בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2025 מועד ב'

מספר הנוסעים שנבדקו בעמדה הממוחשבת גדל באחוז קבוע בכל שנה, ולכן הגרף שלו עולה.

מספר הנוסעים שנבדקו בידי עובדי הביטחון לא השתנה, ולכן הגרף שלו הוא קו אופקי - זה גרף I.

גרף II עולה, ולכן הוא מתאר את העמדה הממוחשבת.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי בתחילת התקופה (2010) הוא גבוה יותר - הגובה בהתחלה לא קובע; קובע מה קורה למספר לאורך השנים, וגרף I קבוע.

בתחילת 2013 שני המספרים שווים (נתון), כלומר הגרפים נחתכים מעל 2013.

גרף I הוא קו אופקי בגובה 300,000, ולכן בנקודת החיתוך גם גרף II נמצא בגובה 300,000.

בתחילת 2013 נבדקו בעמדה הממוחשבת 300,000 נוסעים.

טעות נפוצה: לקרוא את המספר 231,655 שמסומן על גרף II - זה הערך בתחילת 2010, לא ב-2013.

מתחילת 2010 עד תחילת 2013 עברו $t=3$ שנים. הכמות ההתחלתית $A_0=231{,}655$, והכמות אחרי 3 שנים $A_3=300{,}000$ (סעיף ב(1)).

מקדם גדילה $q=1.09$ פירושו גדילה של 9% בכל שנה.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש שלישי ולפרש את $1.295$ כמקדם השנתי - ולענות שהמספר גדל ב-29.5% בכל שנה. 29.5% הוא הגידול הכולל בשלוש השנים.

נוח לצאת מתחילת 2013, שבה המספר ידוע: 300,000. מ-2013 עד 2016 עברו $t=3$ שנים.

(אפשר גם מ-2010: $231{,}655\cdot1.09^6\approx388{,}509$.)

טעות נפוצה: להתחיל מ-300,000 אבל לספור את השנים מ-2010 ($t=6$): $300{,}000\cdot1.09^6\approx503{,}130$ - 300,000 הוא המספר ב-2013, ולכן סופרים את השנים מ-2013.

מספר הנוסעים אצל עובדי הביטחון קבוע: 300,000. לכן מחפשים מתי בעמדה הממוחשבת נבדקו $300{,}000+56{,}430=356{,}430$ נוסעים.

סופרים $t$ מתחילת 2013, שבה בעמדה הממוחשבת היו 300,000:

ניסוי וטעייה: $1.09^1=1.09$, $1.09^2=1.1881$ .

לכן $t=2$: כעבור שנתיים מתחילת 2013, כלומר בתחילת 2015.

טעות נפוצה: לספור מתחילת 2010: $231{,}655\cdot1.09^t=356{,}430$ נותן $1.09^t\approx1.5386$ ו-$t=5$, ולענות "5 שנים" - אבל השאלה שואלת כמה זמן עבר מתחילת 2013, ולכן התשובה היא שנתיים.

מספר השירים בספרדית: $72-38-20=14$.

כל 72 השירים בעלי אותו סיכוי להיבחר, ולכן:

טעות נפוצה: לומר שיש שלוש שפות ולכן ההסתברות היא $\frac13$ - לשפות יש מספר שירים שונה, ולכן הן לא שוות סיכוי.

שקד בוחרת מתוך כל הרשימה (72 שירים), בלי קשר למה שבחרה ענת - הבחירות בלתי תלויות.

ההסתברות של כל אחת לבחור שיר בעברית היא $\frac{38}{72}=\frac{19}{36}$, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב כאילו שקד בוחרת מבין השירים שנשארו, $\frac{38}{72}\cdot\frac{37}{71}=\frac{703}{2{,}556}\approx0.275$ - אבל שקד בוחרת מתוך כל הרשימה, וייתכן שתבחר אותו שיר.

