בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2025 מועד א'

מספר מכוניות הבנזין קטן בכל שנה באחוז קבוע - זה תהליך דעיכה, ולכן הגרף שלו יורד משמאל לימין.

גרף II יורד (מ-200,000 ב-2016), וגרף I עולה.

לכן גרף II מתאר את מספר מכוניות הבנזין.

טעות נפוצה: לבחור לפי נקודת ההתחלה ("הבנזין קטן, לכן הוא הגרף הנמוך") ולענות גרף I - המילה "קטן" מתארת את מגמת השינוי, לא את הגובה של הגרף.

מהגרף: בתחילת 2016 היו $A_0=200{,}000$ מכוניות בנזין.

קטן ב-10% בכל שנה, ולכן מקדם הדעיכה $q=1-0.1=0.9$.

מתחילת 2016 עד תחילת 2021 עברו $t=2021-2016=5$ שנים.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2016, 2017, ..., 2021 ולקבל $t=6$: $200{,}000\cdot0.9^6\approx106{,}288$ - מתחילת 2016 עד תחילת 2021 עוברות 5 שנים בלבד.

בתחילת 2021 מספר המכוניות החשמליות שווה למספר מכוניות הבנזין, שמצאנו בסעיף ב: 118,098.

לכן עבור המכוניות החשמליות: $A_0=53{,}865$, $A_5=118{,}098$, $t=5$.

מוציאים שורש חמישי במחשבון:

$q=1.17$ פירושו גידול של 17% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחשב את אחוז הגידול הכולל, $\frac{118{,}098-53{,}865}{53{,}865}\approx119.25\%$, ולחלק אותו ב-5 שנים - מקבלים $23.85\%$. בתהליך מעריכי האחוזים לא מתחלקים בין השנים, כי כל שנה האחוז מחושב מכמות אחרת.

מחפשים $t$ שעבורו $53{,}865\cdot1.17^t=86{,}271$.

מנסים חזקות של 1.17:

$1.17^1=1.17$, $1.17^2=1.3689$, $1.17^3\approx1.6016$.

לכן $t=3$: שלוש שנים אחרי תחילת 2016, כלומר בתחילת שנת 2019.

בדיקה: $53{,}865\cdot1.17^3\approx86{,}271$.

טעות נפוצה: לספור את 2016 כשנה הראשונה, ואז את $t=3$ כשנה השלישית - ולענות 2018. $t$ הוא מספר השנים שעברו מתחילת 2016, ולכן $2016+3=2019$.

בכרטיס 9 ריבועים, ולכל אחד אותו סיכוי להיבחר.

ריבועים שמתחתיהם פרס: 2 משקה ועוד 1 פיצה, כלומר 3 ריבועים.

טעות נפוצה: לספור רק את סוג הפרס שמופיע ביותר ריבועים (המשקה) ולענות $\frac29$ - "פרס כלשהו" כולל גם את הפיצה.

לכל אחד כרטיס משלו, ולכן מה שקורה בכרטיס של אסף לא משפיע על הכרטיס של חגי - המאורעות בלתי תלויים.

בכל כרטיס ההסתברות לזכות בפיצה היא $\frac19$ (ריבוע אחד מתוך 9).

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום לכפול: $\frac19+\frac19=\frac29$ - "גם וגם" של מאורעות בלתי תלויים הוא מכפלה.

השאלה לא קובעת מי זוכה במה, ולכן יש שני סדרים:

אסף פיצה וחגי משקה: $\frac19\cdot\frac29=\frac2{81}$.

אסף משקה וחגי פיצה: $\frac29\cdot\frac19=\frac2{81}$.

שני המסלולים זרים, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד ("אסף פיצה, חגי משקה") ולענות $\frac2{81}$.

המאורע המשלים ל"לפחות אחד זוכה" הוא "אף אחד לא זוכה".

לפי סעיף א, ההסתברות שאחד מהם לא יזכה היא $1-\frac13=\frac23$, והכרטיסים בלתי תלויים:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות של שניהם, $\frac13+\frac13=\frac23$ - כך המקרה ששניהם זוכים נספר פעמיים.

הבסיס $BC$ במשולש הגדול מתאים לבסיס $FG$ במשולש הקטן, ויחס הדמיון (גדול לקטן) הוא $3:2$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכפול ב-$\frac23$: $1.2\cdot\frac23=0.8$ - אבל $BC$ שייך לאוהל הגדול, ולכן הוא ארוך מ-$FG$.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס, ולכן $BD=\frac{BC}{2}=\frac{1.8}{2}=0.9$.

המשולש $ABD$ ישר זווית ב-$D$, ו-$AB$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס $BC=1.8$ כניצב: $\sqrt{2.16^2+1.8^2}\approx2.81$ - הניצב במשולש $ABD$ הוא רק חצי הבסיס.

$AC=AB=2.34$ (משולש שווה שוקיים), ולכן:

טעות נפוצה: לחבר רק את הצלעות שחושבו בסעיפים הקודמים, $AB+BC=4.14$, ולשכוח את השוק השנייה $AC$.

הגובה של המשולש הקטן, $EH$, מתאים לגובה $AD$ של המשולש הגדול, ולכן הוא ביחס הדמיון:

דרך אחרת: $S_{ABC}=\frac{1.8\cdot2.16}{2}=1.944$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $S_{EFG}=1.944\cdot\left(\frac23\right)^2=0.864$.

צריך $0.864$ מ"ר בד, ו-$0.864>0.7$, ולכן בד של 0.7 מ"ר לא יספיק.

