מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 2 ברמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035372 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 372 (3 יח"ל), ברמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · מרובע במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, אמצע קטע והיקף

במרובע OABCOABCOABC הקודקוד AAA נמצא על ציר ה-yyy, והקודקוד CCC נמצא על ציר ה-xxx. הקודקוד OOO הוא ראשית הצירים (ראו סרטוט).
נתון כי האלכסון ACACAC מאונך לאלכסון OBOBOB.
משוואת האלכסון ACACAC היא y=−23x+26y=-\frac{2}{3}x+26y=−32​x+26.
OABCE

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-CCC.

ב.

מצאו את משוואת האלכסון OBOBOB.

הנקודה EEE היא נקודת החיתוך של שני האלכסונים.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

הנקודה EEE היא אמצע האלכסון OBOBOB.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ה(1).

הוכיחו כי המשולש OABOABOAB הוא משולש שווה שוקיים.

ה(2).

מצאו את היקף המרובע OABCOABCOABC.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

A(0,26)A(0,26)A(0,26), C(39,0)C(39,0)C(39,0)

AAA על ציר ה-yyy, ולכן x=0x=0x=0:
y=−23⋅0+26=26⇒A(0,26)y=-\frac23\cdot0+26=26\quad\Rightarrow\quad A(0,26)y=−32​⋅0+26=26⇒A(0,26)
CCC על ציר ה-xxx, ולכן y=0y=0y=0:
0=−23x+26⇒23x=26⇒x=26⋅32=39⇒C(39,0)0=-\frac23x+26\quad\Rightarrow\quad\frac23x=26\quad\Rightarrow\quad x=26\cdot\frac32=39\quad\Rightarrow\quad C(39,0)0=−32​x+26⇒32​x=26⇒x=26⋅23​=39⇒C(39,0)
טעות נפוצה: לכפול את 26 ב-23\frac2332​ במקום לחלק בו, ולקבל x≈17.33x\approx17.33x≈17.33.

סעיף ב

תשובה:

y=32xy=\frac32xy=23​x

השיפוע של ACACAC הוא −23-\frac23−32​. OB⊥ACOB\perp ACOB⊥AC, ולכן:
mOB⋅(−23)=−1⇒mOB=32m_{OB}\cdot\left(-\frac23\right)=-1\quad\Rightarrow\quad m_{OB}=\frac32mOB​⋅(−32​)=−1⇒mOB​=23​
OBOBOB עובר בראשית הצירים:
y=32xy=\frac32xy=23​x
טעות נפוצה: להפוך רק את הסימן בלי להפוך את השבר, ולקבל y=23xy=\frac23xy=32​x.

סעיף ג

תשובה:

E(12,18)E(12,18)E(12,18)

משווים את משוואות האלכסונים:
32x=−23x+26⇒32x+23x=26⇒136x=26⇒x=12\frac32x=-\frac23x+26\quad\Rightarrow\quad\frac32x+\frac23x=26\quad\Rightarrow\quad\frac{13}{6}x=26\quad\Rightarrow\quad x=1223​x=−32​x+26⇒23​x+32​x=26⇒613​x=26⇒x=12
מציבים במשוואת OBOBOB: y=32⋅12=18y=\frac32\cdot12=18y=23​⋅12=18.
E(12,18)E(12,18)E(12,18)
טעות נפוצה: להעביר את −23x-\frac23x−32​x אגף בלי להפוך סימן, 32x−23x=26\frac32x-\frac23x=2623​x−32​x=26, כלומר 56x=26\frac56x=2665​x=26, ולקבל x=31.2x=31.2x=31.2.

סעיף ד

תשובה:

B(24,36)B(24,36)B(24,36)

EEE אמצע OBOBOB ו-O(0,0)O(0,0)O(0,0):
12=0+xB2⇒xB=24,18=0+yB2⇒yB=3612=\frac{0+x_B}{2}\quad\Rightarrow\quad x_B=24,\qquad18=\frac{0+y_B}{2}\quad\Rightarrow\quad y_B=3612=20+xB​​⇒xB​=24,18=20+yB​​⇒yB​=36
B(24,36)B(24,36)B(24,36)
טעות נפוצה: לחשב את אמצע הקטע OEOEOE ולקבל (6,9)(6,9)(6,9).

