מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 14 ברמת בגרות

מספר הפריטים: $x+y\le20$.

משקל: $400x+100y\ge3200$, ואחרי חילוק ב-100: $4x+y\ge32$.

נפח: $100x+300y\ge3000$, ואחרי חילוק ב-100: $x+3y\ge30$.

וגם $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לכתוב את אילוץ המשקל עם מקדמי השורות מוחלפים, $100x+400y\ge3200$, כלומר $x+4y\ge32$ - המקדם של $x$ הוא משקל צנצנת ריבה.

הישרים: $4x+y=32$ (דרך $(0,32)$ ו-$(8,0)$), $x+y=20$, $x+3y=30$ (דרך $(0,10)$ ו-$(30,0)$).

$A$ - חיתוך $4x+y=32$ עם $x+y=20$: מחסרים, $3x=12$, $x=4$, $y=16$.

$B$ - חיתוך $4x+y=32$ עם $x+3y=30$: מ-$y=32-4x$:

$C$ - חיתוך $x+3y=30$ עם $x+y=20$: מחסרים, $2y=10$, $y=5$, $x=15$.

טעות נפוצה: בנקודה $B$ לכפול ב-3 רק את 32 ולא את $4x$: $x+96-4x=30$, ומקבלים $x=22$, $y=-56$ - נקודה שאינה על הסרטוט.

צנצנת ריבה 6 ₪, אריזת עוגיות 5 ₪:

מחפשים מחיר מינימלי.

טעות נפוצה: לכתוב את פונקציית המשקל $400x+100y$ במקום פונקציית המחיר - המטרה היא המחיר, והמשקל הוא אילוץ.

מציבים את הקדקודים:

$A(4,16)$: $6\cdot4+5\cdot16=104$

$B(6,8)$: $6\cdot6+5\cdot8=76$

$C(15,5)$: $6\cdot15+5\cdot5=115$

המינימום, 76 ₪, ב-$B$: 6 צנצנות ריבה ו-8 אריזות עוגיות.

טעות נפוצה: לבחור את הנקודה $(8,0)$ שעל ציר $x$, שמחירה 48 ₪ - היא לא בתחום (נפחה 800 סמ"ק בלבד).

שיפוע $BC$ הוא 3, ולכן שיפוע הגובה המאונך הוא $-\frac13$ (מכפלת השיפועים $-1$).

הגובה עובר דרך $A(7,3)$:

טעות נפוצה: לקחת רק את הנגדי, שיפוע $-3$, ולקבל $y=-3x+24$.

$D$ היא חיתוך $BC$ עם הגובה:

כופלים ב-3 כדי להיפטר מהשברים:

$y=3\cdot1+2=5$, ולכן $D(1,5)$.

טעות נפוצה: להעביר את $-x$ לאגף שמאל בלי להחליף סימן: $9x-x=10$, ואז $x=1.25$ ו-$D(1.25,5.75)$.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולהציב $AD=40$, ולקבל $S=\frac{6\cdot40}{2}=120$.

לפי גרף ההתפלגות, מצטברים משמאל: $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%+15\%=31\%$. הצבירה נעצרת רצועה אחת לפני הממוצע.

כל רצועה היא חצי סטיית תקן, ולכן 16.5 נמצא חצי סטיית תקן מתחת לממוצע:

טעות נפוצה: לחשוב שכל רצועה בגרף היא סטיית תקן שלמה, ולכן $16.5=18-S$, ומקבלים $S=1.5$.

השנתות בגרף הן במרחקים של חצי סטיית תקן: $\frac{3}{2}=1.5$ ק"ג.

באמצע הממוצע, 18. ימינה מוסיפים 1.5 בכל שנתה: 19.5, 21, 22.5, 24, 25.5. שמאלה מחסירים 1.5: 16.5, 15, 13.5, 12, 10.5.

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה בין שנתות (3) ולכתוב 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33 - אז 16.5 לא מופיע בכלל על השנתות, אף שלפי הנתון משמאלו $31\%$.

13.5 הוא $\bar x-1.5S$ ($18-4.5$), ו-24 הוא $\bar x+2S$ ($18+6$). בין השנתות האלה שבע רצועות:

טעות נפוצה: לחשב רק את אחוז המזוודות ששקלו פחות מ-24 ק"ג, $50\%+19\%+15\%+9\%+5\%=98\%$, ולשכוח להחסיר את $7\%$ ששקלו פחות מ-13.5 ק"ג.

455 המזוודות האלה הן $91\%$ מכל המזוודות (סעיף ב). נסמן ב-$N$ את מספר המזוודות:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $455\cdot0.91\approx414$ - יוצא פחות מזוודות מ-455 שכבר נמצאות בקבוצה.

