מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 12 ברמת בגרות

מספר המוצרים לא יכול להיות שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

מספר המוצרים במארז הוא $x+y$, ויש לכל היותר 18 מוצרים:

העלות של $x$ סבונים היא $6x$ שקלים, והעלות של $y$ נרות היא $15y$ שקלים. העלות הכוללת היא לכל היותר 180 שקלים:

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולכתוב $15x+6y\le180$ - אבל $x$ הוא מספר הסבונים, וכל סבון עולה 6 שקלים.

$A$ ו-$B$ הם הקדקודים של התחום על הצירים, ו-$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים.

חיתוכי הישר $x+y=18$ עם הצירים: $(0,18)$ ו-$(18,0)$.

חיתוכי הישר $6x+15y=180$ עם הצירים: $(0,12)$ ו-$(30,0)$.

כל נקודה בתחום מקיימת את שני האילוצים, ולכן על ציר ה-$y$ התחום נגמר בנקודה הנמוכה מבין $(0,18)$ ו-$(0,12)$: $A(0,12)$. על ציר ה-$x$ הוא נגמר בנקודה הקרובה לראשית מבין $(18,0)$ ו-$(30,0)$: $B(18,0)$.

$C$: פותרים את מערכת המשוואות של שני הישרים. מחלקים את המשוואה השנייה ב-3:

מהמשוואה הראשונה $x=18-y$, ומציבים בשנייה: $36-2y+5y=60$, כלומר $3y=24$, $y=8$ ו-$x=18-8=10$. לכן $C(10,8)$.

טעות נפוצה: לקחת את $B$ מהישר של העלות, $B(30,0)$ - אבל בנקודה $(30,0)$ יש 30 מוצרים, והיא לא מקיימת $x+y\le18$.

הרווח מ-$x$ סבונים הוא $5x$ שקלים, והרווח מ-$y$ נרות הוא $9y$ שקלים. הרווח הכולל ממארז:

מחפשים את הערך המקסימלי של $f$ (רווח מרבי).

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $f=9x+5y$ - המקדם של $x$ (מספר הסבונים) הוא הרווח מסבון אחד, 5 שקלים.

התחום האפשרי סגור, ולכן הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקדקודים. מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

$O(0,0)$: $f=0$

$A(0,12)$: $f=5\cdot0+9\cdot12=108$

$B(18,0)$: $f=5\cdot18+9\cdot0=90$

$C(10,8)$: $f=5\cdot10+9\cdot8=122$

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-$C$: 10 סבונים ו-8 נרות.

טעות נפוצה: להניח שכדאי לשים כמה שיותר נרות, כי הרווח מנר גדול יותר, ולבחור ב-$A$: 0 סבונים ו-12 נרות - אבל שם הרווח הוא רק 108 שקלים.

מציבים את $C(10,8)$ בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי ממארז אחד הוא 122 שקלים.

טעות נפוצה: להציב בפונקציה עם מקדמים מוחלפים: $9\cdot10+5\cdot8=130$, ולענות 130 שקלים.

בודקים אם הנקודה $(9,8)$ מקיימת את כל האילוצים:

$9\ge0$ ו-$8\ge0$ - מתקיים.

$9+8=17\le18$ - מתקיים.

$6\cdot9+15\cdot8=54+120=174\le180$ - מתקיים.

כל האילוצים מתקיימים, ולכן הנקודה בתחום האפשרי: ייתכן מארז כזה (אף שהוא לא המארז של הרווח המקסימלי).

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים בבדיקת העלות, $15\cdot9+6\cdot8=183>180$, ולענות שמארז כזה לא ייתכן.

$B$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$B(-15,0)$.

$D$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=\frac13\cdot0+5=5$. $D(0,5)$.

טעות נפוצה: לחלק ב-3 במקום לכפול ב-3 כשמבודדים את $x$ מ-$\frac13x=-5$, ולקבל $x=-\frac53$, כלומר $B\left(-\frac53,0\right)$.

$D$ היא אמצע הקטע $AB$, ולכן כל שיעור של $D$ הוא ממוצע השיעורים של $A$ ו-$B$:

$A(15,10)$. בדיקה: $\frac13\cdot15+5=10$, כלומר $A$ על הישר $AB$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $B$ ו-$D$ ולקבל $(-7.5,2.5)$ - נקודה שבין $B$ ל-$D$, ולא מעבר ל-$D$.

$\angle ACB=90^\circ$, ולכן $AC\perp BC$, ומכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר עובר דרך $A(15,10)$:

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי בלי להחליף סימן, $m=\frac13$, ולקבל $y=\frac13x+5$ - זו המשוואה של $AB$ עצמה, ולא של צלע המאונכת ל-$BC$.