סעיף ה(1)

תשובה:

OA=AB=26OA=AB=26OA=AB=26

OAOAOA על ציר ה-yyy: OA=26OA=26OA=26.
AB=(24−0)2+(36−26)2=576+100=676=26AB=\sqrt{(24-0)^2+(36-26)^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26AB=(24−0)2+(36−26)2​=576+100​=676​=26
OA=AB=26OA=AB=26OA=AB=26, ולכן המשולש OABOABOAB שווה שוקיים.
טעות נפוצה: לחבר את שיעורי ה-yyy, (36+26)2(36+26)^2(36+26)2, לקבל AB=576+3844≈66.5AB=\sqrt{576+3844}\approx66.5AB=576+3844​≈66.5 ולהסיק שאין שוקיים שוות.

סעיף ה(2)

תשובה:

130

OCOCOC על ציר ה-xxx: OC=39OC=39OC=39.
BC=(39−24)2+(0−36)2=225+1296=1521=39BC=\sqrt{(39-24)^2+(0-36)^2}=\sqrt{225+1296}=\sqrt{1521}=39BC=(39−24)2+(0−36)2​=225+1296​=1521​=39
P=OA+AB+BC+CO=26+26+39+39=130P=OA+AB+BC+CO=26+26+39+39=130P=OA+AB+BC+CO=26+26+39+39=130
טעות נפוצה: לשכוח את הצלע OCOCOC שעל ציר ה-xxx ולקבל היקף 91.

שאלה 2 · משולש ישר זווית במערכת צירים: קודקוד מאמצע, ישר מאונך ושטח מרובע

במשולש ישר זווית ABCABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘), הקודקוד BBB נמצא על ציר ה-yyy, והצלע ABABAB חותכת את ציר ה-xxx בנקודה DDD (ראו סרטוט).
נתון כי משוואת הצלע ABABAB היא y=−34x+9y=-\frac34x+9y=−43​x+9.
BCADK

א.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-DDD.

הנקודה DDD היא אמצע הצלע ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד AAA.

נתון כי משוואת הצלע BCBCBC היא y=12x+9y=\frac12x+9y=21​x+9.

ג(1).

מצאו את משוואת הצלע ACACAC.

ג(2).

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

נתון כי K(0,−15)K(0,-15)K(0,−15).

ד(1).

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ד(2).

חשבו את שטח המרובע BCAKBCAKBCAK.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

B(0,9)B(0,9)B(0,9), D(12,0)D(12,0)D(12,0)

BBB על ציר ה-yyy: מציבים x=0x=0x=0 ומקבלים y=9y=9y=9. B(0,9)B(0,9)B(0,9).
DDD על ציר ה-xxx: מציבים y=0y=0y=0:
0=−34x+9⇒34x=9⇒x=9⋅43=120=-\frac34x+9\quad\Rightarrow\quad\frac34x=9\quad\Rightarrow\quad x=9\cdot\frac43=120=−43​x+9⇒43​x=9⇒x=9⋅34​=12
D(12,0)D(12,0)D(12,0).
טעות נפוצה: לכפול ב-34\frac3443​ במקום ב-43\frac4334​ ולקבל x=6.75x=6.75x=6.75. כדי לבודד את xxx מ-34x=9\frac34x=943​x=9 כופלים בהופכי, 43\frac4334​.

