מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 15 ברמת בגרות

אילוץ לכל עמדה: סוכמים את השעות של השולחנות ושל הארונות באותה עמדה.

מכונת ניסור: $6x$ שעות לשולחנות ו-$4y$ שעות לארונות:

עמדת צביעה: $2x$ שעות לשולחנות ו-$6y$ שעות לארונות:

ובנוסף $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לבנות אילוץ לכל מוצר במקום לכל עמדה, ולכתוב $6x+2y\le48$ ו-$4x+6y\le30$.

פונקציית המטרה (בשקלים), ומחפשים לה מקסימום:

מציבים את הקודקודים:

$(0,0)$: $P=0$

$(0,5)$: $P=800\cdot5=4000$

$(6,3)$: $P=500\cdot6+800\cdot3=3000+2400=5400$

$(8,0)$: $P=500\cdot8=4000$

המקסימום, 5400 שקל, מתקבל ב-$(6,3)$: 6 שולחנות ו-3 ארונות.

טעות נפוצה: להחליט שכדאי לייצר רק ארונות כי הם רווחיים יותר, ולענות $(0,5)$ עם רווח של 4000 שקל. ארון צורך הרבה שעות צביעה, ולכן אפשר לייצר רק 5 ארונות.

$y=0$: $\frac43x-4=0\Rightarrow x=3$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $(0,-4)$ - נקודת החיתוך עם ציר $y$.

$C$ על ציר $x$ מימין ל-$B$, ו-$BC=15$: $x_C=3+15=18$.

טעות נפוצה: לכתוב $C(15,0)$, כאילו $B$ בראשית הצירים.

$D$ אמצע $AC$:

טעות נפוצה: לחסר בנוסחת האמצע, $D=\left(\frac{18-12}{2},\frac{0-12}{2}\right)=(3,-6)$, ולקבל את הישר האנכי $x=3$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{12-0}{18-12}=2$ (סדר חיסור שונה במונה ובמכנה), לקבל מכפלה $1$ ולהסיק שאין ניצבות.

בסיס $BC=15$, גובה מ-$A$ לציר $x$: 12.

טעות נפוצה: להשתמש באורך $AB=\sqrt{9^2+12^2}=15$ כגובה ולקבל $\frac{15\cdot15}{2}=112.5$.

הגובה מ-$D$ לציר $x$ הוא 6, חצי מהגובה מ-$A$:

לכן שטח $ABC$ גדול פי 2 (התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח).

טעות נפוצה: לחשב את $S_{BCD}$ עם הגובה 12 ולקבל שהשטחים שווים (פי 1).

צוברים את האחוזים בגרף משמאל, עד שמגיעים ל-$69\%$:

הצבירה נעצרת מלבן אחד מימין לממוצע, כלומר 184 מ"ל נמצא חצי סטיית תקן מעל הממוצע: $184=\bar x+0.5S$.

טעות נפוצה: להוסיף במקום לחסר: $\bar x=184+4=188$ - אבל רוב הכוסות מכילות פחות מ-184 מ"ל, ולכן 184 גבוה מהממוצע, והממוצע קטן ממנו.

הממוצע 180 נמצא במרכז, וכל שנתה היא חצי סטיית תקן: $\frac{8}{2}=4$ מ"ל.

משמאל לימין: $180-5\cdot4=160$, ואז 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200.

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה (8) בין שנתות סמוכות ולכתוב $140, 148, \dots, 220$ - אבל בגרף של דף הנוסחאות כל רצועה היא חצי סטיית תקן.

168 הוא $180-12=180-1.5\cdot8$, כלומר סטיית תקן וחצי מתחת לממוצע. סוכמים את הרצועות שמשמאל ל-168:

טעות נפוצה: לסכום את הרצועות שמימין ל-168 ולענות $93\%$ - זה אחוז הכוסות שמכילות יותר מ-168 מ"ל.

42 הכוסות החסרות הן $7\%$ מכל הכוסות (סעיף ב). נסמן ב-$n$ את מספר הכוסות:

טעות נפוצה: לחלק באחוז המשלים, $\frac{42}{0.93}\approx45$ - אבל 42 הכוסות הן החסרות, כלומר ה-$7\%$.

ציון התקן: $z=\frac{x-\bar x}{S}$. מציבים ומבודדים את $x$:

טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של ציון התקן ולחשב $180+2.25\cdot8=198$ - אבל ציון תקן שלילי פירושו כמות קטנה מהממוצע.

$A$ ו-$B$ נמצאות על ציר ה-$x$, ולכן מציבים $y=0$:

$A(3,0)$, $B(11,0)$, ולכן $AB=11-3=8$ מטרים.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-$2a=2$ בנוסחת השורשים ולקבל $x=14\pm8$, כלומר $x=22$ או $x=6$, ואז $AB=16$ מטרים.