"באותה השפה" הם שלושה מקרים זרים: שתיהן בעברית, שתיהן באנגלית, שתיהן בספרדית. מחברים את ההסתברויות:

טעות נפוצה: לשכוח את המקרה "שתיהן בספרדית" (השפה שלא נתונה במפורש) ולקבל $\frac{1{,}844}{5{,}184}=\frac{461}{1{,}296}\approx0.356$.

ההסתברות לשיר שאינו בעברית: $\frac{72-38}{72}=\frac{34}{72}$.

"בדיוק אחת" היא שני מקרים: ענת בעברית ושקד לא, או ענת לא ושקד בעברית:

טעות נפוצה: לחשב רק את המקרה "ענת בעברית ושקד לא": $\frac{38}{72}\cdot\frac{34}{72}=\frac{323}{1{,}296}\approx0.249$ - לא "בדיוק אחת" כוללת גם את הסדר ההפוך.

כדי להראות שמשולשים דומים מספיק למצוא בהם שני זוגות של זוויות שוות (ז.ז.).

$\sphericalangle A$ היא זווית משותפת לשני המשולשים.

$DE\parallel BC$, ו-$AB$ חותך את שניהם, ולכן $\sphericalangle ADE=\sphericalangle ABC$ (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).

לכן $\triangle ABC\sim\triangle ADE$ לפי ז.ז.

טעות נפוצה: לנמק "שני המשולשים שווי שוקיים" - זה לא מספיק: יש משולשים שווי שוקיים שאינם דומים זה לזה (למשל עם זווית ראש שונה). צריך שני זוגות של זוויות שוות.

$AB$ במשולש הגדול מתאימה ל-$AD$ במשולש הקטן, ויחס הדמיון (גדול לקטן) הוא 2:

טעות נפוצה: לחלק ב-2 ולקבל $AB=2.6$ - קצר מ-$AD$, אף על פי ש-$AD$ הוא רק חלק מ-$AB$.

המשולש שווה שוקיים, ולכן $AC=AB=10.4$:

טעות נפוצה: לחבר רק את הצלעות שידועות במספר, $AB+BC=18.4$, ולשכוח את השוק $AC$.

$DE$ מתאים ל-$BC$, ולכן:

$G$ היא אמצע $DE$, ולכן $DG=\frac{4}{2}=2$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$DE=4$ ולענות $DG=4$ - $DG$ הוא רק חצי מ-$DE$.

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה, ולכן $AG\perp DE$ והמשולש $ADG$ ישר זווית ב-$G$.

לפי משפט פיתגורס במשולש $ADG$ ($AD$ הוא היתר):

טעות נפוצה: לחבר ריבועים במקום לחסר: $AG=\sqrt{5.2^2+2^2}\approx5.57$ ושטח של כ-11.14 מ"ר - $AD$ הוא היתר, ולכן הניצב $AG$ קצר ממנו.

במשולש ישר הזווית $ABC$ (הזווית הישרה ב-$C$): $AC$ הוא הניצב שמול הזווית $68^\circ$, ו-$BC$ הוא הניצב שליד הזווית. היחס בין שני הניצבים הוא טנגנס:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $BC=12\cdot\tan68^\circ\approx29.70$ - אבל הזווית $68^\circ$ גדולה, ולכן הניצב שמולה ($AC$) ארוך מהניצב שלידה ($BC$).

$AB$ הוא היתר, ו-$AC$ הוא הניצב שמול הזווית $68^\circ$:

(בדיקה בפיתגורס: $\sqrt{12^2+4.848^2}\approx12.942$.)

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס, $AB=\frac{12}{\cos68^\circ}\approx32.03$ - קוסינוס הוא היחס של הניצב שליד הזווית ($BC$), לא של $AC$.

$D$ נמצאת על המשך $CB$, ולכן $DC=DB+BC\approx2+4.848=6.848$.

במשולש ישר הזווית $ADC$: $AC=12$ מול הזווית $D$, ו-$DC$ לידה:

טעות נפוצה: להציב את $BD=2$ במקום $DC$: $\tan\sphericalangle ADC=\frac{12}{2}=6$ ולקבל $80.54^\circ$ - הזווית קטנה כשהמנוף מתרחק, לא גדלה.

