בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2024 מועד א'

גדילה של $6\%$ בכל שנה: מקדם הגדילה הוא $q=1+0.06=1.06$.

מתחילת 2010 עד תחילת 2015 עברו $t=2015-2010=5$ שנים.

בתחילת 2015 היו בעיר א' כ-$32{,}117$ תושבים.

טעות נפוצה: לחשב גדילה ליניארית - להוסיף בכל שנה $6\%$ מ-$24{,}000$: $24{,}000\cdot(1+5\cdot0.06)=31{,}200$. האחוז מחושב בכל שנה מהכמות של אותה שנה, ולכן צריך לכפול ב-$1.06$ חמש פעמים.

שנת 2008 היא שנתיים לפני 2010. אם בתחילת 2008 היו בעיר $A_0$ תושבים, אז כעבור שנתיים (בתחילת 2010) היו בה $A_0\cdot1.06^2$ תושבים:

בתחילת 2008 היו בעיר א' כ-$21{,}360$ תושבים.

טעות נפוצה: לחשב אחורה כאילו העיר קטנה ב-$6\%$ בכל שנה: $24{,}000\cdot0.94^2\approx21{,}206$. ירידה של $6\%$ אינה מבטלת עלייה של $6\%$ (היא מחושבת מכמות אחרת); צריך לחלק ב-$1.06^2$.

בגרף יוצא קו אנכי מהשנה 2013 עד הגרף, וממנו קו אופקי עד הציר האנכי. על הציר האנכי רשום שם $25{,}195$.

לכן בתחילת 2013 היו בעיר ב' $25{,}195$ תושבים.

טעות נפוצה: לחשב את הערך באחוז הגדילה של עיר א': $20{,}000\cdot1.06^3\approx23{,}820$. אחוז הגדילה של עיר ב' אינו נתון - את הערך קוראים מהגרף.

מהגרף: בתחילת 2010 היו בעיר ב' $20{,}000$ תושבים (נקודת ההתחלה של הגרף), ובתחילת 2013 - $25{,}195$ תושבים. בין שתי השנים עברו $t=3$ שנים:

מקדם $1.08$ פירושו גדילה של $8\%$ בכל שנה. בעיר א' הגדילה היא $6\%$ בשנה, ו-$8\%>6\%$, ולכן בעיר ב' מספר התושבים גדל באחוז גדול יותר.

טעות נפוצה: להשוות את מספרי התושבים במקום את אחוזי הגדילה: בתחילת 2013 היו בעיר א' $24{,}000\cdot1.06^3\approx28{,}584$ תושבים, יותר מ-$25{,}195$, ולהסיק מכך שעיר א' גדלה באחוז גדול יותר. העיר הגדולה יותר אינה בהכרח זו שגדלה באחוז גדול יותר.

בגלגל א' שלוש גזרות שוות, ולכן ההסתברות של כל מספר היא $\frac13$.

המספרים הגדולים מ-1 בגלגל א' הם 2 ו-3 - שתי גזרות מתוך שלוש:

טעות נפוצה: לבלבל בין המאורע למשלים שלו ולענות $\frac13$ - זו ההסתברות שגלגל א' ייעצר על 1, כלומר על מספר שאינו גדול מ-1.

בגלגל א' ההסתברות לעצור על 2 היא $\frac13$.

בגלגל ב' הגזרות אינן שוות: הגזרה של 2 היא רבע עיגול, ולכן ההסתברות לעצור עליה היא $\frac14$.

שני הגלגלים מסתובבים בנפרד, ולכן המאורעות בלתי תלויים, וכופלים:

טעות נפוצה: לחשוב שגם בגלגל ב' לכל מספר הסתברות $\frac13$ ("שלוש גזרות") ולקבל $\frac13\cdot\frac13=\frac19$. בגלגל ב' ההסתברות נקבעת לפי גודל הגזרה.

המספרים שמופיעים בשני הגלגלים הם 1 ו-2 בלבד (3 אינו בגלגל ב', ו-4 אינו בגלגל א'). לכן יש שני מסלולים:

המסלולים זרים, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לבנות טבלת אפשרויות של $3\times3=9$ תאים, למצוא בה שני תאים מתאימים ולענות $\frac29$. התאים בטבלה אינם שווי הסתברות, כי הגזרות בגלגל ב' אינן שוות.

