בגרות במתמטיקה 371 - חורף 2026

סכום כל הגזרות בדיאגרמת עיגול הוא $100\%$. השזיף והלימון יחד:

נשארו לאפרסק ולתפוח יחד:

האחוזים של האפרסק ושל התפוח שווים, ולכן כל אחד מהם הוא חצי מ-$40\%$:

עצי אפרסק: $20\%$, עצי תפוח: $20\%$.

טעות נפוצה: לכתוב את ה-$40\%$ שנשארו בכל אחד משני המלבנים - אבל אז סכום הדיאגרמה הוא $12\%+48\%+40\%+40\%=140\%$, יותר מ-$100\%$.

מספר העצים מכל סוג הוא האחוז שלו מתוך 700 העצים:

בדיקה: $84+336+140+140=700$.

טעות נפוצה: להתייחס ל-$20\%$ כאילו הם של האפרסק והתפוח יחד, ולחלק: $700\cdot0.2:2=70$ עצי אפרסק ו-70 עצי תפוח - אבל אז סך כל העצים הוא $84+336+70+70=560$, לא 700. כל אחד מהסוגים הוא $20\%$ מכל המטע.

מעתיקים לשורה "מספר העצים" את מה שמצאנו בסעיף ב, כל מספר מתחת לסוג שלו:

טעות נפוצה: לכתוב בשורה את האחוזים מהדיאגרמה ($12$, $48$, $20$, $20$) במקום את מספרי העצים - אז הממוצע בסעיף ד יחושב מסכום של 100 "עצים" ולא של 700.

מספר העצים מכל סוג שונה, ולכן מחשבים ממוצע משוקלל: משקל הפירות של כל העצים יחד, חלקי מספר העצים.

משקל הפירות של כל העצים (משקל לעץ כפול מספר העצים, לכל סוג):

המשקל הממוצע של הפירות בעץ הוא 91.2 ק"ג.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של ארבעת המשקלים שבטבלה, $\frac{50+90+90+120}{4}=87.5$ - כך כל סוג נספר כאילו יש ממנו אותו מספר עצים, ועצי הלימון (336 עצים) מקבלים משקל זהה לעצי השזיף (84 עצים).

מספר העצים מכל סוג לא השתנה. המשקלים החדשים:

בעצי האפרסק המשקל גדל ב-9 ק"ג לעץ, ובעצי התפוח הוא קטן ב-12 ק"ג לעץ. מספר עצי האפרסק ומספר עצי התפוח שווים (140), ולכן הירידה גדולה מהעלייה:

משקל הפירות של כל העצים קטן ב-420 ק"ג, ומספר העצים לא השתנה - לכן הממוצע קטן:

טעות נפוצה: להסיק ש"עלייה של $10\%$ וירידה של $10\%$ מתקזזות" ולענות שהממוצע לא השתנה - אבל $10\%$ מ-120 ק"ג (12 ק"ג) גדול מ-$10\%$ מ-90 ק"ג (9 ק"ג).

רינת קנתה בסכום כולל של $27+9=36$ שקלים. הסכום בין 30 ל-100 שקלים, ולכן היא מסובבת את הגלגל פעם אחת.

בסיבוב אחד, הדרך היחידה לזכות בדיוק ב-5 שקלים היא שהחץ ייעצר על גזרה של "זכית ב-5 שקלים!". יש 3 גזרות כאלה מתוך 10 גזרות שוות:

טעות נפוצה: לספור שלוש תוצאות אפשריות (10 שקלים, 5 שקלים, לא זכית) ולענות $\frac13\approx0.333$ - התוצאות האלה אינן שוות סיכוי, כי לכל אחת יש מספר שונה של גזרות.

ניר קנה ב-104 שקלים, יותר מ-100 שקלים, ולכן הוא מסובב את הגלגל פעמיים.

בכל סיבוב אפשר לזכות לכל היותר ב-10 שקלים, ולכן 20 שקלים מתקבלים רק אם בשני הסיבובים הוא זוכה ב-10 שקלים.

בכל סיבוב $P(10)=\frac{2}{10}=0.2$, והסיבובים בלתי תלויים זה בזה:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות של שני הסיבובים, $0.2+0.2=0.4$ - כשצריך שגם הסיבוב הראשון וגם השני יצליחו, כופלים.

בשני סיבובים יש שלוש דרכים לזכות בדיוק ב-10 שקלים:

10 שקלים ואז לא זכית: $0.2\cdot0.5=0.1$

לא זכית ואז 10 שקלים: $0.5\cdot0.2=0.1$

5 שקלים ואז שוב 5 שקלים: $0.3\cdot0.3=0.09$

הדרכים זרות זו לזו, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לחשוב רק על זכייה של 10 שקלים בסיבוב אחד ולשכוח את המסלול "5 ועוד 5", ולקבל $0.1+0.1=0.2$.

