מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 11 ברמת בגרות

$x$ ו-$y$ הם מספרי שתילים, ולכן הם אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

אילוץ האדמה: $x$ שתילי תבלינים צריכים $2x$ ליטרים, ו-$y$ שתילי פרחים צריכים $3y$ ליטרים. בערכה יש לכל היותר 60 ליטרים:

אילוץ הכמות: בערכה יש לכל היותר 25 שתילים:

טעות נפוצה: להחליף בין כמויות האדמה ולכתוב $3x+2y\le60$ - אבל $x$ הוא מספר שתילי התבלינים, וכל אחד מהם צריך 2 ליטרים, ולכן המקדם של $x$ הוא 2.

$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$. מציבים בשני האילוצים: $3y\le60\Rightarrow y\le20$ ו-$y\le25$. שני האילוצים מתקיימים רק כש-$y\le20$, ולכן הקדקוד הוא החיתוך של ישר האדמה $2x+3y=60$ עם ציר ה-$y$:

$B$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$: $2x\le60\Rightarrow x\le30$ ו-$x\le25$. המגביל הוא אילוץ הכמות:

$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים. מ-$x+y=25$ מקבלים $x=25-y$, ומציבים בישר השני:

טעות נפוצה: לקחת עבור $B$ את החיתוך של ישר האדמה עם ציר ה-$x$ ולקבל $B(30,0)$ - בנקודה הזאת יש 30 שתילים, והיא לא מקיימת את האילוץ $x+y\le25$.

בערכה יש $x$ שתילי תבלינים, והרווח מכל אחד 3 שקלים: $3x$.

יש בה $y$ שתילי פרחים, והרווח מכל אחד 4 שקלים: $4y$.

מחפשים את הרווח המקסימלי.

טעות נפוצה: להצמיד את הרווחים למשתנים הלא נכונים ולכתוב $f(x,y)=4x+3y$.

התחום האפשרי סגור, ולכן הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקדקודים. מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-$C$: צריך לשים 15 שתילי תבלינים ו-10 שתילי פרחים, והרווח הוא 85 שקלים.

טעות נפוצה: להחליט בלי הצבה שכדאי למלא את הערכה בשתילי פרחים בלבד, כי הרווח מכל אחד מהם גדול יותר, ולענות 0 שתילי תבלינים ו-20 שתילי פרחים (רווח 80 שקלים) - אבל בקדקוד $C$ הרווח גדול יותר.

ערכה לגן א': $x=12$, $y=10$:

ערכה לגן ב' היא הערכה של הרווח המקסימלי (סעיף ג(2)): 85 שקלים.

הרווח מכל ערכה לגן א' קטן ב-9 שקלים.

טעות נפוצה: להציב את הערכה של גן א' עם מקדמים מוחלפים, $4\cdot12+3\cdot10=78$, ולקבל הפרש של $85-78=7$ שקלים.

$E$ היא אמצע $AB$, ולכן כל שיעור של $E$ הוא הממוצע של השיעורים המתאימים של $A$ ו-$B$:

לכן $B(12,-5)$.

טעות נפוצה: להתייחס ל-$E$ כאל קצה ולחשב את האמצע של $A$ ו-$E$: $\left(\frac{0+6}{2},\frac{11+3}{2}\right)=(3,7)$ - אבל $E$ היא האמצע, ו-$B$ הוא הקצה.

(אפשר גם בעזרת $A$ ו-$E$: $\frac{3-11}{6-0}=\frac{-8}{6}=-\frac43$.)

טעות נפוצה: לחסר בסדר אחד במונה ובסדר הפוך במכנה, $\frac{-5-11}{0-12}=\frac43$ - ומקבלים שיפוע חיובי לצלע שיורדת משמאל לימין.

$AC\perp AB$ (הזווית $BAC$ ישרה), ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

$A(0,11)$ נמצא על ציר ה-$y$, ולכן 11 הוא נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן, $m_{AC}=-\frac34$, ולקבל $y=-\frac34x+11$ - מכפלת השיפועים אז היא $1$ ולא $-1$.

$BC$ מקבילה לציר ה-$y$, ולכן ל-$C$ יש אותו שיעור $x$ כמו ל-$B$: $x_C=12$.

$C$ נמצא על הישר $AC$. מציבים $x=12$:

לכן $C(12,20)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש"מקבילה לציר ה-$y$" פירושו אותו שיעור $y$ כמו ל-$B$, להציב $y=-5$ ולקבל $-5=\frac34x+11$, כלומר $x=-\frac{64}{3}$ - נקודה על $AC$ שאינה על הישר האנכי דרך $B$.

