מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 13 ברמת בגרות

לכל אילוץ משרטטים את הישר המתאים ובודקים איזה צד שלו מתאים לאי-השוויון.

$x\ge0$ ו-$y\ge0$: הרביע הראשון.

הישר $3x+2y=120$: מציבים $y=0$ ומקבלים $3x=120$, כלומר $(40,0)$; מציבים $x=0$ ומקבלים $2y=120$, כלומר $(0,60)$.

הישר $x+2y=64$: חותך את הצירים ב-$(64,0)$ וב-$(0,32)$.

בדיקה בנקודה $(0,0)$: $0\le120$ ו-$0\le64$ - נכון, ולכן התחום של כל אילוץ הוא מתחת לישר שלו (בצד של הראשית).

על ציר ה-$y$ התחום נגמר בנקודה הנמוכה מבין $(0,60)$ ו-$(0,32)$, ועל ציר ה-$x$ בנקודה הקרובה לראשית מבין $(40,0)$ ו-$(64,0)$.

נקודת החיתוך של שני הישרים - מחסרים את המשוואה השנייה מהראשונה:

קדקודי התחום: $(0,0)$, $(0,32)$, $(28,18)$, $(40,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ב-$x+2y=64$ ולשכוח לחלק ב-2, כלומר לסמן את החיתוך עם ציר ה-$y$ ב-$(0,64)$. אז על ציר ה-$y$ התחום נעצר רק בישר הראשון, ומקבלים קדקוד שגוי $(0,60)$ במקום $(0,32)$.

$x$ תרמילי גב מכניסים $80x$ שקלים, ו-$y$ תיקי צד מכניסים $75y$ שקלים. הרווח הכולל:

מחפשים את הערך המקסימלי שלה.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $f(x,y)=75x+80y$ - אבל $x$ הוא מספר תרמילי הגב, שהרווח מכל אחד מהם הוא 80 שקלים.

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה בתחום סגור מתקבל באחד הקדקודים. מציבים בכל קדקוד:

$(0,0)$: $0$

$(0,32)$: $75\cdot32=2400$

$(28,18)$: $80\cdot28+75\cdot18=2240+1350=3590$

$(40,0)$: $80\cdot40=3200$

הערך הגדול ביותר, 3,590 שקלים, מתקבל ב-$(28,18)$: 28 תרמילי גב ו-18 תיקי צד.

טעות נפוצה: להחליט בלי הצבה שכדאי לייצר רק תרמילי גב, כי הרווח מכל אחד מהם גדול יותר, ולבחור ב-$(40,0)$ - 40 תרמילים ו-0 תיקי צד, עם רווח של 3,200 שקלים בלבד.

גדל ב-$25\%$ פירושו $125\%$ מהרווח הקודם, וקטן ב-$20\%$ פירושו שנשאר $80\%$ מהרווח:

טעות נפוצה: לחשב רק את השינוי, $80\cdot0.25=20$ ו-$75\cdot0.2=15$, ולענות שהרווחים החדשים הם 20 ו-15 שקלים - אלה הסכומים שנוספו ושירדו, לא הרווחים עצמם.

פונקציית המטרה החדשה: $g(x,y)=100x+60y$. התחום לא השתנה, ולכן מציבים שוב בכל הקדקודים:

$(0,32)$: $60\cdot32=1920$

$(28,18)$: $100\cdot28+60\cdot18=2800+1080=3880$

$(40,0)$: $100\cdot40=4000$

הרווח המקסימלי החדש הוא 4,000 שקלים, והפעם הוא מתקבל ב-$(40,0)$ - 40 תרמילי גב בלבד.

הרווח המקסימלי גדל ב-410 שקלים.

טעות נפוצה: להציב את הרווחים החדשים רק בקדקוד הקודם $(28,18)$ ולקבל $3880-3590=290$ שקלים - אבל אחרי השינוי הרווח המקסימלי מתקבל בקדקוד אחר, $(40,0)$.