מחפשים זוגות (גלגל א', גלגל ב') שסכומם 5:

$(1,4)$ - אפשרי; $(3,2)$ - אפשרי; $(2,3)$ - לא אפשרי, כי בגלגל ב' אין 3.

טעות נפוצה: לחבר רק את ההסתברויות של גלגל ב' ($\frac14$ ל-4 ו-$\frac14$ ל-2) ולשכוח לכפול בהסתברות של גלגל א', ולקבל $\frac14+\frac14=\frac12$.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $K$ היא אמצע $BC$: $BK=\frac{40}{2}=20$ ס"מ.

במשולש ישר הזווית $ABK$ היתר הוא $AB=52$, ולפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס במקום חציו: $\sqrt{52^2-40^2}\approx33.23$. הניצב במשולש $ABK$ הוא $BK$, חצי הבסיס.

$AK$ הוא הגובה לבסיס $BC$:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $1{,}920$ סמ"ר - זה שטח המלבן שבסיסו 40 וגובהו 48.

יחס הדמיון בין $ABC$ ל-$DEF$ הוא 2, כלומר כל צלע ב-$ABC$ ארוכה פי 2 מהצלע המתאימה ב-$DEF$.

הבסיס $BC$ מתאים לבסיס $EF$:

טעות נפוצה: לכפול ביחס הדמיון במקום לחלק ולקבל $EF=80$ ס"מ - אבל $DEF$ הוא המשולש הקטן.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון: $\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=2^2=4$.

(בדיקה: הגובה של $DEF$ הוא $\frac{48}{2}=24$, ו-$\frac{20\cdot24}{2}=240$.)

טעות נפוצה: לחלק את השטח ביחס הדמיון עצמו ולקבל $\frac{960}{2}=480$ סמ"ר. כשכל הצלעות קטנות פי 2, השטח קטן פי 4.

היקף $ABC$: $52+52+40=144$ ס"מ.

יחס ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון, ולכן היקף $DEF$ הוא $\frac{144}{2}=72$ ס"מ (או: $26+26+20=72$).

יחד: $144+72=216$ ס"מ.

אורך השרשרת: $2$ מטרים $=200$ ס"מ, ו-$216>200$, ולכן השרשרת לא הספיקה.

טעות נפוצה: לחלק גם את ההיקף בריבוע יחס הדמיון, כמו בשטח: $\frac{144}{4}=36$, יחד $180$ ס"מ, ולהסיק שהשרשרת הספיקה. ההיקף הוא אורך, ולכן הוא קטן פי 2 ולא פי 4.

המרחק של נקודה מקטע נמדד לאורך האנך, ולכן המרחק הוא $CD$.

במשולש ישר הזווית $ADC$ (הזווית הישרה ב-$D$): $AC=180$ הוא היתר, ו-$CD$ הוא הניצב שמול הזווית $A$:

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס, $180\cos52^\circ\approx110.82$ - זה הניצב שליד הזווית $A$, כלומר $AD$, ולא $CD$.

במשולש ישר הזווית $BDC$: $CD\approx141.84$ הוא הניצב שמול הזווית $B$, ו-$BD=45$ הוא הניצב שלידה:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\angle CBD=\frac{45}{141.84}$, ולקבל $17.60^\circ$ - זו הזווית $BCD$ שליד המצוף.

המרחק המבוקש הוא $AB=AD+DB$.

במשולש $ADC$, $AD$ הוא הניצב שליד הזווית $A$:

טעות נפוצה: לחשב את $AD$ בסינוס במקום בקוסינוס ($\approx141.84$) ולקבל $AB\approx186.84$ מטרים.

מיכל שחתה מ-$B$ ל-$C$ ובחזרה באותו מסלול, כלומר פעמיים $BC$.

במשולש ישר הזווית $BDC$, $BC$ הוא היתר:

מיכל שחתה כ-$297.62$ מטרים.

טעות נפוצה: לעצור ב-$BC\approx148.81$ מטרים ולשכוח שמיכל גם חזרה לנקודה $B$.

