בגרות במתמטיקה 371 - חורף 2025

כל עמודה מראה כמה עובדים טסו מספר מסוים של פעמים. מספר העובדים הוא סכום גובהי העמודות:

בחברה 40 עובדים.

טעות נפוצה: לחבר את הערכים שעל הציר האופקי, $2+3+4+5+6=20$, ולענות 20 עובדים - אלה מספרי הטיסות, לא מספרי העובדים.

זה ממוצע משוקלל: כל מספר טיסות נספר כמספר העובדים שטסו אותו.

סכום כל הטיסות של כל העובדים:

מחלקים במספר העובדים (סעיף א(1)):

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הערכים בלי השכיחויות, $\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$ - כך כל עמודה נספרת פעם אחת, ולא לפי מספר העובדים בה.

יש 40 נתונים (מספר זוגי), ולכן החציון הוא ממוצע שני הנתונים האמצעיים: הנתון ה-20 והנתון ה-21 (בסידור מהקטן לגדול).

סופרים שכיחויות מצטברות: עד 2 טיסות - 5 עובדים; עד 3 - $5+8=13$; עד 4 - $13+7=20$; עד 5 - $20+16=36$.

הנתון ה-20 הוא האחרון בעמודה של 4 טיסות, והנתון ה-21 הוא הראשון בעמודה של 5 טיסות.

טעות נפוצה: לסדר את גובהי העמודות $4,5,7,8,16$ ולקחת את האמצעי, 7 - החציון הוא ערך של מספר טיסות, לא שכיחות.

"4 פעמים או יותר" כולל את העמודות של 4, 5 ו-6 טיסות:

האחוז מתוך כל 40 העובדים:

טעות נפוצה: לא לכלול את מי שטס בדיוק 4 פעמים ולקבל $\frac{16+4}{40}=50\%$ - "4 או יותר" כולל את 4.

ממוצע מספר הטיסות בחברה האחרת הוא סכום הטיסות חלקי מספר העובדים בה, $6+11+3=20$:

הממוצע זהה לממוצע בחברה הראשונה (סעיף א(2)):

בדיקה: $\frac{12+44+27}{20}=\frac{83}{20}=4.15$.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שלושת הערכים בלי מספרי העובדים, $\frac{2+4+x}{3}=4.15$, ולקבל $x=6.45$.

"80 נקודות או יותר" מתקיים אם אורית קלעה לאזור של 80 או לאזור של 100.

אלה שני מאורעות זרים (אי אפשר לקלוע לשניהם בקליעה אחת), ולכן מחברים את ההסתברויות:

טעות נפוצה: לקחת רק את האזור של 80 ולענות $\frac16$ - "או יותר" כולל גם את 100.

התוצאה של קליעה אחת אינה משפיעה על התוצאה של הקליעה השנייה - המאורעות בלתי תלויים.

ההסתברות ששניהם יתקיימו היא מכפלת ההסתברויות:

טעות נפוצה: להכפיל ב-2 "בגלל שני סדרים" ולקבל $\frac1{18}$ - כשבשתי הפעמים התוצאה זהה, יש סדר אחד בלבד.

"אותו מספר נקודות" מתקיים בארבעה מסלולים זרים: 40-40, 60-60, 80-80 או 100-100.

שלושת המסלולים הראשונים - כל אחד כמו בסעיף ב:

המסלול 100-100:

מחברים את ארבעת המסלולים:

טעות נפוצה: לשכוח את המסלול 100-100 ולקבל $3\cdot\frac1{36}=\frac1{12}$.

מחפשים את כל הזוגות הסדורים (קליעה ראשונה, קליעה שנייה) שסכומם 160:

$60+100$, $100+60$, $80+80$ (40 דורש 120, שאינו על הלוח).

טעות נפוצה: לספור את הצירוף 60 ו-100 פעם אחת בלבד ולקבל $\frac1{12}+\frac1{36}=\frac19$ - אפשר לקבל 60 ואז 100 או 100 ואז 60.

$ABCD$ מלבן, ולכן כל זוויותיו ישרות: $\angle EDG=\angle BAE=90^\circ$.