לפי משפט פיתגורס במשולש $ADC$:

(או $AD=\frac{12}{\sin60.29^\circ}$.)

(עם ערכים לא מעוגלים: $0.8742$.)

טעות נפוצה: להניח שהזרוע התארכה בדיוק במרחק שהמנוף זז, כלומר ב-2 מטרים - הזרוע היא יתר, והיא מתארכת פחות מהתזוזה על הכביש.

ממוצע = סכום הנתונים חלקי מספר הנתונים:

טעות נפוצה: לבלבל בין ממוצע לחציון ולענות 2,700 (המחיר האמצעי בטבלה).

הממוצע של 6 המחירים הוא 2,700, ולכן סכום ששת המחירים הוא $6\cdot2{,}700=16{,}200$.

סכום חמשת המחירים הקודמים הוא $14{,}000$ (סעיף א), ולכן:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שני ממוצעים, $\frac{2{,}800+x}{2}=2{,}700$, ולקבל $x=2{,}600$ - הממוצע הקודם מייצג חמישה מחירים, לא אחד.

מסדרים את ששת המחירים לפי גודל:

מספר הנתונים זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של שני האמצעיים (במקומות 3 ו-4):

טעות נפוצה: להוסיף את 2,200 בסוף הרשימה בלי לסדר מחדש ולקחת את המקומות 3 ו-4: $\frac{2{,}700+3{,}800}{2}=3{,}250$.

סכום הגזרות בדיאגרמת עיגול הוא 100%. לתל אביב ולצפת יחד: $100\%-35\%-20\%=45\%$.

נסמן ב-$x$ את האחוז של צפת; האחוז של תל אביב הוא $2x$:

15% מהחבילות היו לצפת (ו-30% לתל אביב).

טעות נפוצה: לחלק את 45% ב-2 ולקבל 22.5% - "פי 2" פירושו שהחלוקה היא ל-3 חלקים שווים: חלק אחד לצפת ושניים לתל אביב.

מספר החבילות לצפת: 15% מ-80:

מחיר חבילה לצפת לפי הטבלה: 1,300 שקלים.

טעות נפוצה: להשתמש באחוז כאילו הוא מספר החבילות: $15\cdot1{,}300=19{,}500$ - צריך קודם לחשב כמה חבילות הם 15% מ-80.

ההוצאה הקבועה משולמת פעם אחת, וההוצאה הנוספת - 80 שקלים לכל אחד מ-7 הדונמים:

טעות נפוצה: לכפול ב-7 גם את ההוצאה הקבועה: $(1{,}650+80)\cdot7=12{,}110$ - ההוצאה הקבועה לא תלויה במספר הדונמים.

המספר שמוכפל ב-$x$ הוא ההוצאה על כל דונם, והמספר הבודד הוא ההוצאה הקבועה.

באפרסקים: 80 שקלים לכל דונם ($80x$) ועוד 1,650 קבוע - כלומר $1{,}650+80x$, ביטוי I.

בדיקה: עם $x=7$ ביטוי I נותן $2{,}210$, כמו בסעיף א.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי II כי 80 "בא אחרי" 1,650 בכל דונם - בביטוי II כל דונם עולה 1,650 שקלים, וזה הפוך מהנתון.

הוצאה קבועה 1,200, ועוד 130 שקלים לכל אחד מ-$x$ הדונמים:

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $130+1{,}200x$.

משווים את שני הביטויים:

בדיקה: $1{,}650+80\cdot9=2{,}370$ ו-$1{,}200+130\cdot9=2{,}370$.

טעות נפוצה: להעביר את 1,200 לאגף השני בלי להחליף סימן: $1{,}650+1{,}200=50x$, ולקבל $x=57$.

מספר הדונמים שווה בשני המטעים - נסמן אותו ב-$x$. העלות הכוללת היא סכום שני הביטויים:

טעות נפוצה: להניח שהעלות מתחלקת שווה בשווה בין המטעים, $1{,}650+80x=3{,}105$, ולקבל $x\approx18.2$ - העלויות של שני המטעים שוות רק כש-$x=9$.