$C$ היא נקודת החיתוך של $BC$ ו-$AC$. משווים:

$y=3\cdot(-9)+45=18$. $C(-9,18)$.

טעות נפוצה: להעביר את $-\frac13x$ לאגף שמאל בלי להחליף סימן: $3x-\frac13x=-30$, כלומר $\frac83x=-30$, ולקבל $x=-11.25$ ו-$C(-11.25,11.25)$ - נקודה שאינה על $AC$.

המשולש ישר זווית ב-$C$, ולכן שטחו הוא מחצית מכפלת הניצבים $BC$ ו-$AC$. מחשבים אותם בנוסחת המרחק:

טעות נפוצה: לקחת את היתר $AB=\sqrt{30^2+10^2}=\sqrt{1000}$ כאחד הניצבים ולחשב $\frac{\sqrt{1000}\cdot\sqrt{360}}{2}=\frac{600}{2}=300$. הניצבים הם הצלעות שיוצאות מהזווית הישרה $C$.

האלכסון $AB$ מחלק את המרובע למשולש $ABC$ (סעיף ד(1)) ולמשולש $ABK$.

במשולש $ABK$ הצלע $BK$ נמצאת על ציר ה-$x$: $BK=12-(-15)=27$.

הגובה לצלע זו הוא המרחק של $A$ מציר ה-$x$, כלומר שיעור ה-$y$ של $A$: 10.

טעות נפוצה: לחשב $BK=15-12=3$ (להתעלם מהסימן של $-15$), ולקבל $S_{ABK}=15$ ושטח מרובע $255$.

בגרף ההתפלגות סוכמים את הרצועות מהזנב הימני: $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%+15\%=31\%$.

לכן מימין לשנתה $\bar x+0.5S$ (חצי סטיית תקן מעל הממוצע) נמצאים $31\%$ מהתינוקות, ו-3,500 גרם נמצא בשנתה הזו:

טעות נפוצה: לחשוב שהשנתה הראשונה מימין לממוצע נמצאת סטיית תקן שלמה מעליו, לכתוב $3500=\bar x+400$ ולקבל $\bar x=3100$ - אבל בגרף של דף הנוסחאות כל רצועה היא חצי סטיית תקן.

המלבן האמצעי (השישי) הוא הממוצע, 3,300. בין שתי שנתות סמוכות יש חצי סטיית תקן: $\frac{400}{2}=200$.

מוסיפים 200 בכל צעד ימינה ומחסירים 200 בכל צעד שמאלה:

2,300, 2,500, 2,700, 2,900, 3,100, 3,300, 3,500, 3,700, 3,900, 4,100, 4,300

בדיקה: 3,500 נמצא שנתה אחת מימין לממוצע ($\bar x+0.5S$), כמו שמצאנו בסעיף א.

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה (400) בין שנתות סמוכות - ואז במלבנים הקיצוניים מתקבלים $3300-5\cdot400=1300$ ו-$3300+5\cdot400=5300$, ו-3,500 לא יוצא בשנתה שמימינה $31\%$.

2,500 הוא $\bar x-2S$ ($3300-800$) ו-3,700 הוא $\bar x+S$ ($3300+400$). סוכמים את הרצועות שביניהם:

טעות נפוצה: לחשב רק את אחוז התינוקות שמשקלם קטן מ-3,700, $50\%+19\%+15\%=84\%$, ולשכוח להחסיר את $2\%$ שמשקלם קטן מ-2,500.

1,640 תינוקות הם $82\%$ מכל התינוקות שנולדו. נסמן ב-$N$ את מספר התינוקות:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $1640\cdot0.82\approx1345$ - אבל 1,640 הם רק חלק מהתינוקות, ולכן מספר כל התינוקות גדול ממנו.

מציון התקן מוצאים את הערך: $x=\bar x+z\cdot S$.

$2540<2600$, ולכן התינוק הועבר למעקב מיוחד.

דרך אחרת: ציון התקן של 2,600 הוא $\frac{2600-3300}{400}=-1.75$, ו-$-1.9<-1.75$.

טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של ציון התקן ולחשב $x=3300+1.9\cdot400=4060$ - ואז להסיק ש-$4060>2600$ והתינוק לא הועבר למעקב.

$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$:

נקודת ההתחלה בגובה 5 מטרים מעל מגרש החניה.

טעות נפוצה: לבלבל בין החיתוך עם ציר ה-$y$ לחיתוך עם ציר ה-$x$ ולפתור $f(x)=0$; מקבלים $x=40\pm\sqrt{2100}$, כלומר $x\approx85.83$ (ופתרון שלילי) - וזה בכלל לא גובה.

המקדם של $x^2$ שלילי, ולכן הפרבולה "עצובה" והקדקוד הוא נקודת מקסימום:

הגובה המקסימלי הוא 21 מטרים (במרחק אופקי של 40 מטרים מ-$A$).