$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=\frac43\cdot0+8=8$, כלומר $A(0,8)$.

$B$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$B(-6,0)$.

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac43$ במקום בהופכי $\frac34$ ולקבל $x=-8\cdot\frac43=-\frac{32}{3}$, כלומר $B\left(-\frac{32}{3},0\right)$.

$BC\perp AB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

$BC$ עובר דרך $B(-6,0)$:

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי בלי להחליף סימן, $m=\frac34$, ולקבל $y=\frac34x+4.5$ - ישר שאינו מאונך ל-$AB$ (מכפלת השיפועים $1$).

$CD$ מקבילה לציר ה-$y$, ולכן לכל הנקודות עליה אותו שיעור $x$ כמו ל-$D$: $x=10$.

$C$ נמצא גם על $BC$. מציבים $x=10$ במשוואת $BC$:

$C(10,-12)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש"מקבילה לציר ה-$y$" פירושו ששיעור ה-$y$ של $C$ שווה לזה של $D$, להציב $y=-2$ ולקבל $-2=-\frac34x-4.5$, כלומר $x=-\frac{10}{3}$ ו-$C\left(-\frac{10}{3},-2\right)$.

אמצע הקטע בין $B(-6,0)$ ל-$C(10,-12)$:

$E(2,-6)$.

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\frac{10-(-6)}{2}=8$ ו-$\frac{-12-0}{2}=-6$, ולקבל $E(8,-6)$ - נקודה שאינה על $BC$ ($-\frac34\cdot8-4.5=-10.5\ne-6$).

מחשבים את אורכי הצלעות:

$EC=DC=10$, ולכן המשולש $EDC$ שווה שוקיים (הקודקוד הראשי הוא $C$).

טעות נפוצה: לחשב את $DC$ כ-$-2-12$ ולקחת אורך 14 (לשכוח ש-$y_C$ שלילי); אז $DC=14\ne EC$, ומסיקים בטעות שאין במשולש שתי צלעות שוות.

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע $BC=\sqrt{16^2+12^2}=20$ במקום $EC$, ולקבל $30+4\sqrt5\approx38.94$.

לפי הגרף, מעל $\bar x+2S$ נמצאים $1.5\%+0.5\%=2\%$, ולכן $92=\bar x+2S$.

באותו אופן, מתחת ל-$\bar x-2S$ נמצאים $2\%$, ולכן $52=\bar x-2S$.

שני הערכים באותו מרחק מהממוצע (משני צדיו), ולכן הממוצע באמצע ביניהם:

טעות נפוצה: לפתור את מערכת המשוואות $\bar x+2S=92$, $\bar x-2S=52$ (חיסור נותן $4S=40$, $S=10$), ואז לבודד את הממוצע עם סימן שגוי: $\bar x=92+2S=112$ שעות. ממוצע כזה גדול מ-92, אף שרק $2\%$ מהסוללות פועלות יותר מ-92 שעות; הנכון: $\bar x=92-2S=72$.

$92=\bar x+2S$ ו-$\bar x=72$:

בדיקה: $\bar x-2S=72-20=52$, כמו בנתון.

טעות נפוצה: לספור את השנתות בגרף בין 72 ל-92 (4 שנתות) ולחשב $S=\frac{20}{4}=5$. כל שנתה היא חצי סטיית תקן, ולכן 4 שנתות הן 2 סטיות תקן.

הסוללות שנפסלות הן בצד השמאלי של הגרף (זמנים קצרים). מסכמים רצועות מהקצה השמאלי עד $31\%$:

חמש הרצועות האלה נמצאות מתחת ל-$\bar x-0.5S$:

טעות נפוצה: לשכוח שמדובר בזמנים הקצרים ולחשב מעל הממוצע: $72+0.5\cdot10=77$ שעות.

$57=72-15=\bar x-1.5S$, ו-$97=72+25=\bar x+2.5S$.