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ($a=0.1>0$), ולכן הנקודה הנמוכה ביותר היא הקדקוד:

הנקודה הנמוכה ביותר: $(7,-1.6)$. (בדיקה: $x=7$ באמצע בין $x=3$ ל-$x=11$.)

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בנוסחה ולקבל $x=-7$, ואז $y=4.9+9.8+3.3=18$ - נקודה $(-7,18)$ שאינה בשקע בכלל.

עד הנקודה $A$ ($x=3$) הרוכבת נוסעת על פני הקרקע, בגובה קבוע 0.

מ-$A$ הפרבולה (שפתוחה כלפי מעלה) יורדת עד הקדקוד ב-$x=7$, ואחריו עולה עד $B$.

לכן הרוכבת נסעה במגמת ירידה בתחום $3<x<7$.

טעות נפוצה: לענות $0<x<7$, כאילו המסלול הפרבולי מתחיל בדגל $O$ - אבל בין $O$ ל-$A$ הרוכבת על הקרקע ואינה יורדת.

מציבים $y=-1.2$:

שני הערכים בין 3 ל-11, כלומר בתוך השקע: פעם בירידה ופעם בעלייה.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן ($0.1x^2-1.4x+2.1=0$), ואז $x=7\pm\sqrt{28}$, כלומר $x\approx1.71$ או $x\approx12.29$ - נקודות מחוץ לשקע.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות עומדות בה. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקרובה לחץ (הקדמית).

השורה הקדמית, משמאל לימין: משבצת ריקה, עמודה של 2 ושתי קוביות בודדות - $0\ 2\ 1\ 1$.

השורה השנייה מלפנים: שתי עמודות של 2 ושתי קוביות בודדות - $2\ 2\ 1\ 1$.

השורה השלישית: עמודה של 3 משמאל, קובייה בודדת ושתי משבצות ריקות - $3\ 1\ 0\ 0$.

השורה האחורית: עמודה של 3 משמאל ושלוש קוביות בודדות - $3\ 1\ 1\ 1$.

(כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן מתחת לכל קובייה עליונה שרואים יש קוביות עד המשטח.)

טעות נפוצה: לכתוב את השורה הקדמית בראש התרשים ולקבל $0\,2\,1\,1\ /\ 2\,2\,1\,1\ /\ 3\,1\,0\,0\ /\ 3\,1\,1\,1$. בתרשים מספרים השורה הקרובה לחץ היא התחתונה, והתרשים ההפוך מתאר מבנה שהעמודות הגבוהות שלו בחזית.

במבט מימין רואים את השורות של המבנה: השורה הקדמית בצד שמאל של המבט והשורה האחורית בצד ימין. גובה כל עמודה במבט הוא הגובה הגדול ביותר בשורה המתאימה בתרשים המספרים:

המבט מימין: עמודות בגבהים 2, 2, 3, 3 משמאל לימין.

טעות נפוצה: לצייר את המבט מימין כתמונת ראי, עם השורה האחורית משמאל, ולקבל עמודות בגבהים 3, 3, 2, 2 משמאל לימין. זה המבט משמאל.

סופרים את הקוביות בעזרת תרשים מספרים של כל מבנה (מהשורה האחורית לקדמית):

מבנה I: $3\,1\,1\,1\ /\ 3\,1\,0\,0\ /\ 2\,2\,1\,1\ /\ 0\,2\,1\,1$ - סך הכול $6+4+6+4=20$.

מבנה II: $3\,3\,3\,2\ /\ 2\,1\,0\,0\ /\ 2\,2\,1\,1\ /\ 0\,1\,1\,1$ - סך הכול $11+3+6+3=23$.

מבנה III: $3\,3\,3\,2\ /\ 3\,2\,2\,0\ /\ 1\,1\,1\,2\ /\ 2\,1\,1\,1$ - סך הכול $11+7+5+5=28$.

מספר הקוביות הקטן ביותר - במבנה I.

טעות נפוצה: לספור רק את מה שרואים מהצד - לחבר את גובהי העמודות במבט מימין במקום לספור את כל הקוביות: ב-I $2+2+3+3=10$, ב-II $1+2+2+3=8$ וב-III $2+2+3+3=10$, ולענות II. אבל המבט מסתיר את כל הקוביות שמאחורי העמודה הגבוהה בכל שורה; ב-II יש 23 קוביות וב-I רק 20.

המבט מלמעלה מראה אילו משבצות תפוסות (לא כמה קוביות יש בהן).

במבנים I ו-II המשבצות התפוסות זהות: השורה האחורית מלאה, בשורה השלישית מלפנים ריקות שתי המשבצות הימניות, השורה השנייה מלפנים מלאה, ובשורה הקדמית ריקה המשבצת השמאלית.

