מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 1 ברמת בגרות

כל אילוץ מתאים למכונה אחת, ולכן קוראים את הטבלה לפי העמודות.

מכונת הריתוך: $3$ שעות לאופני הרים ושעה אחת לאופני עיר, לכל היותר 30 שעות:

מכונת הצביעה: $2$ שעות לאופני הרים ו-4 שעות לאופני עיר, לכל היותר 40 שעות:

ובנוסף $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי השורות ולכתוב אילוץ לכל סוג אופניים: $3x+2y\le30$ ו-$x+4y\le40$. אילוץ מתאר משאב (מכונה), ולכן המקדמים שלו הם עמודה של הטבלה.

$3x+y=30$: נקודות החיתוך עם הצירים $(0,30)$ ו-$(10,0)$.

$2x+4y=40$: נקודות החיתוך עם הצירים $(0,10)$ ו-$(20,0)$.

הראשית מקיימת את שני האילוצים ($0\le30$, $0\le40$), ולכן התחום נמצא בצד של הראשית של כל ישר, ברביע הראשון.

חיתוך שני הישרים: $y=30-3x$, ומציבים:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0)$, $(10,0)$, $(8,6)$, $(0,10)$.

טעות נפוצה: לסרטט את $2x+4y=40$ דרך $(0,20)$ ו-$(10,0)$ (לחלק במקדם הלא נכון). אז הקודקוד שעל ציר ה-$y$ יוצא $(0,20)$ במקום $(0,10)$.

הרווח מ-$x$ אופני הרים הוא $700x$, ומ-$y$ אופני עיר $500y$:

מחפשים את הערך המקסימלי של $P$.

טעות נפוצה: לכתוב $P=500x+700y$. המקדם של $x$ (אופני הרים) הוא הרווח מאופני הרים - 700.

מציבים את קודקודי התחום (סעיף ב) בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי, 8,600 שקלים, מתקבל בקודקוד $(8,6)$: 8 אופני הרים ו-6 אופני עיר.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הקודקודים שעל הצירים (בלי לפתור את מערכת המשוואות של נקודת החיתוך) ולענות 10 אופני הרים בלבד, עם רווח של 7,000 שקלים.

מייצרים אופני עיר בלבד: $x=0$.

מכונת הריתוך: $y\le30$. מכונת הצביעה: $4y\le40$, כלומר $y\le10$.

שני האילוצים מתקיימים רק כש-$y\le10$, ולכן המספר המקסימלי הוא 10 (הקודקוד $(0,10)$).

טעות נפוצה: להסתכל רק על מכונת הריתוך ולענות 30. צביעת 30 אופני עיר דורשת 120 שעות, ומכונת הצביעה פועלת רק 40.

אילוץ לכל מכונה: הזמן הכולל שהיא עובדת על שני הסוגים אינו עולה על הזמן המרבי שלה.

מכונה א':

מכונה ב':

וכמויות אינן שליליות: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לבנות את האילוצים משורות הטבלה במקום מעמודותיה, ולכתוב $8x+2y\le36$ ו-$4x+10y\le45$.

$8x+4y=36$: חותך את הצירים ב-$(4.5,0)$ וב-$(0,9)$.

$2x+10y=45$: חותך את הצירים ב-$(22.5,0)$ וב-$(0,4.5)$.

$(0,0)$ מקיימת את שני האילוצים, ולכן התחום מתחת לשני הישרים, ברביע הראשון.

נקודת החיתוך של הישרים: מהראשונה $y=9-2x$, ומציבים בשנייה:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0)$, $(4.5,0)$, $(2.5,4)$, $(0,4.5)$:

טעות נפוצה: לקחת בכל ציר את נקודת החיתוך הרחוקה, $(22.5,0)$ ו-$(0,9)$, ולקבל תחום גדול מדי.

מחפשים את הערך המקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=8000x+7000y$.

מציבים את הקודקודים בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי, 49,500 שקלים, מתקבל ב-$(2.5,4)$: 2.5 טונות שוקולד מריר ו-4 טונות שוקולד חלב.

טעות נפוצה: לבחור לייצר רק את הסוג הרווחי יותר, $(0,4.5)$, ולקבל רווח של 36,000 בלבד.

מציבים $P=37000$ ו-$y=2$:

ייצרו 3 טונות שוקולד מריר. (בדיקה: $8\cdot3+4\cdot2=32\le36$ ו-$2\cdot3+10\cdot2=26\le45$ - ייצור אפשרי.)

טעות נפוצה: להציב את ה-2 במקום $x$: $14000+8000y=37000$, ולענות 2.875 טונות.

מתחת לממוצע 50%. כדי להגיע ל-93% צריך עוד 43%: $19\%+15\%+9\%=43\%$ - שלוש רצועות מעל הממוצע.

כל רצועה היא חצי סטיית תקן, ולכן 216 נמצא סטיית תקן וחצי מעל הממוצע:

טעות נפוצה: לספור כל רצועה כסטיית תקן שלמה, $216=180+3S$, ולקבל $S=12$.

המרחק בין שנתות הוא חצי סטיית תקן: $\frac{24}{2}=12$ ס"מ.

מהממוצע 180 מוסיפים ומחסירים 12 בכל שנתה:

טעות נפוצה: לקפוץ ב-24 בין שנתות ולכתוב 60, 84, ..., 180, ..., 276, 300 - אז 216 לא נופל על שנתה בכלל.

