מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 16 ברמת בגרות

$x$ ו-$y$ הם מספרי כלים, ולכן הם אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

האובניים: ספל דורש 6 דקות וקערה 12 דקות, ואפשר לעבוד על האובניים 120 דקות לכל היותר:

הזיגוג: ספל דורש 15 דקות וקערה 10 דקות, ואפשר להקדיש לזיגוג 180 דקות לכל היותר:

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי השורות ולכתוב $6x+15y\le120$ - אבל כל אילוץ שייך לשלב אחד, ולכן המקדמים שלו הם הזמנים שבעמודה של אותו שלב: 6 דקות לספל ו-12 דקות לקערה על האובניים.

מפשטים את האילוצים: $6x+12y\le120$ הוא (בחילוק ב-6) $x+2y\le20$, ו-$15x+10y\le180$ הוא (בחילוק ב-5) $3x+2y\le36$.

נקודות החיתוך עם הצירים: הישר $x+2y=20$ חותך את הצירים ב-$(0,10)$ וב-$(20,0)$; הישר $3x+2y=36$ חותך אותם ב-$(0,18)$ וב-$(12,0)$.

$A$ על ציר ה-$y$, והתחום האפשרי מסתיים בחיתוך הנמוך מבין השניים: $A(0,10)$ (הנקודה $(0,18)$ לא מקיימת את אילוץ האובניים: $12\cdot18=216>120$).

$B$ על ציר ה-$x$, בחיתוך הקרוב מבין השניים: $B(12,0)$ (הנקודה $(20,0)$ לא מקיימת את אילוץ הזיגוג: $15\cdot20=300>180$).

$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים - מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה:

$C(8,6)$.

טעות נפוצה: לקחת את $A(0,18)$, נקודת החיתוך של ישר הזיגוג עם ציר ה-$y$ - אבל בנקודה זו זמן העבודה על האובניים הוא $12\cdot18=216$ דקות, יותר מ-120.

כל ספל מכניס 35 שקלים וכל קערה 50 שקלים, ולכן הרווח הכולל הוא:

מחפשים את הרווח המקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין הרווחים ולכתוב $f(x,y)=50x+35y$ - אבל $x$ הוא מספר הספלים, שהרווח מכל אחד מהם הוא 35 שקלים.

התחום האפשרי סגור, ולכן הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקדקודים. מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

$O(0,0)$: $f=0$

$A(0,10)$: $f=35\cdot0+50\cdot10=500$

$B(12,0)$: $f=35\cdot12+50\cdot0=420$

$C(8,6)$: $f=35\cdot8+50\cdot6=280+300=580$

הרווח המקסימלי, 580 שקלים, מתקבל ב-$C(8,6)$: 8 ספלים ו-6 קערות.

טעות נפוצה: לבחור בקדקוד $A$ כי הרווח מקערה (50) גדול מהרווח מספל (35), ולענות 0 ספלים ו-10 קערות - אבל הרווח שם הוא רק 500 שקלים.

הרווח ביום שבו התקלקל התנור:

הרווח המקסימלי ביום רגיל (סעיף ג(2)) הוא 580 שקלים, ולכן הרווח קטן ב-

שקלים.

טעות נפוצה: להציב את 7 הספלים ו-5 הקערות עם רווחים מוחלפים, $50\cdot7+35\cdot5=525$, ולקבל $580-525=55$ שקלים.

$E$ הוא אמצע הקטע $AB$, ולכן כל שיעור של $E$ הוא ממוצע השיעורים המתאימים של $A$ ושל $B$:

$B(6,7)$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $A$ ושל $E$, $\left(\frac{-6+0}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(-3,1)$ - אבל $E$ הוא האמצע, ו-$B$ הוא הקצה השני של הקטע.

(אפשר גם בעזרת $A$ ו-$E$: $\frac{3-(-1)}{0-(-6)}=\frac46=\frac23$.)

טעות נפוצה: לחסר בסדר שונה במונה ובמכנה, $\frac{7-(-1)}{-6-6}=-\frac23$ - ומקבלים שיפוע שלילי לצלע שעולה משמאל לימין.

$\sphericalangle ABC=90^\circ$, ולכן $BC\perp AB$. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$:

הישר עובר ב-$B(6,7)$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן, $m_{BC}=\frac32$, ולקבל $y=\frac32x-2$ - מכפלת השיפועים אז היא $1$ ולא $-1$.