נתון: $\angle DEG=\angle ABE$.

בשני המשולשים יש שני זוגות של זוויות שוות, ולכן הם דומים לפי משפט ז.ז.

ההתאמה לפי הזוויות: $D\leftrightarrow A$ (הזווית הישרה), $E\leftrightarrow B$ (הזווית הנתונה), $G\leftrightarrow E$ (הזווית השלישית).

טעות נפוצה: לנמק "שני המשולשים ישרי זווית ולכן דומים" - זוג אחד של זוויות שוות אינו מספיק; צריך גם את הזוויות הנתונות $\angle ABE=\angle DEG$.

לפי ההתאמה מסעיף א ($D\leftrightarrow A$, $E\leftrightarrow B$), הצלע $DE$ במשולש $DEG$ מתאימה לצלע $AB$ במשולש $ABE$ - שתיהן בין הזווית הישרה לזווית הנתונה.

יחס הדמיון בין $DEG$ ל-$ABE$ הוא $4:5$.

טעות נפוצה: לכתוב את היחס הפוך, $\frac{AB}{DE}=\frac54$ - היחס "בין $DEG$ ל-$ABE$" הוא צלע של $DEG$ חלקי הצלע המתאימה ב-$ABE$.

$E$ על הצלע $AD$, ולכן:

לפי ההתאמה $D\leftrightarrow A$, $G\leftrightarrow E$, הצלע $DG$ מתאימה לצלע $AE$:

טעות נפוצה: להציב את כל הצלע $AD=217$ במקום $AE$ ולקבל $DG=\frac45\cdot217=173.6$.

שני המשולשים ישרי זווית, ולכן השטח של כל אחד הוא חצי מכפלת הניצבים.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $14700+9408=24108$ סמ"ר - זה שטח של מלבנים, לא של משולשים.

השטח הלבן הוא שטח הדלת פחות השטח האפור.

טעות נפוצה: להחסיר רק את המשולש הגדול $ABE$ ולקבל $30380-7350=23030$ סמ"ר.

$BE$ מאונך לקרקע, ולכן המשולש $ABE$ ישר זווית ב-$E$, ו-$AB$ הוא היתר.

$BE$ הוא הניצב שמול הזווית $37^\circ$, ולכן משתמשים בסינוס:

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס ולקבל $4\cos37^\circ\approx3.19$ - זה הניצב שליד הזווית, $AE$.

המשולש $BED$ ישר זווית ב-$E$, והיתר שלו הוא הקורה $BD$. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים במקום לחסר, $\sqrt{6.5^2+2.41^2}\approx6.93$ - כשמחפשים ניצב, מחסירים מריבוע היתר.

$E$ נמצאת על $AD$, ולכן $AD=AE+ED$.

את $AE$ מוצאים במשולש $ABE$ - הניצב שליד הזווית $37^\circ$:

טעות נפוצה: להציב $AE=AB=4$ (כאילו הצלע המשופעת שוכבת על הקרקע) ולקבל $AD\approx4+6.04=10.04$.

במשולש $BED$ (ישר זווית ב-$E$): $BE$ הוא הניצב שמול הזווית $BDE$, ו-$BD$ הוא היתר.

$21.7^\circ>20^\circ$, ולכן המתקן מתאים לדרישת המהנדס.

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע $AD$ כניצב שליד הזווית, $\tan\angle BDE=\frac{2.41}{9.23}$, לקבל $14.6^\circ$ ולענות שהמתקן אינו מתאים - הניצב שליד הזווית $D$ במשולש $BED$ הוא $ED$, לא $AD$.

המחיר של מכונית האספנות גדל, ולכן הגרף שלה עולה - גרף I. המחיר של המכונית המשפחתית קטן, ולכן הגרף שלה יורד - גרף II.

בתחילת שנת 2010 (תחילת הציר) גרף I נמוך מגרף II.

לכן בתחילת 2010 המחיר של מכונית האספנות היה נמוך מהמחיר של המכונית המשפחתית - התשובה: לא.

