מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך - שאלון 372

סוכמים את הרצועות בגרף משמאל עד שמגיעים ל-$84\%$:

לכן הציון 80 נמצא בשנתה $\bar x+S$ - סטיית תקן אחת מעל הממוצע.

טעות נפוצה: לספור שנתות במקום חצאי סטיות תקן - מהממוצע עד 80 יש שתי רצועות (19 ו-15), ומי שכופל 2 בסטיית התקן כותב $\bar x=80-2\cdot8=64$. כל רצועה היא רק חצי סטיית תקן.

מיקום 56 ביחס לממוצע: $56-72=-16=-2\cdot8$, כלומר 56 נמצא בשנתה $\bar x-2S$.

אחוז הציונים מתחת ל-$\bar x-2S$ הוא סכום שתי הרצועות השמאליות:

ההסתברות לבחור באקראי ציון כזה שווה לחלק היחסי שלו ברשימה: $0.02$.

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה של $1.5\%$ ולשכוח את הזנב של $0.5\%$ מתחת ל-$\bar x-2.5S$, ולקבל $0.015$.

56 נמצא ב-$\bar x-2S$ ו-80 ב-$\bar x+S$. סוכמים את הרצועות ביניהם:

מספר התלמידים המשוער:

טעות נפוצה: להשתמש ב"כלל" של $68\%$ בין $\bar x-S$ ל-$\bar x+S$ ולשכוח את הרצועות שבין $\bar x-2S$ ל-$\bar x-S$, ולקבל $0.68\cdot93{,}400=63{,}512$.

מחפשים את הציון שמעליו נמצאים בדיוק $2\%$ מהציונים. סוכמים רצועות מהקצה הימני:

זה בדיוק האזור שמעל השנתה $\bar x+2S$:

הציון הנמוך ביותר המזכה בציון לשבח הוא 88.

טעות נפוצה: לבחור את השנתה שבה מתחילה הרצועה של $0.5\%$, $\bar x+2.5S=92$ - מעל 92 נמצאים רק $0.5\%$ מהתלמידים, ולא $2\%$.

משווים מיקום יחסי בעזרת ציון תקן $z=\frac{x-\bar x}{s}$.

ציון התקן של אלמוג: $z=\frac{75-72}{5}=0.6$

ציון התקן של רן: $z=\frac{82-78}{8}=0.5$

ציון התקן של אלמוג גדול יותר, כלומר ביחס לנבחנים האחרים בבחינה שלו הוא רחוק יותר מעל הממוצע. אלמוג הצליח יותר.

טעות נפוצה: להשוות רק את ההפרשים מהממוצע (אלמוג $+3$, רן $+4$) ולענות "רן" - בלי לחלק בסטיית התקן אי אפשר להשוות בין שתי בחינות שהפיזור בהן שונה.

ציון התקן של 86 בבחינה של רן:

ציון שקול בבחינה של אלמוג הוא ציון עם אותו ציון תקן:

טעות נפוצה: להעביר את ההפרש מהממוצע כמו שהוא ($86-78=8$) ולענות $72+8=80$ - הפרש של 8 נקודות שווה ערך שונה בבחינה שסטיית התקן שלה 5.

מספר הפריטים בחבילה לכל היותר 16:

משקל: כל שקית 60 גרם וכל חפיסה 100 גרם, ובסך הכול לפחות $1{,}200$ גרם:

נפח: כל שקית 300 סמ"ק וכל חפיסה 100 סמ"ק, ובסך הכול לפחות $2{,}400$ סמ"ק:

מספרי פריטים אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לשים במשקל את מקדמי עמודת הנפח, $300x+100y\ge1200$, ולקבל את האילוץ השגוי $3x+y\ge12$.

לפי נקודות החיתוך עם הצירים: הישר הירוק הוא $3x+y=24$ (דרך $(0,24)$ ו-$(8,0)$), האדום $x+y=16$ והכחול $3x+5y=60$.

$A$ - חיתוך הירוק והאדום. מחסרים את המשוואות:

$B$ - חיתוך הירוק והכחול:

$C$ - חיתוך האדום והכחול. כופלים את $x+y=16$ ב-3 ומחסרים:

טעות נפוצה: בנקודה $C$ לכפול ב-3 רק את אגף שמאל ($3x+3y=16$), ולקבל $2y=44$, כלומר $(-6,22)$ - נקודה מחוץ לרביע הראשון, סימן שיש טעות.