סעיף ב

תשובה:

A(24,−9)A(24,-9)A(24,−9)

DDD אמצע ABABAB:
xA+02=12⇒xA=24,yA+92=0⇒yA=−9\frac{x_A+0}{2}=12\quad\Rightarrow\quad x_A=24,\qquad\frac{y_A+9}{2}=0\quad\Rightarrow\quad y_A=-92xA​+0​=12⇒xA​=24,2yA​+9​=0⇒yA​=−9
A(24,−9)A(24,-9)A(24,−9). בדיקה: −34⋅24+9=−9-\frac34\cdot24+9=-9−43​⋅24+9=−9.
טעות נפוצה: לחשב את האמצע של BBB ו-DDD ולקבל (6,4.5)(6,4.5)(6,4.5) - נקודה שנמצאת בין BBB ל-DDD, ולא מעבר ל-DDD.

סעיף ג(1)

תשובה:

y=−2x+39y=-2x+39y=−2x+39

AC⊥BCAC\perp BCAC⊥BC, ולכן:
mAC⋅12=−1⇒mAC=−2m_{AC}\cdot\frac12=-1\quad\Rightarrow\quad m_{AC}=-2mAC​⋅21​=−1⇒mAC​=−2
דרך A(24,−9)A(24,-9)A(24,−9):
y+9=−2(x−24)⇒y=−2x+48−9=−2x+39y+9=-2(x-24)\quad\Rightarrow\quad y=-2x+48-9=-2x+39y+9=−2(x−24)⇒y=−2x+48−9=−2x+39
טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי, m=2m=2m=2, ולקבל y=2x−57y=2x-57y=2x−57 - ישר שאינו מאונך ל-BCBCBC.

סעיף ג(2)

תשובה:

C(12,15)C(12,15)C(12,15)

משווים את משוואות BCBCBC ו-ACACAC:
12x+9=−2x+39⇒12x+2x=39−9⇒2.5x=30⇒x=12\frac12x+9=-2x+39\quad\Rightarrow\quad\frac12x+2x=39-9\quad\Rightarrow\quad 2.5x=30\quad\Rightarrow\quad x=1221​x+9=−2x+39⇒21​x+2x=39−9⇒2.5x=30⇒x=12
y=12⋅12+9=15y=\frac12\cdot12+9=15y=21​⋅12+9=15. C(12,15)C(12,15)C(12,15).
טעות נפוצה: לנקות את השבר בכפל ב-2 רק באגף השמאלי (x+18=−2x+39x+18=-2x+39x+18=−2x+39) ולקבל x=7x=7x=7, כלומר C(7,12.5)C(7,12.5)C(7,12.5) - נקודה שאינה על ACACAC (−2⋅7+39=25≠12.5-2\cdot7+39=25\ne12.5−2⋅7+39=25=12.5).

סעיף ד(1)

תשובה:

180180180

הניצבים הם BCBCBC ו-ACACAC:
BC=(12−0)2+(15−9)2=180,AC=(24−12)2+(−9−15)2=720BC=\sqrt{(12-0)^2+(15-9)^2}=\sqrt{180},\qquad AC=\sqrt{(24-12)^2+(-9-15)^2}=\sqrt{720}BC=(12−0)2+(15−9)2​=180​,AC=(24−12)2+(−9−15)2​=720​
SABC=180⋅7202=1296002=3602=180S_{ABC}=\frac{\sqrt{180}\cdot\sqrt{720}}{2}=\frac{\sqrt{129600}}{2}=\frac{360}{2}=180SABC​=2180​⋅720​​=2129600​​=2360​=180
טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולענות 360 - זה שטח המלבן שצלעותיו BCBCBC ו-ACACAC.

סעיף ד(2)

תשובה:

468468468

האלכסון ABABAB מחלק את המרובע למשולשים ABCABCABC ו-ABKABKABK.
BKBKBK על ציר ה-yyy: BK=9−(−15)=24BK=9-(-15)=24BK=9−(−15)=24. הגובה מ-AAA לציר ה-yyy הוא 24.
SABK=24⋅242=288,SBCAK=180+288=468S_{ABK}=\frac{24\cdot24}{2}=288,\qquad S_{BCAK}=180+288=468SABK​=224⋅24​=288,SBCAK​=180+288=468
טעות נפוצה: לחשב BK=15−9=6BK=15-9=6BK=15−9=6 ולקבל SABK=72S_{ABK}=72SABK​=72 ושטח מרובע 252.