טעות נפוצה: לחשב את השטח עם חצי הבסיס (כמו במשולש $ABD$ של סעיף ב): $\frac{0.6\cdot1.44}{2}=0.432<0.7$ - ולהסיק שהבד יספיק. זה שטח של חצי פתח בלבד.

$AD\perp BC$, ולכן המשולש $ABD$ ישר זווית ב-$D$. הניצבים הם $AD=40$ ו-$BD=28$, ו-$AB$ הוא היתר (מול הזווית הישרה).

לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$AB$ ניצב (כי הוא "הבסיס") ולחסר: $\sqrt{40^2-28^2}\approx28.57$ - במשולש $ABD$ הזווית הישרה היא ב-$D$, ולכן $AB$ הוא היתר.

במשולש $ABD$ (זווית ישרה ב-$D$): מול הזווית $B$ נמצא הניצב $AD=40$, וליד הזווית - הניצב $BD=28$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\angle ABD=\frac{28}{40}$, ולקבל $35^\circ$ - זו הזווית $\angle BAD$.

עוברים למשולש $ABC$: $AC\perp AB$, ולכן הוא ישר זווית ב-$A$, ו-$BC$ הוא היתר.

הזווית $B$ במשולש $ABC$ היא אותה זווית $\angle ABD$ מסעיף ב ($D$ על $BC$).

$AB$ הוא הניצב שליד הזווית $B$:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $BC=48.83\cdot\cos55^\circ\approx28$ - זה בכלל אורך $BD$ (הניצב שליד $B$ במשולש $ABD$), ויתר לא יכול להיות קצר מהניצב $AB$.

כל ילד קנה כרטיס לפעילות אחת בלבד, ולכן מספר הילדים הוא סכום השורה "מספר הילדים":

טעות נפוצה: לחבר את שורת המחירים, $15+30+55+60=160$ - זה סכום מחירים, לא מספר ילדים.

כל מחיר נספר כמספר הילדים ששילמו אותו - ממוצע משוקלל:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים, $\frac{15+30+55+60}{4}=40$ - בלי להתחשב בכך שלכל מחיר מספר ילדים שונה.

הפעילות השכיחה היא זו שבחרו בה הכי הרבה ילדים: סדנת יצירה, 54 ילדים.

טעות נפוצה: לענות "54" - זו השכיחות של הפעילות. השכיח הוא הערך עצמו, כלומר שם הפעילות.

טעות נפוצה: לענות 54% - 54 הוא מספר הילדים, והאחוז מחושב מתוך 120 ולא מתוך 100.

המחירים החדשים: שחייה $55-10=45$; בישול $60\cdot1.2=72$ (עלייה של 12 שקלים).

השינוי בסכום הכולל ששילמו הילדים:

שחייה: $-10\cdot24=-240$; בישול: $+12\cdot24=+288$.

הסכום הכולל גדל ב-$288-240=48$ שקלים, ומספר הילדים לא השתנה, ולכן הממוצע גדל:

טעות נפוצה: לחשב את מחיר הבישול החדש כ-$60\cdot0.2=12$ (20% מהמחיר במקום תוספת של 20%). אז הסכום הכולל יורד ב-$240+48\cdot24=1392$, הממוצע יוצא $\frac{3258}{120}=27.15$, ומסיקים "קטן". העלאה ב-20% היא כפל ב-1.2.

באפשרות א' אין תשלום קבוע: בעבור 0 כרטיסים משלמים 0 שקלים, ולכן הגרף שלה יוצא מראשית הצירים.

גרף II יוצא מהראשית, וגרף I חותך את הציר האנכי מעליה (התשלום השנתי של 180 שקלים).

בנוסף, המחיר לכרטיס באפשרות א' (40) גדול מזה שבאפשרות ב' (25), ולכן הישר שלה תלול יותר - גם זה מתאים לגרף II.

טעות נפוצה: לחשוב שהגרף שמתחיל גבוה שייך לאפשרות "היקרה" לכרטיס ולענות גרף I - נקודת ההתחלה על הציר האנכי היא התשלום הקבוע, ובאפשרות א' הוא 0.

אפשרות א': $40\cdot38=1520$ שקלים.

אפשרות ב': $180+25\cdot38=180+950=1130$ שקלים.

$1130<1520$, ולכן אפשרות ב' משתלמת יותר לאפרת.

טעות נפוצה: לחבר את התשלום השנתי לכל כרטיס, $(180+25)\cdot38=7790$, ולבחור באפשרות א' - התשלום של 180 שקלים משולם פעם אחת בשנה.

בודקים כל אפשרות:

אפשרות א': $40x=640$, $x=16$ כרטיסים.

אפשרות ב': $180+25x=640$, $25x=460$, $x=18.4$. אפשר לקנות רק מספר שלם של כרטיסים, ו-19 כרטיסים עולים $180+25\cdot19=655>640$, ולכן 18 כרטיסים.

המספר הגדול ביותר: 18 כרטיסים (לפי אפשרות ב').

טעות נפוצה: לעגל את 18.4 כלפי מעלה ל-19 - אבל 19 כרטיסים עולים 655 שקלים, יותר מהתקציב.

תשלום שנתי קבוע של 180 שקלים, ועוד 25 שקלים לכל אחד מ-$x$ הכרטיסים:

טעות נפוצה: לכפול גם את התשלום השנתי במספר הכרטיסים ולכתוב $(180+25)x=205x$.

מחיר לפי אפשרות א': $40x$. משווים:

בדיקה: $40\cdot12=480$, $180+25\cdot12=480$.

טעות נפוצה: להעביר את $25x$ לאגף השני בלי להחליף סימן: $180=40x+25x$, ולקבל $x=\frac{180}{65}\approx2.77$.