מחשבים את אורכי הצלעות שיוצאות מ-$D$ בנוסחת המרחק:

$DA=DB=\sqrt{125}=5\sqrt5$, ולכן המשולש $ADB$ שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחשב $(-5)^2=-25$ ולקבל $DB=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}$, ולהסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

צלעות המרובע הן $AD$, $DB$, $BC$, $CA$.

$AD=DB=5\sqrt5$ (סעיף ד).

$BC$ מקבילה לציר ה-$y$: $BC=20-(-5)=25$.

טעות נפוצה: לחשב את $BC$ כ-$20-5=15$ (לשכוח שהשיעור של $B$ שלילי), ולקבל היקף $30+10\sqrt5\approx52.36$.

סוכמים רצועות משמאל: $0.5+1.5+5+9=16\%$. לכן 150 נמצא בשנתה $\bar x-S$ - סטיית תקן אחת מתחת לממוצע.

טעות נפוצה: לספור את ארבע הרצועות כשתי סטיות תקן שלמות ולקבל $\bar x=150+2\cdot12=174$. 16% מצטברים עד $\bar x-S$, לא עד $\bar x-2S$.

$180-162=18=1.5\cdot12$, כלומר 180 נמצא בשנתה $\bar x+1.5S$.

מעל השנתה הזאת: $5\%+1.5\%+0.5\%=7\%$.

ההסתברות: $0.07$.

טעות נפוצה: לחשב את האחוז שמתחת ל-180 ($93\%$) ולענות $0.93$ - נשאלנו על תפוח כבד יותר מ-180 גרם.

$156=162-6=\bar x-0.5S$ ו-$180=\bar x+1.5S$.

סוכמים את הרצועות ביניהם:

טעות נפוצה: לעצור ב-$\bar x+S$ ולשכוח את הרצועה של $9\%$ שבין $\bar x+S$ ל-$\bar x+1.5S$: $0.53\cdot4{,}800=2{,}544$.

$2\%$ = $0.5\%+1.5\%$ - שתי הרצועות השמאליות, כלומר כל מה שמתחת לשנתה $\bar x-2S$.

טעות נפוצה: לבחור את השנתה $\bar x-2.5S=132$ - מתחתיה נמצאים רק $0.5\%$ מהתפוחים.

$A$ היא ראש המגדל, והיא נמצאת על ציר ה-$y$ ($x=0$). מציבים $x=0$:

גובה המגדל הוא 22 מטרים.

טעות נפוצה: לבלבל בין המגדל לציר הסימטריה של הפרבולה, לחשב $-\frac{b}{2a}=30$ ולענות "30 מטרים". 30 הוא המרחק האופקי של $C$ מהמגדל.

$C$ היא קדקוד הפרבולה. $a=0.02$, $b=-1.2$:

מציבים כדי למצוא את הגובה:

$C$ נמצאת בגובה 4 מטרים.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן של $b$ ולקבל $x=-30$, ואז $y=18+36+22=76$ - גבוה יותר מהמגדל עצמו, ולכן בוודאי לא נקודת המינימום.

מחפשים את הנקודות בכבל שבהן הגובה 12:

בגובה 12 יש שתי נקודות על הפרבולה, אחת מכל צד של הקדקוד ($x=30$). לפי הסרטוט $B$ נמצאת מימין לנקודת המינימום $C$, ולכן $x_B=50$.

טעות נפוצה: לבחור $x=10$. בנקודה זו הכבל בגובה 12 בדרך למטה, משמאל ל-$C$, ולא בראש העמוד.

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ($a=0.02>0$), ולכן היא עולה מימין לקדקוד, כלומר כש-$x>30$.

אבל הכבל נגמר בנקודה $B$, שבה $x=50$ (סעיף ג). לכן דנה הייתה במגמת עלייה בקטע $30<x<50$ - בין $C$ ל-$B$.

טעות נפוצה: לענות $0<x<30$ - בקטע הזה דנה יורדת מהמגדל אל הנקודה הנמוכה ביותר.

בכל מבט רואים בכל עמודה של התבנית את הערימה הגבוהה ביותר בעמודה (או בשורה) של המבנה שמאחוריה.

מבט מלפנים: לכל עמודה של המבנה, משמאל לימין, הגובה המרבי בה: $\max(2,2,2,1)=2$, $\max(2,1,0,2)=2$, $\max(3,2,0,1)=3$, $\max(2,2,1,1)=2$. כלומר 2, 2, 3, 2.

מבט מימין: עומדים מימין למבנה, ולכן השורה הקדמית נמצאת בצד שמאל של התבנית והשורה האחורית בצד ימין.