שאלה 3 · התפלגות נורמלית: זמני ריצה במרוץ

בעיר מסוימת נערך מרוץ של 10 ק"מ.
זמני הריצה של המשתתפים (בדקות) מתפלגים נורמלית, וסטיית התקן היא 12 דקות.
נתון כי 2%2\%2% מן המשתתפים סיימו את המרוץ בזמן קצר מ-41 דקות.

א(1).

מצאו את הזמן הממוצע של המשתתפים במרוץ.

א(2).

בסוף השאלה מוצג גרף ההתפלגות הנורמלית. השלימו במלבנים הריקים שבגרף את זמני הריצה.

משתתפים שסיימו את המרוץ בזמן קצר מ-59 דקות קיבלו מדליה.

ב.

מהו אחוז המשתתפים שקיבלו מדליה?

נתון כי 93 משתתפים קיבלו מדליה.

ג.

על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה משתתפים היו במרוץ?

נועה השתתפה במרוץ. ציון התקן של הזמן שלה הוא −1.25-1.25−1.25.

ד.

מהו הזמן של נועה במרוץ?
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%□□□□□□□□□□□

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א(1)

תשובה:

65 דקות

צוברים את האחוזים בגרף משמאל: 0.5+1.5=2%0.5+1.5=2\%0.5+1.5=2%. הצבירה נעצרת שתי סטיות תקן (ארבעה מלבנים) משמאל לממוצע, כלומר 41=xˉ−2S41=\bar x-2S41=xˉ−2S:
xˉ=41+2⋅12=41+24=65\bar x=41+2\cdot12=41+24=65xˉ=41+2⋅12=41+24=65
טעות נפוצה: לחסר במקום להוסיף ולקבל xˉ=41−24=17\bar x=41-24=17xˉ=41−24=17 - אבל 41 נמצא משמאל לממוצע (רק 2%2\%2% מתחתיו), ולכן הממוצע גדול מ-41.

סעיף א(2)

תשובה:

משמאל לימין: 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95

הממוצע 65 במרכז, וכל שנתה היא חצי סטיית תקן: 122=6\frac{12}{2}=6212​=6 דקות.
משמאל לימין: 65−5⋅6=3565-5\cdot6=3565−5⋅6=35, ואז 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95.
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%3541475359657177838995
טעות נפוצה: לקפוץ ב-12 דקות בין שנתות סמוכות ולכתוב 5,17,29,…,1255, 17, 29, \dots, 1255,17,29,…,125 - כל רצועה בגרף היא חצי סטיית תקן.

סעיף ב

תשובה:

31%31\%31%

הזמן 59 הוא 65−665-665−6, כלומר חצי סטיית תקן מתחת לממוצע. מדליה קיבלו מי שזמנם קצר מ-59, כלומר משמאל לשנתה:
0.5+1.5+5+9+15=31%0.5+1.5+5+9+15=31\%0.5+1.5+5+9+15=31%
טעות נפוצה: לסכום את הרצועות שמימין ל-59 ולענות 69%69\%69% - זמן קצר יותר נמצא משמאל בגרף.

סעיף ג

תשובה:

300 משתתפים

93 מקבלי המדליה הם 31%31\%31% מכלל המשתתפים:
0.31⋅n=93 ⇒ n=930.31=3000.31\cdot n=93\ \Rightarrow\ n=\frac{93}{0.31}=3000.31⋅n=93 ⇒ n=0.3193​=300
טעות נפוצה: לחלק באחוז שמימין ל-59: 930.69≈135\frac{93}{0.69}\approx1350.6993​≈135.

סעיף ד

תשובה:

50 דקות

−1.25=x−6512 ⇒ x=65−1.25⋅12=65−15=50-1.25=\frac{x-65}{12}\ \Rightarrow\ x=65-1.25\cdot12=65-15=50−1.25=12x−65​ ⇒ x=65−1.25⋅12=65−15=50
ציון תקן שלילי - הזמן קצר מהממוצע.
טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של ציון התקן ולחשב 65+15=8065+15=8065+15=80.