משקל המזוודה של יוסי לפי ציון התקן:

$23.1>23$, ולכן יוסי צריך לשלם תוספת - הוא צודק.

אם יוציא זוג נעליים: $23.1-0.5=22.6<23$, ואז לא ישלם תוספת - הפקיד טועה.

טעות נפוצה: להכפיל את ציון התקן בחצי סטיית התקן (המרחק בין השנתות בגרף), $18+1.7\cdot1.5=20.55$ - ולהסיק שיוסי לא צריך לשלם כלל, ולכן "אף לא אחד".

הפרבולה פתוחה כלפי מטה ($a=-0.05<0$), ולכן הגובה המקסימלי מתקבל בקדקוד.

הגובה המקסימלי הוא 4.05 מטרים.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם, $(-0.05\cdot6)^2=0.09$, ולקבל $0.09+3.6+2.25=5.94$ מטרים - בביטוי $-0.05x^2$ רק $x$ מועלה בריבוע.

פרבולה שפתוחה כלפי מטה עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו.

המסלול מתחיל בנקודת הפגיעה, $x=0$, ולכן הכדור במגמת עלייה מ-$x=0$ ועד הקדקוד:

טעות נפוצה: לענות $x>6$ - בפרבולה ש-$a<0$ שלה, מימין לקדקוד הגרף יורד.

מציבים $x=14$ במשוואת המסלול:

הכדור היה בגובה 0.85 מטרים (85 ס"מ).

טעות נפוצה: לחשב את $14^2$ כ-$14\cdot2=28$ ולקבל $-1.4+8.4+2.25=9.25$ מטרים - יותר מהגובה המקסימלי, ולכן בלתי אפשרי.

הכדור פוגע בקרקע כשגובהו 0:

$x_1=\frac{0.3}{-0.1}=-3$, $x_2=\frac{-1.5}{-0.1}=15$.

$x=-3$ נפסל: המסלול מתחיל ב-$x=0$ והכדור נע קדימה. הכדור היה פוגע בקרקע ב-$x=15$.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס במכנה ולחלק ב-$0.1$ במקום ב-$-0.1$; מקבלים $x=3$ או $x=-15$ ועונים $x=3$ - נקודה שבה הכדור עוד עולה (לפני הקדקוד), ולכן אינה יכולה להיות נקודת הפגיעה בקרקע.

תרשים המספרים הוא המבט מלמעלה: כל משבצת היא מקום על המשטח, ורושמים בה כמה קוביות יש בעמודה שעומדת עליה. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ).

השורה הקדמית: משמאל קובייה אחת, שני מקומות ריקים, קובייה אחת, ומימין מקום ריק - 1, 0, 0, 1, 0.

השורה האמצעית: עמודה של 3, עמודה של 2, מקום ריק ושתי קוביות בודדות - 3, 2, 0, 1, 1.

השורה האחורית: שתי עמודות של 2, קובייה אחת, המגדל של 4 וקובייה אחת - 2, 2, 1, 4, 1.

(הקוביות התחתונות של העמודות שמאחור מוסתרות, אבל כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן מתחת לקובייה העליונה יש עמודה מלאה.)

טעות נפוצה: לרשום את התרשים הפוך - השורה הקדמית (1, 0, 0, 1, 0) בראש התרשים והאחורית למטה. זה תרשים של מבנה שהמגדל של 4 עומד בחזית שלו, ולא של המבנה הזה.

במבט מימין עומדים מימין למבנה ומסתכלים שמאלה: השורה הקדמית נראית בצד שמאל של המבט, והשורה האחורית בצד ימין. בכל שורה רואים את העמודה הגבוהה ביותר בה.

מהשורה הקדמית לאחורית: $\max(1,0,0,1,0)=1$, $\max(3,2,0,1,1)=3$, $\max(2,2,1,4,1)=4$.

מבט מימין (משמאל לימין): 1, 3, 4.

המבט משמאל הוא תמונת ראי שלו, עם השורה האחורית משמאל: 4, 3, 1.

טעות נפוצה: לצייר במבט מימין רק את הטור הימני של המבנה, הקרוב לצופה (מלפנים לאחור: 0, 1, 1). אבל מימין רואים בכל שורה גם עמודות שעומדות משמאל לטור הזה ובולטות מעליו, למשל העמודה של 3 בשורה האמצעית והמגדל של 4 בשורה האחורית.

המבט מלמעלה מראה אילו מקומות על המשטח תפוסים. כדי שהוא לא ישתנה, בכל מקום תפוס צריכה להישאר לפחות קובייה אחת, והיא חייבת להיות מונחת על המשטח.