איתן קנה ב-36 שקלים - בין 30 ל-100 שקלים - ולכן הוא מסובב את הגלגל פעם אחת בלבד.

בסיבוב אחד אפשר לזכות ב-10 שקלים, ב-5 שקלים או לא לזכות. אין גזרה של 15 שקלים, ולכן זה מאורע בלתי אפשרי:

טעות נפוצה: לחשב כאילו איתן מסובב פעמיים ומקבל 10 ו-5 בשני סדרים: $2\cdot0.2\cdot0.3=0.12$ - אבל בסכום של 36 שקלים מסובבים רק פעם אחת.

המשולש $ABC$ שווה שוקיים ($AB=AC$), ו-$AF$ מאונך לבסיס $BC$. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס, ולכן:

המשולש $AFC$ ישר זווית ב-$F$, ו-$AC$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס $BC=50.4$ כניצב: $\sqrt{33.6^2+50.4^2}\approx60.57$ - הניצב במשולש $AFC$ הוא רק חצי מהבסיס.

לפי סדר האותיות $ABC\sim DCE$: הקודקוד $A$ מתאים ל-$D$, $B$ ל-$C$, ו-$C$ ל-$E$. לכן הצלע $AC$ מתאימה לצלע $DE$ (השוק שליד הקצה של הגשר).

טעות נפוצה: לחלק שתי צלעות שאינן מתאימות, למשל את הבסיס $BC$ בשוק $DE$: $\frac{50.4}{30}=1.68$ - יחס הדמיון הוא יחס בין צלעות מתאימות בלבד.

הבסיס $CE$ של המשולש $DCE$ מתאים לבסיס $BC$ של המשולש $ABC$, והמשולש $DCE$ הוא הקטן:

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac75$ במקום ב-$\frac57$ ולקבל $CE=70.56$ ו-$BE=120.96$ - אבל $CE$ שייך למשולש הקטן, ולכן הוא קצר מ-$BC$.

$AB=AC=42$ ו-$DC=DE=30$ (שני המשולשים שווי שוקיים). האורך הכולל של ארבעת המיתרים:

טעות נפוצה: לחבר רק את שלושת המיתרים שאורכם הופיע בשאלה ובסעיפים ($AB$, $AC$, $DE$) ולשכוח ש-$DC=DE$: $(42+42+30)\cdot530=60{,}420$.

המשולש $AED$ ישר זווית ב-$E$ ($AE\perp CD$). $AD=102$ הוא היתר, ו-$AE$ הוא הניצב שמול הזווית $D$:

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס, $102\cdot\cos34^\circ\approx84.56$ - זה הניצב $DE$ שליד הזווית, לא $AE$ שמולה.

קודם מוצאים את $DE$ - הניצב שליד הזווית $D$ במשולש $AED$:

טעות נפוצה: לחסר מ-$CD$ את $AE$ במקום את $DE$: $118-57.04=60.96$ - $AE$ אנכי ואינו חלק מקטע הרצפה.

$ABCE$ הוא מלבן (ארבע זוויות ישרות), ולכן $AB=CE=33.44$. הגובה של הטרפז הוא $AE=57.04$.

(בלי לעגל בדרך מתקבל $4{,}318.8$ - גם כן כ-4,319 סמ"ר.)

טעות נפוצה: להשתמש בצלע המשופעת $AD=102$ כגובה: $\frac{151.44\cdot102}{2}\approx7{,}723$ - הגובה של טרפז הוא המרחק המאונך בין הבסיסים, $AE$.

במשולש $AEC$ (ישר זווית ב-$E$): $AE$ מול הזווית $ACE$, ו-$CE$ לידה:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\alpha=\frac{33.44}{57.04}$, ולקבל $\alpha\approx30.38^\circ$ - זו הזווית $CAE$ שבקודקוד $A$.

עלייה של $5\%$ בכל שנה פירושה כפל ב-$q=1.05$ בכל שנה.

מתחילת 2017 עד תחילת 2023 עברו $t=2023-2017=6$ שנים:

טעות נפוצה: לחשב עלייה של $5\%$ מהמחיר ההתחלתי בכל שנה ($6\cdot5\%=30\%$) ולקבל $600{,}000\cdot1.3=780{,}000$ - כל שנה האחוז מחושב מהמחיר של אותה שנה, שכבר עלה.

בניסוי וטעייה: $1.05^1=1.05$, $1.05^2=1.1025$ - ולכן $t=2$.

שנתיים אחרי תחילת 2017 - בתחילת שנת 2019.

טעות נפוצה: לספור את 2017 כ"שנה הראשונה" ו-2018 כ"שנה השנייה" ולענות 2018 - אבל $t=2$ פירושו שעברו שתי שנים שלמות מתחילת 2017.