שקית חטיפים עולה 3 ₪ וחפיסת שוקולד 4 ₪, ולכן מחיר חבילה:

רוצים שהמחיר יהיה מינימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולכתוב $P=4x+3y$ - $x$ הוא מספר שקיות החטיפים, ולכן המקדם שלו הוא מחיר שקית חטיפים.

התחום סגור, ולכן המינימום מתקבל באחד הקדקודים. מציבים:

$A(4,12)$: $3\cdot4+4\cdot12=60$

$B(5,9)$: $3\cdot5+4\cdot9=51$

$C(10,6)$: $3\cdot10+4\cdot6=54$

המחיר המינימלי, 51 ₪, מתקבל ב-$B$: 5 שקיות חטיפים ו-9 חפיסות שוקולד.

טעות נפוצה: לבחור את נקודת החיתוך $(8,0)$ של הישר הירוק עם ציר $x$, שבה המחיר רק 24 ₪ - הנקודה הזאת לא בתחום (משקלה 480 גרם בלבד), ולכן אינה פתרון.

$B$ על ציר $x$, ולכן $y=0$. מציבים במשוואת $AB$:

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $(0,3)$ - זו נקודת החיתוך עם ציר $y$, ו-$B$ נמצאת על ציר $x$.

$C$ על ציר $x$, ולפי הציור מימין ל-$B$. $BC=10$ הוא קטע המקביל לציר $x$, ולכן אורכו הפרש שיעורי ה-$x$:

טעות נפוצה: לכתוב $C(10,0)$ - 10 הוא אורך הקטע $BC$, לא שיעור ה-$x$ של $C$ ($B$ לא בראשית).

$D$ אמצע $AC$ (כי $BD$ תיכון):

שיפוע $BD$:

משוואה דרך $B(4,0)$:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר בנוסחת האמצע, $D=\left(\frac{14-12}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$, ולקבל את הישר $y=-x+4$.

שיפוע $AC$:

מסעיף ב: $m_{BD}=-\frac13$.

מכפלת השיפועים $-1$, ולכן $BD\perp AC$.

טעות נפוצה: לחשב את שיפוע $AC$ עם סדר חיסור שונה במונה ובמכנה, $\frac{0-(-6)}{12-14}=-3$, לקבל מכפלה $1$ ולהסיק שהישרים אינם מאונכים.

הבסיס $BC=10$ על ציר $x$. הגובה מ-$A$ לבסיס הוא המרחק של $A$ מציר $x$, כלומר $|-6|=6$.

טעות נפוצה: לקחת את $AB$ כגובה ($AB=\sqrt{8^2+6^2}=10$) ולקבל $\frac{10\cdot10}{2}=50$ - $AB$ אינו מאונך ל-$BC$.

$BD$ תיכון, ולכן $DC=\frac12AC$. למשולשים $ABC$ ו-$DBC$ אותו בסיס $BC$, והגובה מ-$D$ לציר $x$ הוא $|-3|=3$ - חצי מהגובה מ-$A$:

שטח $ABC$ גדול פי 2 משטח $BCD$. (באופן כללי: תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח.)

טעות נפוצה: לחשב את שטח $BCD$ עם הגובה של $A$ (6) ולקבל 30, כלומר "שטחים שווים, פי 1" - $D$ נמצאת באמצע הדרך, ולכן גובהה חצי.

כמות הדבש בצנצנת מלאה היא נפח הגליל $V=\pi r^2h$.

הקוטר 8 ס"מ, ולכן הרדיוס $r=4$ ס"מ:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס: $\pi\cdot8^2\cdot10=640\pi\approx2010.6$ סמ"ק - פי 4 מהנכון.

הצנצנת הגבוהה: גובה פי 2, $h=20$ ס"מ; קוטר חצי, $4$ ס"מ, ולכן $r=2$ ס"מ.

טעות נפוצה: לקחת את הקוטר 4 כרדיוס (לשכוח לחלק ב-2 פעם נוספת): $\pi\cdot4^2\cdot20=320\pi\approx1005.3$ סמ"ק.

היחס הוא $2:1$ - בצנצנת הנמוכה יש פי 2 דבש.

ההסבר: הקוטר קטן פי 2, ולכן שטח הבסיס קטן פי $2^2=4$; הגובה גדל רק פי 2.