לכן המבנה הקטן ביותר הוא קובייה אחת בכל מקום תפוס. בתרשים 15 משבצות, מהן 4 ריקות (0), ולכן יש $15-4=11$ מקומות תפוסים.

במבנה יש $(2+2+1+4+1)+(3+2+0+1+1)+(1+0+0+1+0)=10+7+2=19$ קוביות.

הורידו 8 קוביות.

טעות נפוצה: לספור את כל 15 המשבצות של התבנית, כולל ארבע הריקות, ולהוריד רק $19-15=4$ קוביות. במקום ריק לא צריך להשאיר קובייה.

נשארה קובייה אחת בכל מקום תפוס: 11 קוביות ($19-8=11$).

טעות נפוצה: להשאיר קובייה גם בארבע המשבצות הריקות, כאילו כל 15 המשבצות של התבנית צריכות להישאר מלאות, ולענות 15. במקום ריק לא מוסיפים קובייה, ולכן נשארות 11.

המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות של המשטח תפוסות (בלי הגובה). עוברים על המבנים שורה אחר שורה, מלפנים לאחור:

בשלושת המבנים: בשורה הקדמית תפוסות המשבצת השמאלית והאמצעית; שתי השורות האחוריות מלאות.

ההבדל הוא בשורה השנייה מלפנים. במבנים 1 ו-2 יש בה רק עמודה שמאלית, ומימינה רואים את המשטח. במבנה 3 יש בה גם קובייה בודדת באמצע - מאחורי העמודה האמצעית של השורה הקדמית, ולכן רואים רק את הפאה העליונה ואת הפאה הימנית שלה.

לכן מבנים 1 ו-2 מתאימים לתרשים I - שני מבנים שונים (בגבהים שונים) עם אותו מבט מלמעלה - ומבנה 3 מתאים לתרשים II.

טעות נפוצה: לא לראות את הקובייה הבודדת שמאחורי העמודה הקדמית במבנה 3, ולקבוע ששלושת המבנים מתאימים לתרשים I.

בתרשים מספרים רושמים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות יש בעמודה שמעליה.

במבנה 3: בשורה הקדמית שתי עמודות של 2 קוביות (שמאל ואמצע). בשורה השנייה מלפנים - משמאל עמודה של 2 קוביות, ובאמצע קובייה בודדת שמוסתרת בחלקה. בשתי השורות האחוריות - קובייה אחת בכל משבצת.

סך הכול $3+3+3+4=13$ קוביות.

טעות נפוצה: לדלג על הקובייה הבודדת שבאמצע השורה השנייה מלפנים, שמוסתרת בחלקה, ולרשום בשורה זו 2, 0, 0 (12 קוביות במקום 13).

במבט מלפנים רואים לכל עמודה (שמאל, אמצע, ימין) את הגובה המרבי שלה לאורך כל השורות.

שמאל: $\max(1,1,2,2)=2$. אמצע: $\max(1,1,1,2)=2$. ימין: $\max(1,1,0,0)=1$.

טעות נפוצה: לסרטט רק את השורה הקדמית - משמאל לימין 2, 2, 0 - ולהשמיט את העמודה הימנית, שהקוביות שלה נמצאות מאחור.

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה - מוסיפים קוביות רק מעל משבצות תפוסות.

כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה - כל משבצת יכולה לגדול עד הגובה של העמודה שלה במבט מלפנים: שמאל 2, אמצע 2, ימין 1.

עמודה שמאלית: המשבצות בשורה האחורית ובשורה השלישית בגובה 1 - מוסיפים קובייה לכל אחת: 2 קוביות.

עמודה אמצעית: המשבצות בשורה האחורית, בשורה השלישית ובשורה השנייה בגובה 1 - מוסיפים קובייה לכל אחת: 3 קוביות.

עמודה ימנית: שתי המשבצות התפוסות כבר בגובה 1 - אין תוספת.

סך הכול $2+3=5$ קוביות.

טעות נפוצה: להעלות כל משבצת תפוסה לגובה 2, גם בעמודה הימנית, ולהוסיף $10\cdot2-13=7$ קוביות - אז העמודה הימנית במבט מלפנים גדלה, והמבט משתנה.

סך הכול $13+5=18$ קוביות. בדיקה: המשבצות התפוסות לא השתנו (מבט מלמעלה), והגובה המרבי בכל עמודה נשאר 2, 2, 1 (מבט מלפנים).

טעות נפוצה: להוסיף קובייה גם בשתי המשבצות הריקות של העמודה הימנית (בשורה השנייה מלפנים ובשורה הקדמית) ולרשום שם 1 - המבט מלפנים אמנם לא משתנה, אבל המבט מלמעלה משתנה, ויוצא תרשים של 20 קוביות.