מתחילת 2020 עד תחילת 2023 עברו 3 שנים:

$q=0.98=1-0.02$, ולכן המחיר יורד ב-$2\%$ בכל שנה.

טעות נפוצה: לספור 4 שנים (2020, 2021, 2022, 2023) ולחשב $q=\sqrt[4]{0.9412}\approx0.985$, כלומר ירידה של כ-$1.5\%$.

תחילת 2017 היא 3 שנים לפני תחילת 2020. בכל שנה המחיר הוכפל ב-$q$, ולכן כדי לחזור אחורה מחלקים ב-$q^3$:

(אם מציבים $q=0.98$ בדיוק: $\frac{450{,}000}{0.98^3}\approx478{,}117$ - ההפרש נובע מעיגול.)

טעות נפוצה: לכפול ב-$q^3$ במקום לחלק: $450{,}000\cdot0.98^3\approx423{,}536$ - כך מקבלים מחיר נמוך מהמחיר של 2020, אבל המחיר יורד, ולכן ב-2017 הוא היה גבוה יותר.

מחיר הדירה של יותם עולה, ומחיר הדירה של נועה יורד - ולכן צריך סרטוט עם גרף עולה וגרף יורד. סרטוט III נפסל (שני הגרפים עולים).

בתחילת 2017 מחיר הדירה של יותם (600,000 שקלים) גבוה ממחיר הדירה של נועה (כ-478,113 שקלים, סעיף ג(2)). לכן בנקודת ההתחלה הגרף העולה צריך להתחיל מעל הגרף היורד.

בסרטוט I הגרף היורד מתחיל גבוה יותר - נפסל. בסרטוט II הגרף העולה מתחיל גבוה יותר, ומשם הפער רק גדל (מחיר אחד עולה והשני יורד) - זה הסרטוט המתאים.

טעות נפוצה: לבחור בסרטוט I מתוך מחשבה ש"המחיר שיורד היה בהתחלה גבוה" - בלי לבדוק את המחירים של 2017: הדירה של נועה הייתה זולה מהדירה של יותם כבר ב-2017.

באולם א' התשלום הוא $y=70+60x$ ($x$ - מספר השולחנות), ובאולם ב' - $y=130+45x$.

נקודת החיתוך עם הציר האנכי ($x=0$) היא שכר הבסיס: באולם א' 70 שקלים, באולם ב' 130 שקלים. לכן הגרף של אולם א' מתחיל נמוך יותר - זה גרף II.

גם השיפוע מתאים: באולם א' התוספת לשולחן (60) גדולה יותר, ולכן הגרף שלו תלול יותר - וגרף II אכן תלול יותר.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I מתוך מחשבה שבאולם א' משלמים יותר לכל שולחן ולכן הגרף שלו "גבוה יותר" - הגובה בהתחלה נקבע לפי שכר הבסיס, והתשלום לשולחן קובע את התלילות.

בשני האולמות התשלום שווה - 310 שקלים - ולכן הוא לא ירוויח יותר באולם א'. ההיגד לא נכון.

טעות נפוצה: לקבוע שההיגד נכון כי באולם א' משלמים יותר לכל שולחן (60 לעומת 45) - בלי לחשב; ב-4 שולחנות היתרון של אולם א' בתשלום לשולחנות ($4\cdot15=60$) רק משלים את הפער בשכר הבסיס (60 שקלים).

$370>355$, ולכן ההיגד נכון.

טעות נפוצה: להשוות רק את שכר הבסיס (70 לעומת 130) ולקבוע שההיגד לא נכון - מעל 4 שולחנות התוספת לשולחן באולם א' כבר גוברת על הפער בשכר הבסיס.

טעות נפוצה: לכפול את כל התשלום במספר השולחנות, $(70+60)\cdot6=780$ - שכר הבסיס משולם פעם אחת לאירוע, לא לכל שולחן.

נסמן ב-$x$ את מספר השולחנות של נדב:

טעות נפוצה: לחלק את כל התשלום בתשלום לשולחן, $\frac{490}{45}\approx10.9$, ולענות כ-11 שולחנות - בלי להפחית קודם את שכר הבסיס.

נסמן ב-$x$ את מספר האירועים של תומר. נדב עבד ב-$x+5$ אירועים.

תומר מקבל 430 שקלים לאירוע (סעיף ג), ונדב - 490 שקלים לאירוע:

בדיקה: $430\cdot11+490\cdot16=4{,}730+7{,}840=12{,}570$.

טעות נפוצה: להוסיף את ה-5 לתומר במקום לנדב, $430(x+5)+490x=12{,}570$, ולקבל $x\approx11.33$ - מספר אירועים לא שלם הוא סימן שהמשוואה נבנתה הפוך.