שאלה 4 · מודל ריבועי: מגלשת מים בפארק

בפארק מים בנו מגלשה על קרקע מישורית.
אחד מן הקטעים של המגלשה הוא בצורת פרבולה.
קטע זה מתחיל בנקודה AAA על ציר ה-yyy ומסתיים בנקודה BBB (ראו סרטוט).
קטע זה מתואר על ידי הפונקציה f(x)=−0.5x2+5x+4f(x)=-0.5x^2+5x+4f(x)=−0.5x2+5x+4.
ציר ה-xxx מתאר את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה AAA.
ציר ה-yyy מתאר את גובה המגלשה (במטרים) מעל הקרקע.
AB

א.

מצאו את גובה נקודת ההתחלה של קטע המגלשה מעל הקרקע (הנקודה AAA).

ב(1).

מצאו את הגובה המקסימלי של קטע מגלשה זה.

ב(2).

מצאו בעבור אילו ערכים של xxx בקטע מגלשה זה המגלשה נמצאת במגמת עלייה.

קטע המגלשה נשען על כמה עמודי תמיכה אנכיים המוצבים על הקרקע.
אחד מעמודי התמיכה מחובר לקטע המגלשה בנקודה BBB.
נתון כי שיעור ה-xxx של הנקודה BBB הוא 9.

ג.

מצאו את הגובה של עמוד תמיכה זה.

לאורך קטע המגלשה מותקנים פנסים.
הפנסים נמצאים בנקודות שבהן גובה קטע המגלשה מעל הקרקע הוא 12 מטרים.

ד.

מצאו את שיעורי ה-xxx של הנקודות שבהן נמצאים הפנסים בקטע מגלשה זה.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

4 מטרים

AAA על ציר ה-yyy, ולכן x=0x=0x=0:
f(0)=−0.5⋅0+5⋅0+4=4f(0)=-0.5\cdot0+5\cdot0+4=4f(0)=−0.5⋅0+5⋅0+4=4
טעות נפוצה: לבלבל בין החיתוך עם ציר ה-yyy לחיתוך עם ציר ה-xxx ולפתור f(x)=0f(x)=0f(x)=0, ומקבלים x=5+33≈10.74x=5+\sqrt{33}\approx10.74x=5+33​≈10.74 (ופתרון שלילי).

סעיף ב(1)

תשובה:

16.5 מטרים

a=−0.5<0a=-0.5<0a=−0.5<0, ולכן הקדקוד הוא מקסימום:
x=−b2a=−52⋅(−0.5)=5x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot(-0.5)}=5x=−2ab​=−2⋅(−0.5)5​=5
f(5)=−0.5⋅25+25+4=−12.5+25+4=16.5f(5)=-0.5\cdot25+25+4=-12.5+25+4=16.5f(5)=−0.5⋅25+25+4=−12.5+25+4=16.5
טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם, (−0.5⋅5)2=6.25(-0.5\cdot5)^2=6.25(−0.5⋅5)2=6.25, ולקבל 6.25+25+4=35.256.25+25+4=35.256.25+25+4=35.25.

סעיף ב(2)

תשובה:

0<x<50<x<50<x<5

הפרבולה עולה משמאל לקדקוד (x=5x=5x=5) ויורדת מימינו, והקטע מתחיל ב-x=0x=0x=0.
לכן מגמת עלייה בתחום 0<x<50<x<50<x<5.
טעות נפוצה: להפוך את הכיוונים ולענות 5<x<95<x<95<x<9.

סעיף ג

תשובה:

8.5 מטרים

f(9)=−0.5⋅81+5⋅9+4=−40.5+45+4=8.5f(9)=-0.5\cdot81+5\cdot9+4=-40.5+45+4=8.5f(9)=−0.5⋅81+5⋅9+4=−40.5+45+4=8.5
טעות נפוצה: לחשב 929^292 כ-181818 ולקבל −9+45+4=40-9+45+4=40−9+45+4=40.