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם, $(-0.01\cdot40)^2=0.16$, ולקבל $f(40)=0.16+32+5=37.16$ מטרים.

פרבולה עם מקסימום עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו. הקדקוד ב-$x=40$, והקטע מתחיל ב-$x=0$ (הנקודה $A$).

לכן ההולך נמצא במגמת עלייה בתחום $0<x<40$.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוונים ולענות $40<x<70$ - שם השביל יורד מהשיא אל $B$.

מציבים את שיעור ה-$x$ של $B$ בפונקציה:

הנקודה $B$ נמצאת בגובה 12 מטרים מעל מגרש החניה.

טעות נפוצה: לחשב $70^2$ כ-$2\cdot70=140$ ולקבל $-1.4+56+5=59.6$ מטרים - יותר מהגובה המקסימלי של השביל, ולכן בלתי אפשרי.

פותרים $f(x)=17$:

שני הפתרונות בקטע $0\le x\le70$, ולכן יש ספסלים בשתי נקודות: $x=20$ (בעלייה) ו-$x=60$ (בירידה).

טעות נפוצה: לקחת רק את הפתרון עם הפלוס ולענות $x=60$ בלבד - אבל השביל נמצא בגובה 17 מטרים פעמיים: בעלייה ובירידה.

המבטים הנתונים: מלפנים (שמאל, אמצע, ימין) $2,3,1$; מימין (מקדימה לאחור) $2,2,3$; מלמעלה - כל המשבצות חוץ מהימנית בשורה האמצעית. (בתרשים מספרים השורה העליונה היא השורה האחורית, והתחתונה - הקדמית, הקרובה למסתכל מלפנים.)

מבנה 1: מלפנים $\max(1,1,1)=1$ בעמודה השמאלית - לא מתאים.

מבנה 2: מלפנים $2,3,1$ ומימין $2,2,3$ מתאימים, אבל יש קובייה במשבצת הימנית של השורה האמצעית - המבט מלמעלה שונה. לא מתאים.

מבנה 3: מלפנים $\max(1,2,1)=2$, $\max(3,1,2)=3$, $\max(1,1)=1$; מימין: קדמית 2, אמצעית 2, אחורית 3; מלמעלה - אותן משבצות. מתאים.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המבט מלפנים ואת המבט מימין, ולענות "מבנים 2 ו-3".

מבנה 1: בעמודה השמאלית כל העמודות בגובה 1, ולכן במבט מלפנים היא בגובה 1 ולא 2; גם השורה האמצעית כולה בגובה 1, ולכן במבט מימין האמצע בגובה 1 ולא 2.

מבנה 2: המבט מלפנים והמבט מימין זהים לנתונים, אבל במבט מלמעלה רואים 9 משבצות, ובתרשים הנתון 8.

טעות נפוצה: לנמק את מבנה 2 לפי המבט מימין ("השורה האמצעית גבוהה מדי") - במבנה 2 המבט מימין דווקא מתאים, וההבדל הוא רק במבט מלמעלה.

הגבהים המרביים: בעמודה האמצעית בשורה האחורית חייבת להיות 3 (רק שם מותר 3). את שאר העמודות אפשר להעלות כל עוד אף עמודה לא עוברת את הגובה המרבי של העמודה (מבט מלפנים) ושל השורה (מבט מימין) שלה.

למשל, מעלים כל עמודה לגובה המרבי המותר לה - הקטן מבין שני המבטים:

בדיקה: מלפנים $2,3,1$; מימין $2,2,3$; מלמעלה - אותן 8 משבצות.

טעות נפוצה: לענות "לא" כי מבנה 3 כבר מתאים - שלושה מבטים לא קובעים מבנה אחד; יש כאן 17 מבנים שונים עם אותם מבטים.

המעטפת של המנסרה היא שלושה קירות מלבניים, כל אחד $40\times120$:

טעות נפוצה: לחשב רק קיר אחד, $0.7\cdot40\cdot120=3360$ מ"ר. למנסרה משולשת שלוש פאות צדדיות.

רצפת קומה בגליל היא עיגול כמו הבסיס. הקוטר 36, ולכן $r=18$:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר בתור רדיוס, $\pi\cdot36^2\approx4071.5$ מ"ר.

טעות נפוצה: להכפיל בגובה המגדל (150) במקום במספר הקומות, ולקבל $\approx152{,}681$ - זה נפח הגליל.

לפני: $4\cdot30\cdot99=11{,}880$. אחרי: $4\cdot32\cdot99=12{,}672$.

טעות נפוצה: להעלות את היחס בריבוע, $\left(\frac{32}{30}\right)^2\approx1.138$ - כך משתנה שטח הבסיס, לא המעטפת.