טעות נפוצה: לזהות את גרף II (הגבוה בהתחלה) כמכונית האספנות "כי היא יקרה", ולענות כן - את הגרף מזהים לפי הכיוון: גדילה היא גרף עולה.

מ-2010 עד 2012 עברו $t=2$ שנים. $A_0=40000$, $A_2=42436$:

$q=1.03$ פירושו גדילה של 3% בכל שנה.

טעות נפוצה: לספור את המעבר מ-2010 ל-2012 כיחידת זמן אחת, לקבל $q=1.0609$ ולענות 6.09% - זה השינוי בשנתיים.

מתחילת 2010 עד תחילת 2016 עברו $t=6$ שנים:

טעות נפוצה: לספור 5 שנים ולקבל $40000\cdot1.03^5\approx46371$ שקלים - מ-2010 עד 2016 יש $2016-2010=6$ יחידות זמן.

בתחילת 2016 שני הגרפים נחתכים - המחירים שווים. לכן המחיר של המכונית המשפחתית בתחילת 2016 הוא המחיר שמצאנו בסעיף ב(2), כ-47,762 שקלים.

המחיר קטן ב-15% בכל שנה, ולכן $q=1-0.15=0.85$.

מתחילת 2016 עד תחילת 2017 עברה שנה אחת:

$40598<41000$, ולכן מיכל יכלה לקנות את המכונית המשפחתית.

טעות נפוצה: להמשיך עם המקדם של מכונית האספנות, $47762\cdot1.03\approx49195$, ולענות שמיכל לא יכלה לקנות - למכונית המשפחתית מקדם משלה, $0.85$.

בקנייה באתר משלמים 40 שקלים משלוח גם לפני שמוסיפים פרחים, ולכן הגרף שלה חותך את ציר המחיר מעל ראשית הצירים. בקנייה בחנות, בעבור 0 פרחים משלמים 0, והגרף יוצא מהראשית.

גרף II חותך את הציר האנכי מעל הראשית (והוא גם פחות תלול - 5 שקלים לפרח לעומת 7.5), ולכן הוא מתאר קנייה באתר.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I "כי באתר יש תשלום נוסף ולכן הקו גבוה ותלול יותר" - התשלום הנוסף הקבוע מזיז את נקודת ההתחלה למעלה, והתלילות נקבעת לפי המחיר לפרח.

בחנות כל פרח עולה 7.5 שקלים ואין תשלום קבוע. בעבור $x$ פרחים המחיר הוא $7.5\cdot x=7.5x$ - ביטוי 2.

ביטוי 1 הוא המחיר של פרח אחד בלבד, וביטוי 3 מוסיף משלוח שקיים רק באתר.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי 3, $7.5x+40$ - 40 השקלים הם דמי המשלוח של האתר, ולא חלק מהמחיר בחנות.

מחיר הפרחים: 5 שקלים לכל פרח, כלומר $5x$. נוסף על כך משלוח קבוע של 40 שקלים:

טעות נפוצה: להחליף בין המספרים ולכתוב $40x+5$ - הכופל של $x$ הוא המחיר של כל פרח, והמספר הקבוע הוא התשלום שאינו תלוי במספר הפרחים.

משווים בין שני הביטויים (סעיפים ב ו-ג):

בדיקה: $7.5\cdot16=120$ ו-$5\cdot16+40=120$.

טעות נפוצה: להעביר את $5x$ לאגף השמאלי עם סימן פלוס, $12.5x=40$, ולקבל $x=3.2$.

טעות נפוצה: לשכוח את דמי המשלוח, $5x=210$, ולענות 42 פרחים.

נסמן ב-$n$ את מספר הפרחים שענת קנתה באתר. גם בחנות היא קנתה $n$ פרחים.

בחנות שילמה $7.5n$, ובאתר $5n+40$ (המשלוח משולם פעם אחת, בקנייה באתר):

בדיקה: $7.5\cdot36+5\cdot36+40=270+180+40=490$.

טעות נפוצה: לשכוח את דמי המשלוח, $12.5n=490$, ולקבל $n=39.2$ - מספר שאינו שלם, סימן שמשהו חסר.