סעיף ד

תשובה:

x=2x=2x=2, x=8x=8x=8

−0.5x2+5x+4=12 ⇒ −0.5x2+5x−8=0 ⇒ x2−10x+16=0-0.5x^2+5x+4=12\ \Rightarrow\ -0.5x^2+5x-8=0\ \Rightarrow\ x^2-10x+16=0−0.5x2+5x+4=12 ⇒ −0.5x2+5x−8=0 ⇒ x2−10x+16=0
x=10±100−642=10±62 ⇒ x=8 או x=2x=\frac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}=\frac{10\pm6}{2}\ \Rightarrow\ x=8\ \text{או}\ x=2x=210±100−64​​=210±6​ ⇒ x=8 או x=2
שניהם בקטע 0≤x≤90\le x\le90≤x≤9.
טעות נפוצה: לקחת רק את הפתרון עם הפלוס ולענות x=8x=8x=8 בלבד.

שאלה 5 · ראייה מרחבית: מבנה קוביות, מבט מימין ומשמאל

בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה הבנוי מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים.
כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.
מלפנים

א.

השלימו בתבניות שלפניכם (תבנית של 3 שורות ו-4 עמודות לכל מבט) את המבט מימין ואת המבט מלפנים של המבנה.

ב.

סרטטו תרשים מספרים של המבנה.

הוסיפו למבנה קובייה אחת כך שהמבט מימין יהיה זהה למבט משמאל.

ג.

סרטטו תרשים מספרים של המבנה לאחר הוספת הקובייה.

הורידו מן המבנה את הקובייה שהוסיפו.
לאחר מכן הורידו מן המבנה כמה קוביות נוספות.
לפניכם תרשים המספרים החדש של המבנה לאחר הורדת כל הקוביות.
3221211212תרשים מספרים

ד(1).

כמה קוביות נוספות הורידו מן המבנה?

ד(2).

איזה מבט השתנה לאחר הורדת הקוביות – המבט מימין, המבט מלפנים, המבט משמאל או המבט מלמעלה?

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

מבט מימין - גובה העמודות משמאל לימין: 2, 2, 2, 3; מבט מלפנים: 3, 2, 2, 1
מבט מימיןמבט מלפנים

מבט מלפנים: הגובה המרבי בכל עמודה של המבנה, משמאל לימין: 3, 2, 2, 1.
מבט מימין: החזית בצד שמאל של התבנית. הגובה המרבי בכל שורה, מהקדמית לאחורית: 2, 2, 2, 3.
טעות נפוצה: לצייר את המבט מימין כשהשורה האחורית משמאל - 3, 2, 2, 2 - זה המבט משמאל.

סעיף ב

תשובה:

השורה האחורית: 3 2 2 1; השורה השנייה: 2 2 1 1; השורה השלישית: 2 1 1 0; השורה הקדמית: 2 1 0 0 (משמאל לימין, כפי שרואים מלפנים)
3221221121121תרשים מספרים

בכל משבצת - מספר הקוביות בערימה (השורה העליונה בתרשים היא האחורית):
השורה האחורית: 3 2 2 1; השורה השנייה: 2 2 1 1; השורה השלישית: 2 1 1 0; השורה הקדמית: 2 1 0 0 (משמאל לימין, כפי שרואים מלפנים). בסך הכול 21 קוביות.
טעות נפוצה: לכתוב את התרשים הפוך, עם השורה הקדמית (2 1 0 0) למעלה - תרשים של מבנה אחר.