$C$ על הישר $BC$ ועל ציר ה-$y$, ולכן מציבים $x=0$ במשוואת $BC$:

$C(0,16)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$: $0=-\frac32x+16$, $x=\frac{32}{3}$ - ומקבלים $\left(\frac{32}{3},0\right)$, נקודת החיתוך של $BC$ עם ציר ה-$x$.

$AD\parallel BC$, ולכן לישר $AD$ אותו שיפוע כמו ל-$BC$: $-1.5$. מתאימות רק I ו-III.

$AD$ עובר ב-$A(-6,-1)$. מציבים $x=-6$:

I: $-1.5\cdot(-6)+3=12\ne-1$ - לא עוברת ב-$A$. III: $-1.5\cdot(-6)-10=-1$ - מתאימה.

$CD$ עובר ב-$C(0,16)$, כלומר חותך את ציר ה-$y$ ב-16. מבין המשוואות שנשארו (II ו-IV) רק II מתאימה: $-0.5\cdot0+16=16$, וב-IV מקבלים $-4$.

לכן $AD$ – III ו-$CD$ – II.

טעות נפוצה: לבחור ל-$AD$ את משוואה IV רק כי היא עוברת ב-$A$ ($-0.5\cdot(-6)-4=-1$), בלי לבדוק את השיפוע; אבל השיפוע שלה $-0.5$, והיא אינה מקבילה ל-$BC$.

$D$ הוא נקודת החיתוך של $AD$ ו-$CD$. משווים:

$y=-0.5\cdot(-26)+16=13+16=29$. $D(-26,29)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן בצעד האחרון ולכתוב $x=26$ מתוך $-x=26$; אז מקבלים מהמשוואה של $AD$ את $D(26,-49)$ - נקודה שאינה על $CD$ ($-0.5\cdot26+16=3\ne-49$).

הצלע $EC$ מונחת על ציר ה-$y$: $E(0,3)$, $C(0,16)$, ולכן $EC=16-3=13$.

הגובה מ-$D$ לצלע $EC$ הוא המרחק של $D$ מציר ה-$y$, כלומר $|x_D|=26$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את שיעור ה-$y$ של $D$ (29) במקום את המרחק שלו מציר ה-$y$, ולקבל $\frac{13\cdot29}{2}=188.5$.

כל רצועה היא חצי סטיית תקן. סופרים מהממוצע:

130 נמצא בשנתה שבין 9% ל-5% משמאל - שלוש רצועות משמאל לממוצע: $130=\bar x-1.5S$.

180 נמצא בשנתה שבין 15% ל-9% מימין - שתי רצועות מימין: $180=\bar x+S$.

טעות נפוצה: לספור כל רצועה כסטיית תקן שלמה: $130=\bar x-3S$, $180=\bar x+2S$, ולקבל $S=10$.

$150=160-10=\bar x-0.5S$ - רצועה אחת משמאל לממוצע.

מעל $\bar x-0.5S$: הרצועה של 19% שמשמאל לממוצע ועוד כל החצי הימני:

טעות נפוצה: לחשב את האחוז שמתחת ל-150 ($0.5+1.5+5+9+15=31\%$) ולענות 31%, כשהשאלה היא על התפוחים הכבדים מ-150.

$140=\bar x-S$ ו-$190=\bar x+1.5S$. סכום הרצועות ביניהם:

טעות נפוצה: לזהות את 190 כ-$\bar x+2S$ (ולהוסיף את רצועת ה-5%), לקבל $82\%$ ו-9,840 תפוחים. $\bar x+2S=200$.

$140<186<190$, ולכן התפוח נארז כ"סוג א'".

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר ($160-1.3\cdot20=134$) ולענות שהתפוח אינו מסוג א'. ציון תקן חיובי פירושו מעל הממוצע.

$A$ ו-$B$ הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-$x$ (גובה 0, הקרקע). מציבים $y=0$:

לפי הסרטוט $A$ קרובה יותר לעץ: $A(3,0)$, $B(9,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת השורשים ולקבל $x=12\pm6$, כלומר $A(6,0)$ ו-$B(18,0)$.

המקדם של $x^2$ שלילי, ולכן לפרבולה יש נקודת מקסימום - הקדקוד:

הגובה המקסימלי הוא 1.8 מטרים (באמצע הקפיצה, 6 מטרים מהעץ).

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם, $(-0.2\cdot6)^2=1.44$, ולקבל $1.44+14.4-5.4=10.44$ מטרים.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן היא עולה עד הקדקוד ($x=6$) ויורדת אחריו.

הקנגורו נע מ-$A$ ($x=3$) ל-$B$ ($x=9$), ולכן הוא יורד כאשר $6<x<9$.

טעות נפוצה: לענות $3<x<6$ - זה החלק שבו הקנגורו עולה.

מציבים $y=1$:

במגמת ירידה $6<x<9$ (סעיף ג(1)), ולכן $x=8$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $x=4$ - בו הקנגורו עבר בגובה 1 מטר בדרך למעלה, במגמת עלייה.

בכל משבצת של התרשים המספרי כותבים את מספר הקוביות שעומדות בה.

מבנה ראשון: תרשים מספרי (השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית):

מבט מלפנים: בכל עמודה רואים את הגובה הגדול ביותר בה. משמאל לימין: 3, 1, 2.

מבט מימין: בכל שורה (מקדימה לאחור) רואים את הגובה הגדול ביותר בה. במבט מימין השורה הקדמית מופיעה משמאל: 2, 2, 3.

מבט מלמעלה: כל המשבצות מלאות חוץ מהמשבצת המרכזית.

מבנה שני: תרשים מספרי (השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית):

מבט מלפנים: בכל עמודה רואים את הגובה הגדול ביותר בה. משמאל לימין: 3, 3, 2.

מבט מימין: בכל שורה (מקדימה לאחור) רואים את הגובה הגדול ביותר בה. במבט מימין השורה הקדמית מופיעה משמאל: 3, 2, 3.

מבט מלמעלה: כל המשבצות מלאות חוץ מהמשבצת האמצעית השמאלית.

טעות נפוצה: במבט מלמעלה של המבנה הראשון לסמן גם את המשבצת המרכזית, כי "רואים" שם קוביות מסביב. במשבצת הזאת אין אף קובייה, והיא נשארת ריקה.

טעות נפוצה: לספור רק את הקוביות שרואים בציור ולדלג על הקוביות התחתונות שמוסתרות מאחורי העמודות הקדמיות. (למשל, לספור את העמודה האחורית האמצעית כקובייה אחת, כי רק החלק העליון שלה נראה, ולקבל 13.)

המבטים של המבנה השני: מלפנים $3, 3, 2$, מימין $3, 2, 3$, ומלמעלה - כל המשבצות חוץ מהאמצעית השמאלית.

בעמודה האחורית השמאלית יש 2. הגובה 3 בעמודה השמאלית מגיע מהקדמית השמאלית, והגובה 3 בשורה האחורית מגיע מהאחורית האמצעית - לכן אפשר להוריד ממנה קובייה:

טעות נפוצה: להוריד קובייה מהעמודה האמצעית הימנית ($2\to1$). זו העמודה היחידה בגובה 2 בעמודה הימנית, ולכן המבט מלפנים משתנה ל-$3, 3, 1$.

נפח תיבה הוא אורך × רוחב × גובה:

טעות נפוצה: לחשב את שטח הפנים של התיבה במקום את הנפח: $2(45\cdot30+45\cdot32+30\cdot32)=7{,}500$ - זה שטח (סמ"ר), לא נפח.

נפח גליל: שטח הבסיס (עיגול) כפול הגובה:

טעות נפוצה: לחשב את שטח המעטפת של הגליל במקום את הנפח: $2\pi\cdot6\cdot20=240\pi\approx753.98$.

הנפח המינימלי של הקרח לפי ההמלצה - 5% מנפח הצידנית:

מכל קרח א': $2{,}261.95\ge2{,}160$ - מתאים.

שקית קרח ב': $2{,}200\ge2{,}160$ - מתאימה.

שתי האפשרויות מתאימות להמלצת היצרן.

טעות נפוצה: לחלק ב-5 במקום לחשב 5%, $\frac{43{,}200}{5}=8{,}640$ סמ"ק - ואז נראה שאף אפשרות לא מתאימה.

מכל הקרח תופס חלק מנפח הצידנית (גובהו 20 ס"מ, פחות מ-32 ס"מ, וקוטרו 12 ס"מ, ולכן הוא כולו בתוך הצידנית). לאוכל ולשתייה נשאר רק מה שהמכל לא תופס:

כלומר כ-40,938 סמ"ק (כ-41 ליטר).

טעות נפוצה: לשכוח את $\pi$ בנפח המכל ולחסר 720: $43{,}200-720=42{,}480$ סמ"ק.