מסכמים את הרצועות: שלוש מתחת לממוצע וחמש מעליו:

ההסתברות: $0.925$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\bar x+2S$ ולשכוח את רצועת ה-$1.5\%$ שבין $\bar x+2S$ ל-$\bar x+2.5S$, ולקבל $91\%$, כלומר $0.91$.

בנקודת הקפיצה המרחק האופקי הוא 0, ולכן מציבים $x=0$:

הצפרדע קפצה מגובה 0.3 מטר (30 ס"מ).

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ ולפתור $-0.8x^2+1.6x+0.3=0$, ולקבל $x\approx2.17$ - זה המקום שבו הצפרדע הייתה מגיעה לקרקע, לא גובה הקפיצה.

הגובה המקסימלי הוא בקדקוד הפרבולה ($a=-0.8<0$, פרבולה "עצובה"):

הגובה המקסימלי הוא 1.1 מטר.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם: $(-0.8\cdot1)^2+1.6+0.3=2.54$ - בביטוי $-0.8x^2$ רק $x$ מועלה בריבוע.

הפרבולה "עצובה", ולכן היא עולה משמאל לקדקוד ($x<1$) ויורדת מימינו.

המסלול מתחיל בנקודת הקפיצה, $x=0$, ולכן הצפרדע עלתה בתחום $0<x<1$.

טעות נפוצה: לענות $1<x<1.75$ - זה התחום שבו הצפרדע כבר יורדת מהשיא אל הגדם.

מציבים $y=0.65$:

$x_1=1.75$ או $x_2=0.25$.

בגובה 0.65 מטר הצפרדע הייתה פעמיים: בעלייה ($x=0.25$) ובירידה ($x=1.75$). לפי הסרטוט הצפרדע נחתה על הגדם בירידה, אחרי השיא ($x>1$), ולכן $x=1.75$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $x=0.25$ - בנקודה הזאת הצפרדע עוד עולה, והגדם בסרטוט נמצא אחרי השיא.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המשטח כמה קוביות עומדות עליה (0 - משבצת ריקה). מסדרים את התרשים כמו מבט מלמעלה: השורה הקדמית (הקרובה לחץ) למטה, ובכל שורה משמאל לימין כפי שרואים מלפנים.

השורה הקדמית: משמאל משבצת ריקה, ואחריה שלוש קוביות בודדות: $0,1,1,1$.

השורה השנייה מלפנים: משמאל עמודה של 2 קוביות, ואחריה שלוש קוביות בודדות: $2,1,1,1$.

השורה השלישית: משמאל משבצת ריקה, קובייה בודדת, עמודה של 3 קוביות, ומימין משבצת ריקה: $0,1,3,0$.

השורה האחורית: קובייה בודדת, המגדל של 4 קוביות, קובייה בודדת, ומימין משבצת ריקה: $1,4,1,0$.

בדיקה: במבנה $6+4+5+3=18$ קוביות.

טעות נפוצה: לכתוב כל שורה מימין לשמאל, כאילו מסתכלים על המבנה מאחור, ולקבל

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 0&1&4&1\\\hline 0&3&1&0\\\hline 1&1&1&2\\\hline 1&1&1&0\\\hline\end{array}$

. בתרשים מספרים כל שורה נכתבת משמאל לימין כפי שרואים מלפנים, ולכן המגדל של 4 נמצא בטור השני משמאל.

מבט מלפנים: בכל טור (משמאל לימין) רואים את הגובה המרבי שלו: $2,4,3,1$ - זה תרשים II.

מבט מימין: מסתכלים מימין, ולכן השורה הקדמית מופיעה משמאל והאחורית מימין. הגובה המרבי בכל שורה, מלפנים לאחור: $1,2,3,4$ - זה תרשים I.

מבט מלמעלה: רואים אילו משבצות תפוסות, והשורה האחורית למעלה. בשורה האחורית תפוסות שלוש המשבצות השמאליות, בשורה השלישית שתי האמצעיות, השורה השנייה מלפנים מלאה, ובשורה הקדמית תפוסות שלוש הימניות - זה תרשים III.