סעיף ג

תשובה:

השורה האחורית: 3 2 2 1; השורה השנייה: 2 2 1 1; השורה השלישית: 2 1 1 0; השורה הקדמית: 3 1 0 0 (משמאל לימין, כפי שרואים מלפנים)
3221221121131תרשים מספרים

המבט משמאל הוא תמונת הראי של המבט מימין: 3, 2, 2, 2 לעומת 2, 2, 2, 3. כדי שיהיו זהים, הגבהים המרביים של השורות (מאחור לפנים) צריכים להיות סימטריים.
עכשיו הם 3, 2, 2, 2; בקובייה אחת אפשר רק להעלות את השורה הקדמית מ-2 ל-3, ואז מקבלים 3, 2, 2, 3.
בשורה הקדמית יש רק ערימה אחת בגובה 2 - השמאלית. מוסיפים עליה קובייה:
השורה האחורית: 3 2 2 1; השורה השנייה: 2 2 1 1; השורה השלישית: 2 1 1 0; השורה הקדמית: 3 1 0 0 (משמאל לימין, כפי שרואים מלפנים).
טעות נפוצה: להוסיף את הקובייה על ערימה של קובייה אחת בשורה הקדמית (למשל השנייה משמאל); הגובה המרבי בשורה נשאר 2, והמבטים מימין ומשמאל עדיין שונים.

סעיף ד(1)

תשובה:

4 קוביות

אחרי שהורידו את הקובייה שהוסיפו, המבנה חזר להיות המקורי: 21 קוביות.
בתרשים החדש: 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 17.
21−17=421-17=421−17=4
טעות נפוצה: להשוות למבנה שאחרי ההוספה (22 קוביות) ולענות 5 - הקובייה שהוסיפו אינה אחת מהקוביות הנוספות.

סעיף ד(2)

תשובה:

המבט מלמעלה

מלפנים: 3, 2, 2, 1 - כמו קודם. מימין: 2, 2, 2, 3 - כמו קודם (ולכן גם משמאל).
מלמעלה: שלוש משבצות שהיו תפוסות התרוקנו (בשורה השנייה מאחור - המשבצת הימנית; בשורה השלישית - המשבצת השלישית משמאל; בשורה הקדמית - המשבצת השנייה משמאל), ולכן המבט מלמעלה השתנה.
טעות נפוצה: לענות "המבט מלפנים" כי הורידו קוביות מהשורות הקדמיות - אבל בכל עמודה נשארה ערימה בגובה המרבי הקודם, ולכן המבט מלפנים לא השתנה.

שאלה 6 · ראייה מרחבית: שלושה מבנים, מבט מלמעלה ותרשים מספרים

בסרטוטים שלפניכם מתוארים שלושה מבנים מקוביות זהות. החץ בכל סרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.
‫מבנה 1‬מלפנים
‫מבנה 2‬מלפנים
‫מבנה 3‬מלפנים
לפניכם תרשימים של שני מבטים מלמעלה המתארים את המבנים.
‫תרשים I‬מבט מלמעלה
‫תרשים II‬מבט מלמעלה

א.

קבעו עבור כל אחד מן המבנים איזה תרשים מתאר אותו.

ב.

השלימו בתבנית שלפניכם את תרשים המספרים של מבנה 3.
????????????מבט מלמעלה

ג.

סרטטו מבט מלפנים של מבנה 3.

למבנה 3 הוסיפו את מספר הקוביות המקסימלי שמאפשר גם למבט מלמעלה וגם למבט מלפנים להישאר ללא שינוי.

ד(1).

כמה קוביות הוסיפו למבנה 3?

ד(2).

סרטטו את תרשים המספרים של מבנה 3 לאחר הוספת הקוביות.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

מבנה 1 - תרשים II; מבנה 2 - תרשים I; מבנה 3 - תרשים II

משווים את המשבצות התפוסות בכל שורה:
בשלושת המבנים: בשורה הקדמית - אמצע וימין; בשורה השנייה - שמאל ואמצע; בשורה השלישית - רק שמאל.
בשורה האחורית: במבנים 1 ו-3 יש קוביות בשמאל ובאמצע. במבנה 2 יש רק עמודה שמאלית (בגובה 2), ומימינה רואים את המשטח הריק.
לכן מבנים 1 ו-3 מתאימים לתרשים II, ומבנה 2 מתאים לתרשים I.
טעות נפוצה: לא לשים לב שבמבנה 2 המשבצת האמצעית בשורה האחורית ריקה, ולקבוע ששלושת המבנים מתאימים לתרשים II.

