מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 10 ברמת בגרות

$x$ ו-$y$ הם מספרי תכשיטים, ולכן $x\ge0$, $y\ge0$.

מכונת הליטוש: שרשרת 12 דקות, צמיד 6 דקות, 120 דקות לכל היותר:

הרכבה: שרשרת 5 דקות, צמיד 10 דקות, 80 דקות לכל היותר:

טעות נפוצה: לשייך את זמן הליטוש של שרשרת ל-$y$ ולכתוב $6x+12y\le120$ - אבל $x$ הוא מספר השרשראות, וליטוש של שרשרת נמשך 12 דקות.

מפשטים: $12x+6y\le120$ הוא $2x+y\le20$, ו-$5x+10y\le80$ הוא $x+2y\le16$.

הישר $2x+y=20$ חותך את הצירים ב-$(0,20)$ וב-$(10,0)$; הישר $x+2y=16$ חותך אותם ב-$(0,8)$ וב-$(16,0)$.

$A$ על ציר ה-$y$: החיתוך הנמוך, $A(0,8)$. $B$ על ציר ה-$x$: החיתוך הקרוב, $B(10,0)$.

$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים:

$C(8,4)$.

טעות נפוצה: לקחת את $A(0,20)$, נקודת החיתוך של ישר הליטוש עם ציר ה-$y$ - אבל שם זמן ההרכבה הוא $10\cdot20=200$ דקות, יותר מ-80.

כל שרשרת מכניסה 30 שקלים וכל צמיד 25 שקלים:

מחפשים את הרווח המקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין הרווחים ולכתוב $f(x,y)=25x+30y$.

מציבים את קדקודי התחום בפונקציית המטרה:

$O(0,0)$: $f=0$

$A(0,8)$: $f=25\cdot8=200$

$B(10,0)$: $f=30\cdot10=300$

$C(8,4)$: $f=30\cdot8+25\cdot4=240+100=340$

הרווח המקסימלי, 340 שקלים, מתקבל ב-$C(8,4)$: 8 שרשראות ו-4 צמידים.

טעות נפוצה: לבחור בקדקוד $B$ כי הרווח משרשרת (30) גדול מהרווח מצמיד (25), ולענות 10 שרשראות ו-0 צמידים - הרווח שם רק 300 שקלים.

הרווח בשבוע שבו התקלקלה המכונה:

הרווח המקסימלי בשבוע רגיל הוא 340 שקלים, ולכן הרווח קטן ב-$340-260=80$ שקלים.

טעות נפוצה: להשוות לרווח בקדקוד $B$ (300 שקלים) ולקבל $300-260=40$ שקלים.

קלוריות - "לכל היותר" 1,200, ומחלקים ב-60:

סיבים - "לפחות" 36, ומחלקים ב-3:

ומספרי המנות אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי שורה במקום לפי עמודה, ולכתוב אילוץ קלוריות $60x+6y\le1200$ - בכל אילוץ משתתפים הנתונים של אותה עמודה (אותו משאב) בשני סוגי המזון.

נקודות החיתוך עם הצירים: $x+2y=20$ עובר דרך $(20,0)$ ו-$(0,10)$; $2x+3y=12$ עובר דרך $(6,0)$ ו-$(0,4)$.

בדיקה בראשית: $0\le20$ נכון - התחום מתחת לישר $x+2y=20$; $0\ge12$ לא נכון - התחום מעל הישר $2x+3y=12$.

קדקודי התחום: $(6,0)$, $(20,0)$, $(0,10)$, $(0,4)$.

טעות נפוצה: לבחור את הצד הלא נכון של $x+2y\le20$ (מעל הישר), ולקבל תחום פתוח שמעל שני הישרים - תפריטים שיש בהם יותר מ-1,200 קלוריות.

נועה רוצה לשלם כמה שפחות, ולכן מחפשים את הערך המינימלי של $P$.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולכתוב $P=5x+3y$ - המחיר של מנת מזון יבש (3 שקלים) מוכפל במספר מנות המזון היבש, $x$.

מציבים את קדקודי התחום בפונקציית המטרה:

המחיר הנמוך ביותר, 18 שקלים, מתקבל ב-$(6,0)$: 6 מנות מזון יבש ו-0 מנות מזון רטוב.

טעות נפוצה: לנמק "מנת מזון יבש זולה יותר (3 שקלים לעומת 5), ולכן כדאי לתת כמה שיותר מזון יבש" ולבחור בקדקוד $(20,0)$ - שם המחיר 60 שקלים. המחיר הזול ליחידה לא קובע; צריך להשוות את המחיר הכולל בכל הקדקודים.