תרשים IV הוא תרשים III הפוך מלמעלה למטה: השורה הקדמית מצוירת בו למעלה והאחורית למטה. זו תמונת ראי של המבט מלמעלה, ולא מבט של המבנה.

טעות נפוצה: לחשוב שבמבט מלמעלה השורה הקדמית מצוירת למעלה, לבחור בתרשים IV כמבט מלמעלה, ולהסיק בטעות שתרשים III אינו מתאר שום מבט.

מסתכלים על המבנה משמאל: השורה האחורית נראית בצד שמאל של המבט, והשורה הקדמית בצד ימין.

בכל שורה של המבנה לוקחים את הגובה המרבי: האחורית 4, השלישית 3, השנייה מלפנים 2, הקדמית 1.

המבט משמאל (משמאל לימין): $4,3,2,1$.

טעות נפוצה: לסדר את השורות כמו במבט מימין (הקדמית משמאל) ולקבל $1,2,3,4$ - זה המבט מימין, תרשים I.

משווים את המבט מלמעלה החדש למבנה: נוספו שתי משבצות תפוסות - בשורה השלישית (השנייה מאחור) בטור הימני, ובשורה הקדמית בטור השמאלי. בכל אחת מהן חייבת לעמוד לפחות קובייה אחת.

כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, בכל טור הגובה לא יעבור את הגובה המרבי שלו: $2,4,3,1$.

לכן במשבצת החדשה שבטור הימני אפשר לשים רק קובייה אחת, ובמשבצת החדשה שבטור השמאלי - 1 או 2.

דוגמה: 1 קובייה במשבצת החדשה בטור הימני, 2 קוביות במשבצת החדשה בטור השמאלי, עוד קובייה על המשבצת האחורית בטור השמאלי (מ-1 ל-2), ועוד 2 קוביות על המשבצת האחורית בטור השלישי (מ-1 ל-3).

בדיקה: הגבהים המרביים בטורים הם $2,4,3,1$, והמשבצות התפוסות הן בדיוק אלה שבתרשים.

טעות נפוצה: לחלק את 6 הקוביות שווה בשווה בין שתי המשבצות החדשות, 3 בכל אחת. אז בטור השמאלי יש עמודה של 3 ובטור הימני עמודה של 3, והמבט מלפנים משתנה ל-3, 4, 3, 3.

נפח פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס ריבוע שצלעו 8:

נפח הזכוכית 192 סמ"ק.

טעות נפוצה: לשכוח את השליש ולענות $64\cdot9=576$ סמ"ק - זה נפח תיבה עם אותו בסיס ואותו גובה.

נפח חרוט הוא שליש משטח הבסיס (עיגול) כפול הגובה:

$192>183.3$: במשקולת מסוג א' יש יותר זכוכית, ולכן היא כבדה יותר.

טעות נפוצה: לשכוח את השליש בנפח החרוט ($\pi\cdot5^2\cdot7=175\pi\approx549.8$) ולקבוע שהמשקולת מסוג ב' כבדה יותר.

הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית, שהקו היוצר הוא היתר שלו. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}\approx4.90$ - יוצא קצר מהגובה, אף שהקו היוצר הוא היתר.

שטח המעטפת של חרוט: $\pi rl$.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר (10 ס"מ) במקום הרדיוס, $\pi\cdot10\cdot\sqrt{74}\approx270.25$ סמ"ר - פי 2 מהתשובה.

הנפח הדרוש להזמנה (לפי סעיפים א ו-ב):

$50{,}529>50{,}000$, ולכן הזכוכית לא תספיק.

טעות נפוצה: לשכוח את $\pi$ בנפח החרוט, $23{,}040+150\cdot\frac{175}{3}=23{,}040+8{,}750=31{,}790<50{,}000$ - ולענות שהזכוכית תספיק.