש-$3.6<6.58$ ולהסיק שהממוצע קטן.

בתחילת 2020 ($x=0$) הקופה של בניין ב' הייתה בגירעון, כלומר הסכום שלילי. לכן הגרף שלה מתחיל מתחת לציר ה-$x$ - זה גרף II.

גם השיפוע מתאים: בקופה של בניין ב' נוסף בכל חודש יותר כסף (960 לעומת 600), וגרף II תלול יותר.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי "בניין ב' צובר יותר כסף בכל חודש, ולכן הגרף שלו גבוה יותר". הגובה בהתחלה נקבע לפי הסכום ההתחלתי, וזה של בניין ב' שלילי.

בביטוי מהצורה $y=b+mx$, המספר $b$ הוא הסכום בתחילת 2020 ($x=0$), ו-$m$ הוא הסכום שנוסף בכל חודש.

בניין א': סכום התחלתי 650 ותוספת של 600 בחודש, $y=650+600x$ - ביטוי 2.

בניין ב': סכום התחלתי $-4{,}750$ ותוספת של 960 בחודש, $y=-4{,}750+960x$ - ביטוי 4.

טעות נפוצה: להחליף בין הסכום ההתחלתי לתוספת החודשית ולבחור בביטוי 1 לבניין א' ובביטוי 3 לבניין ב'. בביטוי 3, למשל, הסכום היה קטן ב-4,750 שקלים בכל חודש.

מציבים $x=5$ בביטוי של בניין ב':

הסכום חיובי (50 שקלים), ולכן כעבור 5 חודשים הקופה כבר לא הייתה בגירעון.

טעות נפוצה: לחשב $4{,}750-4{,}800=-50$ (להפוך את סדר החיסור) ולהסיק שהקופה עדיין בגירעון של 50 שקלים.

הסכומים שווים כשהביטויים שווים:

בדיקה: $650+600\cdot15=9{,}650$ וגם $-4{,}750+960\cdot15=9{,}650$.

בגרף זו נקודת החיתוך של גרף I וגרף II.

טעות נפוצה: להעביר את $-4{,}750$ לאגף השני בלי להחליף סימן: $650-4{,}750=360x$, ולקבל $x\approx-11.39$ - מספר חודשים שלילי.