לכל שורה, מהקדמית לאחורית, הגובה המרבי בה: $\max(1,2,1,1)=2$, $\max(2,0,0,1)=2$, $\max(2,1,2,2)=2$, $\max(2,2,3,2)=3$. כלומר 2, 2, 2, 3.

טעות נפוצה: לצייר במבט מימין רק את העמודה הימנית של המבנה, הקרובה לצופה (מלפנים לאחור: 1, 1, 2, 2). אבל מימין רואים בכל שורה גם ערימות שעומדות משמאל לעמודה הזאת ובולטות מעליה, למשל הערימה של 2 בשורה הקדמית והערימה של 3 בשורה האחורית.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המשטח את מספר הקוביות שבערימה שעליה (השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית).

ערימה שרואים רק את החלק העליון שלה עומדת על קוביות מוסתרות (כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת), ולכן כותבים את כל הגובה שלה.

בשורה השלישית מאחור שתי המשבצות האמצעיות ריקות (רואים בהן את המשטח). בשורה הקדמית יש ערימה של 2 בעמודה השנייה משמאל, וקוביות בודדות בשאר המשבצות.

השורה האחורית: 2 2 3 2; השורה השנייה: 2 1 2 2; השורה השלישית: 2 0 0 1; השורה הקדמית: 1 2 1 1 (משמאל לימין, כפי שרואים מלפנים).

בסך הכול $9+7+3+5=24$ קוביות.

טעות נפוצה: לכתוב את התרשים הפוך, עם השורה הקדמית (1 2 1 1) למעלה והאחורית (2 2 3 2) למטה. זה תרשים של מבנה אחר, שהמבט מימין שלו הוא 3, 2, 2, 2 ולא 2, 2, 2, 3.

משווים את שני המבטים מסעיף א: מלפנים 2, 2, 3, 2; מימין 2, 2, 2, 3. הם שונים בעמודה השלישית ובעמודה הרביעית של התבנית.

הוספת קובייה רק מגביהה ערימה, ולכן אף עמודה במבט לא יכולה לרדת. כדי שהמבטים יהיו זהים, שניהם צריכים להיות 2, 2, 3, 3:

במבט מלפנים צריך להעלות את העמודה הרביעית (הימנית) של המבנה מ-2 ל-3;

במבט מימין צריך להעלות את העמודה השלישית של התבנית, כלומר את השורה השנייה מאחור, מ-2 ל-3.

קובייה אחת עושה את שני הדברים רק אם מניחים אותה במשבצת שבשורה השנייה מאחור ובעמודה הימנית. יש בה 2 קוביות, ואחרי ההוספה יהיו בה 3.

בדיקה: מלפנים, בעמודה הימנית $\max(2,3,1,1)=3$; מימין, בשורה השנייה מאחור $\max(2,1,2,3)=3$. שני המבטים: 2, 2, 3, 3.

טעות נפוצה: להוסיף את הקובייה בעמודה הימנית אבל בשורה האחורית (מ-2 ל-3). אז המבט מלפנים נעשה 2, 2, 3, 3, אבל בשורה האחורית כבר הייתה ערימה של 3, ולכן המבט מימין נשאר 2, 2, 2, 3, והמבטים עדיין שונים.

אחרי שהורידו את הקובייה שהוסיפו, המבנה חזר להיות המבנה המקורי, ובו 24 קוביות.

בתרשים החדש, שורה אחר שורה: $(1+1+3+1)+(2+1+1+2)+(1+0+0+1)+(1+2+1+1)=6+6+2+5=19$ קוביות.

הורידו 5 קוביות נוספות.

טעות נפוצה: להשוות למבנה שאחרי ההוספה (25 קוביות) ולענות $25-19=6$. אבל הקובייה שהוסיפו אינה אחת מהקוביות הנוספות.

מחשבים את המבטים של המבנה החדש ומשווים למבנה המקורי.

מלפנים: $\max(1,2,1,1)=2$, $\max(1,1,0,2)=2$, $\max(3,1,0,1)=3$, $\max(1,2,1,1)=2$, כלומר 2, 2, 3, 2, כמו קודם. לכן גם המבט מאחור, שהוא תמונת הראי שלו, לא השתנה.

מלמעלה: אף משבצת לא התרוקנה ולא התמלאה, ולכן המבט לא השתנה.

מימין, מהשורה הקדמית לאחורית: $\max(1,2,1,1)=2$, $\max(1,0,0,1)=1$, $\max(2,1,1,2)=2$, $\max(1,1,3,1)=3$, כלומר 2, 1, 2, 3 במקום 2, 2, 2, 3.

המבט מימין השתנה: בשורה השלישית מאחור לא נשארה ערימה בגובה 2.