במבנה III השורה הקדמית מלאה, ובשורה השלישית מלפנים ריקה רק המשבצת הימנית, ולכן המבט שלו מלמעלה שונה.

טעות נפוצה: לחשוב שהמבט מלמעלה מראה גם את הגבהים, להשוות את תרשימי המספרים (שכולם שונים זה מזה), ולענות שאין שני מבנים עם מבט זהה מלמעלה.

במבט מימין גובה כל עמודה הוא הגובה המרבי בשורה המתאימה (מהקדמית לאחורית):

מבנה I: $2,\ 2,\ 3,\ 3$ (סעיף ב).

מבנה II: $\max(0,1,1,1)=1$, $\max(2,2,1,1)=2$, $\max(2,1,0,0)=2$, $\max(3,3,3,2)=3$ - כלומר $1,\ 2,\ 2,\ 3$.

מבנה III: $\max(2,1,1,1)=2$, $\max(1,1,1,2)=2$, $\max(3,2,2,0)=3$, $\max(3,3,3,2)=3$ - כלומר $2,\ 2,\ 3,\ 3$.

המבט מימין זהה במבנים I ו-III.

טעות נפוצה: לחשב את הגובה המרבי בכל עמודה (משמאל לימין) במקום בכל שורה - זה המבט מלפנים. II ו-III נותנים בו $3,3,3,2$, ואז עונים II, III.

המבט מלפנים: הגובה המרבי בכל עמודה (משמאל לימין).

מבנה II: $3,3,3,2$; מבנה III: $3,3,3,2$; מבנה I: $\max(3,3,2,0)=3,\ \max(1,1,2,2)=2,\ \max(1,0,1,1)=1,\ \max(1,0,1,1)=1$.

במבנה I צריך להגביה את העמודה השנייה מ-2 ל-3, את העמודה השלישית מ-1 ל-3 ואת העמודה הרביעית מ-1 ל-2.

כדי שעמודה תגיע לגובה מסוים, ערימה אחת בה צריכה להגיע לגובה הזה. לכן הכי מעט קוביות - כשמגביהים בכל עמודה את הערימה הגבוהה שבה:

טעות נפוצה: לספור קובייה אחת לכל עמודה שצריך להגביה ולענות 3 קוביות. אבל העמודה השלישית צריכה לעלות בשתי קומות, מ-1 ל-3.

בעמודה השנייה הערימות הגבוהות (2) הן בשתי השורות הקדמיות: מניחים קובייה על אחת מהן, למשל השנייה מלפנים (3).

בעמודה השלישית כל הערימות בגובה 1: מניחים 2 קוביות על אחת מהן, למשל האחורית (3).

בעמודה הרביעית מניחים קובייה על ערימה בגובה 1, למשל האחורית (2).

בדיקה: הגבהים המרביים בעמודות הם $3,3,3,2$, כמו במבנים II ו-III, ובמבנה $20+4=24$ קוביות.

טעות נפוצה: לחלק את שתי הקוביות של העמודה השלישית בין שתי משבצות (למשל האחורית והשנייה מלפנים, כל אחת מ-1 ל-2). אז הגובה המרבי בעמודה הוא 2, והמבט מלפנים יוצא $3,3,2,2$ ולא $3,3,3,2$.

הגובה, הרדיוס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית, והקו היוצר הוא היתר שלו. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\sqrt{7.5^2-4^2}=\sqrt{40.25}\approx6.34$ - יוצא קצר מהגובה, אף שהקו היוצר הוא היתר ולכן הצלע הארוכה במשולש.

שטח המעטפת של חרוט: $\pi rl$.

טעות נפוצה: להציב את הגובה במקום הקו היוצר, $24\cdot\pi\cdot4\cdot7.5=720\pi\approx2261.9$ סמ"ר.

גובה הבקבוק: $5\cdot7.5=37.5$ ס"מ.

נפח גליל: $V=\pi r^2h$:

($r=-10$ נפסל - אורך חיובי.)

טעות נפוצה: להציב את גובה הכוס (7.5) במקום גובה הבקבוק: $r^2=\frac{3750}{7.5}=500$, $r\approx22.36$ ס"מ.

שטח המעטפת של גליל: $2\pi rh$, עם הרדיוס מסעיף ג והגובה של הבקבוק (37.5 ס"מ).

$750\pi<816\pi$, ולכן שטח המעטפת של הבקבוק קטן משטח המעטפת של 24 הכוסות יחד.

טעות נפוצה: להוסיף לשטח המעטפת את שני הבסיסים של הגליל (כלומר לחשב שטח פנים): $750\pi+2\cdot\pi\cdot10^2=950\pi>816\pi$ - ולענות שהבקבוק גדול.