סכום האחוזים בדיאגרמת עיגול הוא $100\%$. לאופנועי הים ולגלשני הסאפ יחד נשארו:

נסמן ב-$x$ את אחוז אופנועי הים. גלשני הסאפ פי 2: $2x$.

אופנועי הים הם $20\%$ (וגלשני הסאפ $40\%$).

טעות נפוצה: לחלק את $60\%$ שווה בשווה בין שני הסוגים ולענות $30\%$ - אבל אז מספר גלשני הסאפ היה שווה למספר אופנועי הים, ולא פי 2.

מספר כלי השיט מכל סוג הוא האחוז שלו מתוך $40$:

סירות מנוע: $0.25\cdot40=10$; אופנועי ים: $0.20\cdot40=8$; סירות משוט: $0.15\cdot40=6$; גלשני סאפ: $0.40\cdot40=16$.

בדיקה: $10+8+6+16=40$.

טעות נפוצה: לרשום את האחוזים עצמם כמספרי כלי השיט ($25$, $20$, $15$, $40$) - סכומם $100$, ולא $40$ כלי השיט שיש לחברה.

כל מחיר נספר כמספר כלי השיט שיש במחיר הזה (ממוצע משוקלל):

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי להתחשב במספר כלי השיט: $\frac{400+280+150+120}{4}=237.5$ שקלים.

מחיר ההשכרה של אופנוע ים ($280$ שקלים) גבוה מהממוצע הקיים ($226.5$ שקלים). הוספת נתונים הגבוהים מהממוצע מגדילה אותו.

בחישוב:

טעות נפוצה: לענות "לא השתנה" כי מחיר ההשכרה של אופנוע ים לא השתנה. המחירים לא השתנו, אבל נוספו 4 נתונים, וכולם גבוהים מהממוצע.

הקבוצה שכרה $x$ סירות מנוע ו-$10-x$ סירות משוט. סכום התשלום הוא הממוצע כפול מספר כלי השיט: $350\cdot10=3{,}500$ שקלים.

הקבוצה שכרה 8 סירות מנוע (ו-2 סירות משוט). בדיקה: $\frac{8\cdot400+2\cdot150}{10}=350$.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ($150x+400(10-x)=3{,}500$) ולקבל $x=2$ - זה מספר סירות המשוט.

המחיר של הטיסה הוא המחיר כשמספר הימים הוא 0, כלומר נקודת החיתוך של הגרף עם ציר $y$.

בחבילה א' הטיסה זולה יותר ($946<1{,}450$), ולכן הגרף שלה חותך את ציר $y$ נמוך יותר - גרף I.

גם השיפוע מתאים: המחיר ליום בחבילה א' גדול יותר ($317>293$), וגרף I תלול יותר (ולכן הוא עוקף את גרף II).

טעות נפוצה: לבחור בגרף II כי הוא "למעלה" בתחילת הציר, ולחשוב שהגרף הגבוה שייך לחבילה שהמחיר שלה ליום גבוה יותר. הגובה בתחילת הציר נקבע לפי מחיר הטיסה.

טיסה פעם אחת, ועוד $317$ שקלים לכל אחד מ-9 הימים:

טעות נפוצה: לכפול גם את מחיר הטיסה במספר הימים: $(946+317)\cdot9=11{,}367$ שקלים. משלמים על הטיסה פעם אחת.

המחיר = מחיר הטיסה (קבוע) + המחיר ליום כפול מספר הימים:

חבילה א': $y=946+317x$

חבילה ב': $y=1{,}450+293x$

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $y=317+946x$ - כאילו מחיר הטיסה משולם בעבור כל יום.

מציבים את הסכום ששילם בביטוי של חבילה ב':

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום במחיר ליום בלי להפחית את הטיסה: $\frac{6{,}431}{293}\approx21.95$, כלומר כ-22 ימים.

משווים את שני הביטויים:

בנופש של 21 ימים המחיר בשתי החבילות הוא $7{,}603$ שקלים (זו נקודת החיתוך של שני הגרפים).

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן, $317x+293x=504$, ולקבל $x\approx0.83$ - לא מספר שלם של ימים.