טעות נפוצה: לחשוב ש"חצי קוטר" ו"פי 2 גובה" מתקזזים ולענות $1:1$ - שטח הבסיס תלוי ברדיוס בריבוע.

מחיר לסמ"ק:

נמוכה: $\frac{20}{160\pi}\approx0.0398$ ₪ לסמ"ק.

גבוהה: $\frac{14}{80\pi}\approx0.0557$ ₪ לסמ"ק.

בצנצנת הנמוכה המחיר ליחידת נפח נמוך יותר, ולכן היא חסכונית יותר. (אפשר גם כך: שתי צנצנות גבוהות מכילות כמו צנצנת נמוכה אחת, ועולות $28$ ₪ במקום $20$ ₪.)

טעות נפוצה: להשוות רק את המחירים ($14<20$) ולענות שהגבוהה חסכונית - היא זולה יותר אבל מכילה חצי מהכמות.

מפיקים לכל מבנה את שלושת המבטים מהתרשים המספרי (בתרשים מספרים השורה העליונה היא השורה האחורית, והתחתונה - הקדמית, הקרובה למסתכל מלפנים.)

מבט מלפנים: בכל עמודה (שמאל, אמצע, ימין) הגובה המרבי.

מבט מימין: בכל שורה הגובה המרבי; בצד שמאל של המבט מימין נמצאת השורה הקדמית, ובצד ימין שלו - האחורית.

המבטים הנתונים: מלפנים $3,1,2$; מימין (מקדימה לאחור) $1,3,2$; מלמעלה - כל המשבצות חוץ מהאמצעית האחורית.

מבנה 1: מלפנים $3,2,2$, מימין $2,3,2$ - לא מתאים.

מבנה 2: מלפנים $\max(2,3,1)=3$, $\max(1,1)=1$, $\max(1,2,1)=2$; מימין: שורה קדמית 1, אמצעית 3, אחורית 2; מלמעלה - אותן משבצות. מתאים.

מבנה 3: מלפנים $3,1,2$, אבל מימין $1,3,1$ - לא מתאים.

טעות נפוצה: לקרוא את המבט מימין הפוך (השורה האחורית בצד שמאל של המבט), כלומר לחפש שורה קדמית בגובה 2 ואחורית בגובה 1 - ואז אף אחד מהמבנים לא מתאים.

מבנה 1: בשורה הקדמית, בעמודה האמצעית, יש 2 קוביות. לכן במבט מלפנים העמודה האמצעית בגובה 2, ובתרשים הנתון היא בגובה 1. מאותה סיבה גם במבט מימין השורה הקדמית בגובה 2 במקום 1.

מבנה 3: בשורה האחורית יש רק עמודות בגובה 1, ולכן במבט מימין הצד הימני (השורה האחורית) בגובה 1, ובתרשים הנתון הוא בגובה 2. המבט מלפנים והמבט מלמעלה כן מתאימים.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המבט מלפנים ואת המבט מלמעלה, ולקבוע שמבנה 3 מתאים ורק מבנה 1 לא - ההבדל של מבנה 3 נראה רק במבט מימין.

מה המבטים קובעים: השורה הקדמית בגובה מרבי 1 - כל עמודותיה 1. העמודה האמצעית בגובה מרבי 1 - גם האמצעית בשורה האמצעית 1. בשורה האמצעית צריכה להיות עמודה בגובה 3, והמקום היחיד שמותר בו 3 הוא העמודה השמאלית (מלפנים השמאלית בגובה 3).

נשארו שלוש עמודות שאפשר לשנות: השמאלית והימנית בשורה האחורית, והימנית בשורה האמצעית. כל אחת מהן 1 או 2, בתנאי שבשורה האחורית יש לפחות 2 אחד (מבט מימין) ובעמודה הימנית יש לפחות 2 אחד (מבט מלפנים).

לכן יש מבנים נוספים, למשל להעלות גם את העמודה הימנית בשורה האחורית ל-2:

בדיקה: מלפנים $3,1,2$; מימין $1,3,2$; מלמעלה - אותן 8 משבצות.

טעות נפוצה: לענות "לא, כי שלושת המבטים קובעים את המבנה" - המבטים מראים רק את הגובה המרבי בכל שורה ועמודה, ולכן עמודה שאינה הגבוהה ביותר בשורה ובעמודה שלה יכולה להשתנות בלי לשנות אף מבט.