פונקציית המטרה החדשה: $P=4x+5y$. התחום לא השתנה, ומציבים שוב את הקדקודים:

המינימום עבר לקדקוד $(0,4)$, 20 שקלים. כן, חל שינוי: 0 מנות מזון יבש ו-4 מנות מזון רטוב.

טעות נפוצה: לחשב מחדש רק את הקדקוד $(6,0)$ (24 שקלים) ולהסיק שהתפריט לא השתנה ורק המחיר עלה - צריך להשוות שוב את כל הקדקודים.

$C$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$C(-4,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $(0,3)$ - נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$.

משווים את משוואות $AC$ ו-$AB$:

כופלים את שני האגפים ב-4:

$y=-3\cdot4+18=6$, ולכן $A(4,6)$.

טעות נפוצה: לכפול ב-4 רק את האגף השמאלי: $3x+12=-3x+18$, ומקבלים $x=1$.

$B$ על $AB$: $y=-3\cdot8+18=-6$. $B(8,-6)$.

טעות נפוצה: להציב במשוואת $AC$ ולקבל $y=\frac34\cdot8+3=9$ - $B$ אינו נמצא על $AC$.

ישר דרך $C(-4,0)$:

טעות נפוצה: להציב את $C$ עם סימן הפוך, $y=-\frac12(x-4)$, ולקבל $y=-\frac12x+2$ - הישר הזה לא עובר דרך $B$ ($-4+2\ne-6$).

$x=0$ במשוואת $BC$: $y=-2$. $E(0,-2)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במשוואת $AB$ ולקבל $(0,18)$.

ולכן $AE\perp BC$.

טעות נפוצה: לערבב את סדר הנקודות, $\frac{6-(-2)}{0-4}=-2$, ולקבל מכפלה $-2\cdot\left(-\frac12\right)=1$ - "לא מאונך".

$E$ על $BC$, ולכן לפי ה(2) המשולש $ACE$ ישר זווית ב-$E$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולענות 40.

$a=-0.5<0$, ולכן המקסימום בקדקוד:

טעות נפוצה: לענות 2.8 מטרים - זה המרחק האופקי של השיא, לא הגובה.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן היא עולה משמאל לקדקוד. המסלול מתחיל ב-$x=0$:

טעות נפוצה: לענות $x>2.8$ - מימין לקדקוד של פרבולה כזו הגרף יורד.

טעות נפוצה: לחשב את $5.5^2$ כ-$5.5\cdot2=11$ ולקבל $-5.5+15.4+1.2=11.1$ מטרים - יותר מהגובה המקסימלי.

$x_1=-0.4$, $x_2=6$. $x=-0.4$ נפסל, כי המסלול מתחיל ב-$x=0$. הכדור היה פוגע בקרקע ב-$x=6$.

טעות נפוצה: לקחת את הפתרון $x=-0.4$ בלי לבדוק שהוא בתחום שבו למודל יש משמעות.

טעות נפוצה: לעצור בשטח הבסיס, $20\cdot12=240$.

הקירות החיצוניים הם ארבע הפאות הצדדיות - שטח המעטפת:

טעות נפוצה: להוסיף גם את שני הבסיסים ולחשב שטח פנים, $2\cdot240+102.4=582.4$ מ"ר.

טעות נפוצה: לכפול ב-4 במקום לחלק ולקבל 6.4 מטרים.

נסמן את הצלע הקצרה ב-$a$; הארוכה $3a$. העומק 0.4 (סעיף ג):

$a=4$ (השורש השלילי נפסל). הצלעות: 4 מטרים ו-12 מטרים. בדיקה: $4\cdot12\cdot0.4=19.2$.

טעות נפוצה: לשכוח את הפי 3 בנפח, $a\cdot a\cdot0.4=19.2$, $a^2=48$, $a\approx6.93$.

טעות נפוצה: לשכוח את השליש ולענות 225 סמ"ק.

$75.4>75$: בפרלין מסוג ב' יש מעט יותר שוקולד.

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע של הרדיוס ($\frac{\pi\cdot3\cdot8}{3}=8\pi\approx25.1$) ולקבוע שבפרלין מסוג א' יש יותר שוקולד.

טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{8^2-3^2}=\sqrt{55}\approx7.42$ - קצר מהגובה, ולכן לא ייתכן שזה היתר.

טעות נפוצה: להוסיף את שטח הבסיס ($9\pi$) ולענות $\approx108.8$ - זה שטח הפנים של החרוט, לא המעטפת.

$67{,}699<70{,}000$, ולכן השוקולד יספיק.

טעות נפוצה: לחשב את נפח החרוט בלי השליש (כמו גליל, $72\pi$) ולקבל $30{,}000+500\cdot72\pi\approx143{,}097$, כלומר "לא יספיק".