טעות נפוצה: לענות "המבט מלפנים", כי מהעמודה השמאלית הורידו שתי קוביות (בשורה האחורית ובשורה השלישית). אבל בעמודה השמאלית נשארה ערימה בגובה 2 בשורה השנייה מאחור, ולכן במבט מלפנים העמודה השמאלית עדיין בגובה 2.

בתרשים מספרים רשום בכל משבצת מספר הקוביות שמונחות בה זו על זו. השורה העליונה של התרשים היא השורה האחורית (הרחוקה מהחץ), והשורה התחתונה היא השורה הקדמית.

בתרשים החלקי מולאה השורה השנייה מלמטה, כלומר השורה השנייה מלפנים: $3,1,0$ (משמאל לימין).

מבנה א', השורה השנייה מלפנים: משמאל עמודה של 3 קוביות, באמצע קובייה אחת, ומימין רואים את המשטח: $3,1,0$ - מתאים.

מבנה ב', השורה השנייה מלפנים: משמאל קובייה אחת, באמצע קובייה אחת, ומימין המשטח: $1,1,0$ - לא מתאים.

תרשים המספרים מתאים למבנה א'.

טעות נפוצה: לספור את השורות מאחור ולחשוב שמולאה השורה השנייה מאחור; שם במבנה א' יש $1,1,1$ ובמבנה ב' $2,2,3$, ואז נראה שהתרשים לא מתאים לאף מבנה.

קוראים בסרטוט של מבנה א' את הגובה של כל עמודה, שורה אחר שורה. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן מתחת לכל פאה עליונה יש עמודה מלאה עד המשטח, גם כשהקוביות התחתונות מוסתרות.

השורה הקדמית (הקרובה לחץ): משמאל קובייה אחת, באמצע עמודה של 3 קוביות ומימין קובייה אחת: $1,3,1$.

השורה השנייה מלפנים (נתונה): $3,1,0$.

השורה השלישית מלפנים: שלוש קוביות בודדות, שמוסתרות בחלקן מאחורי העמודות הגבוהות: $1,1,1$.

השורה האחורית: משמאל קובייה אחת, ובאמצע ומימין עמודות של 2 קוביות: $1,2,2$.

בדיקה: סך הכול $5+3+4+5=17$ קוביות.

טעות נפוצה: לרשום 1 בעמודה האמצעית של השורה האחורית, כי רואים בה רק את הקובייה העליונה (התחתונה מוסתרת מאחורי השורה השלישית) - כך יוצא תרשים של 16 קוביות במקום 17.

מלמעלה רואים כל משבצת שיש בה לפחות קובייה אחת, בלי קשר לגובה. במבנה ב' כל המשבצות תפוסות, חוץ מהמשבצת הימנית בשורה השנייה מלפנים (שם רואים בסרטוט את המשטח, מאחורי הקובייה הימנית של השורה הקדמית):

טעות נפוצה: לא לשים לב למשבצת הריקה שמאחורי הקובייה הימנית של השורה הקדמית, ולסמן מלבן מלא של $4\times3$ משבצות.

מספר הקוביות הוא סכום המספרים בתרשים המספרים, כולל הקוביות המוסתרות.

מבנה ב' - הגבהים לפי הסרטוט, מהשורה האחורית לקדמית: $2,3,3$ / $2,2,3$ / $1,1,0$ / $2,1,1$. סך הכול $8+7+2+4=21$.

מבנה א' - סכום התרשים מתת-סעיף א(2): $5+3+4+5=17$.

$21-17=4$: במבנה ב' יש 4 קוביות יותר.

טעות נפוצה: לספור משבצות במקום קוביות - בשני המבנים 11 משבצות תפוסות - ולענות שאין הבדל.

היגד 1: בשני המבנים כל המשבצות תפוסות חוץ מהמשבצת הימנית בשורה השנייה מלפנים. המבטים מלמעלה זהים - ההיגד לא נכון.

היגד 2: במבט מהצד רואים לכל שורת עומק את הגובה המרבי בשורה.

גבהים מרביים בשורות (מאחור לפנים): מבנה א' - $2,1,3,3$; מבנה ב' - $3,3,1,2$.

מי שעומד משמאל למבנה רואה את השורה האחורית בצד שמאל שלו. לכן המבט משמאל של מבנה א' הוא עמודות בגובה $2,1,3,3$ (משמאל לימין).

מי שעומד מימין למבנה רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו. לכן המבט מימין של מבנה ב' הוא הרשימה של ב' בסדר הפוך: $2,1,3,3$ (משמאל לימין).

שני המבטים זהים, ולכן ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לרשום את שני המבטים לפי סדר השורות מאחור לפנים ($2,1,3,3$ ו-$3,3,1,2$), לקבוע שהם שונים ולענות שהיגד 2 לא נכון.