156 הוא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע, ו-216 הוא סטיית תקן וחצי מעליו. בין השנתות האלה חמש רצועות:

טעות נפוצה: לשכוח את רצועת ה-9% שבין 204 ל-216 ולענות $68\%$.

539 החמניות הן 77% מכל החמניות (סעיף ב):

טעות נפוצה: לכפול, $539\cdot0.77\approx415$ - פחות חמניות מאלה שכבר נמצאות בקבוצה.

$198<200$ - החמנייה לא זוכה, נועה טועה.

אחרי שתגדל עוד 1 ס"מ: $199<200$ - עדיין לא זוכה, גם האח טועה.

אף לא אחד מהם צודק.

טעות נפוצה: להוסיף את ה-1 ס"מ לציון התקן במקום לגובה: $0.75+1=1.75$, שזה יותר מציון התקן של 200 ($\frac{200-180}{24}\approx0.83$) - ולהסיק שהאח צודק. ציון התקן נמדד בסטיות תקן, לא בס"מ.

בנקודת הזריקה $x=0$:

טעות נפוצה: להציב $y=0$ ולפתור $-0.3x^2+1.8x+1.5=0$, ולקבל $x\approx6.74$ - זה המקום שבו הכדור היה נוחת, לא גובה הזריקה.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם: $(-0.3\cdot3)^2+5.4+1.5=7.71$.

$a<0$, ולכן הפרבולה עולה משמאל לקדקוד ($x<3$). המסלול מתחיל ב-$x=0$, ולכן הכדור עלה בתחום $0<x<3$.

טעות נפוצה: לענות $x>3$ - זה התחום שבו פרבולה "עצובה" יורדת.

מציבים $y=3$:

$x_1=5$ או $x_2=1$.

לפי הסרטוט החבר תפס את הכדור בירידה, אחרי השיא ($x>3$), ולכן $x=5$.

טעות נפוצה: לבחור את $x=1$ - שם הכדור עדיין עולה, והמרפסת בסרטוט נמצאת אחרי השיא.

קוראים מהסרטוט את גובה כל עמודה (פאה עליונה בגובה מסוים פירושה עמודה מלאה עד המשטח, גם אם הקוביות התחתונות מוסתרות).

מבט מלפנים (המקסימום בכל עמודה): מבנה 1 - $\max(3,2)=3$, $\max(2,1)=2$, $\max(1,0)=1$; מבנה 2 - $\max(2,3)=3$, $\max(2,2)=2$, $\max(1,1)=1$. שניהם 3, 2, 1.

מבט מימין: השורה הקדמית בצד שמאל של המבט, האחורית בצד ימין.

מבנה 1: קדמית 2, אחורית 3 - המבט 2, 3. מבנה 2: קדמית 3, אחורית 2 - המבט 3, 2.

בתרשים: צד שמאל 3, צד ימין 2 - רק מבנה 2 מתאים.

טעות נפוצה: לשים את השורה האחורית בצד שמאל של המבט מימין. אז מבנה 1 "נראה" 3, 2, ובוחרים במבנה 1.

מבנה 1, מבט מלפנים: 3, 2, 1. מבט מימין: צד שמאל - השורה הקדמית, 2; צד ימין - האחורית, 3.

טעות נפוצה: לסרטט את המבט מימין 3, 2 - זה בדיוק התרשים הנתון, ומבנה 1 אינו מתאים לו.

קוראים את מבנה 1 מהסרטוט, משבצת אחרי משבצת:

השורה הקדמית: בעמודה השמאלית 2 קוביות, באמצעית קובייה אחת, והמשבצת הימנית ריקה.

השורה האחורית: בעמודה השמאלית רואים פאה עליונה בגובה 3, באמצעית בגובה 2, ובימנית קובייה אחת. הקוביות התחתונות בעמודה השמאלית ובעמודה האמצעית מוסתרות מאחורי השורה הקדמית, אבל כל קובייה מונחת על קובייה אחרת או על המשטח, ולכן העמודות מלאות.

טעות נפוצה: לרשום רק את הקוביות שרואים - בשורה האחורית 1, 1, 1 במקום 3, 2, 1 (בעמודה השמאלית רואים רק את הקובייה העליונה, ובאמצעית רק אחת).

מבנה 1: $3+2+1+2+1+0=9$ קוביות. מבנה 2: $2+2+1+3+2+1=11$ קוביות. ההפרש: 2 קוביות.

נפח קובייה: $2^3=8$, ולכן ההפרש בנפח: $2\cdot8=16$.

טעות נפוצה: לחשב לכל קובייה $2^2=4$ ולענות 8.

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\sqrt{12^2-9^2}=\sqrt{63}\approx7.9$ - קצר מהגובה, אף שהקו היוצר הוא היתר.

טעות נפוצה: להציב את הגובה במקום הקו היוצר, $4\cdot\pi\cdot9\cdot12=432\pi$.

גובה הקופסה: $2\cdot12=24$ ס"מ.

טעות נפוצה: להציב את גובה הכובע (12) במקום גובה הקופסה: $r^2=338$, $r\approx18.4$.

$624\pi>540\pi$, ולכן שטח המעטפת של הקופסה גדול.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 בנוסחת המעטפת של גליל ולחשב $\pi\cdot13\cdot24=312\pi<540\pi$ - ולענות שהקופסה קטנה.