סעיף ב

תשובה:

משמאל לימין - שורה אחורית: 1, 1, 0; שורה שלישית: 1, 0, 0; שורה שנייה: 2, 1, 0; שורה קדמית: 0, 2, 1 (סך הכול 9 קוביות)

רושמים בכל משבצת תפוסה את מספר הקוביות שבעמודה:
בשורה הקדמית העמודה האמצעית גבוהה (2 קוביות) והימנית נמוכה (1). בשורה השנייה העמודה השמאלית בגובה 2 והאמצעית 1. בשורה השלישית ובשורה האחורית - קוביות בודדות.
1112121מבט מלמעלה
טעות נפוצה: להשמיט את הקובייה השמאלית בשורה השלישית, שמוסתרת בחלקה, ולרשום את השורה השלישית ריקה - 8 קוביות במקום 9.

סעיף ג

תשובה:

שלוש עמודות של ריבועים, משמאל לימין בגבהים 2, 2, 1

הגובה המרבי בכל עמודה: שמאל max⁡(1,1,2,0)=2\max(1,1,2,0)=2max(1,1,2,0)=2; אמצע max⁡(1,0,1,2)=2\max(1,0,1,2)=2max(1,0,1,2)=2; ימין max⁡(0,0,0,1)=1\max(0,0,0,1)=1max(0,0,0,1)=1.
מבט מלפנים
טעות נפוצה: לסרטט רק את השורה הקדמית - משמאל לימין 0, 2, 1 - ולהשמיט את העמודה השמאלית, שהקוביות שלה נמצאות מאחור.

סעיף ד(1)

תשובה:

4 קוביות

מוסיפים רק מעל משבצות תפוסות, וכל משבצת עד הגובה של העמודה שלה במבט מלפנים (2, 2, 1).
עמודה שמאלית (גובה 2): המשבצות בשורה האחורית ובשורה השלישית בגובה 1 - מוסיפים 1 לכל אחת: 2 קוביות.
עמודה אמצעית (גובה 2): המשבצות בשורה האחורית ובשורה השנייה בגובה 1 - עוד 2 קוביות.
עמודה ימנית (גובה 1): המשבצת היחידה כבר בגובה 1.
סך הכול 4 קוביות.
טעות נפוצה: להעלות גם את המשבצת הימנית לגובה 2 ולענות 5 - אז העמודה הימנית במבט מלפנים משתנה.

סעיף ד(2)

תשובה:

משמאל לימין - שורה אחורית: 2, 2, 0; שורה שלישית: 2, 0, 0; שורה שנייה: 2, 2, 0; שורה קדמית: 0, 2, 1

2222221מבט מלמעלה
סך הכול 9+4=139+4=139+4=13 קוביות.
טעות נפוצה: להעלות גם את המשבצת הימנית בשורה הקדמית ל-2 ולרשום בשורה הקדמית 0, 2, 2 - אז העמודה הימנית במבט מלפנים גדלה מ-1 ל-2.

שאלה 1 · מרובע במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, אמצע קטע והיקף

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה(1)

סעיף ה(2)

שאלה 2 · משולש ישר זווית במערכת צירים: קודקוד מאמצע, ישר מאונך ושטח מרובע

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ד(1)

סעיף ד(2)

שאלה 3 · התפלגות נורמלית: זמני ריצה במרוץ

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 4 · מודל ריבועי: מגלשת מים בפארק

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 5 · ראייה מרחבית: מבנה קוביות, מבט מימין ומשמאל

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד(1)

סעיף ד(2)

שאלה 6 · ראייה מרחבית: שלושה מבנים, מבט מלמעלה ותרשים מספרים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד(1)

סעיף ד(2)

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד