מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 1 בדרך לבגרות

הרכבה: 3 שעות לשולחן ושעה לכיסא, לכל היותר 24 שעות: $3x+y\le24$.

צביעה: 2 שעות לשולחן ו-3 שעות לכיסא, לכל היותר 30 שעות: $2x+3y\le30$.

מספרי הרהיטים אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לתרגם "לכל היותר" ל-$\ge$ ולכתוב $3x+y\ge24$. "לכל היותר 24 שעות" פירושו שהזמן הכולל קטן מ-24 או שווה לו.

קודקוד על ציר ה-$x$: מבין שני הישרים, התחום נעצר בישר שחותך את ציר ה-$x$ קודם. $3x+y=24$ חותך ב-$x=8$ ו-$2x+3y=30$ ב-$x=15$, ולכן הקודקוד הוא $(8,0)$.

קודקוד על ציר ה-$y$: $3x+y=24$ חותך ב-$y=24$ ו-$2x+3y=30$ ב-$y=10$, ולכן הקודקוד הוא $(0,10)$.

הקודקוד השלישי הוא נקודת החיתוך של שני הישרים. מהראשון $y=24-3x$:

ועוד הראשית $(0,0)$.

טעות נפוצה: לחבר את נקודת החיתוך של ישר אחד עם ציר ה-$x$ לנקודת החיתוך של הישר השני עם ציר ה-$y$ ולכתוב את הקודקוד $(8,10)$. נקודה זו אינה מקיימת את אילוץ ההרכבה: $3\cdot8+10=34>24$.

פונקציית המטרה: $P=300x+200y$ (מקסימום).

מציבים את הקודקודים מסעיף ב:

$(0,0)$: $0$. $(8,0)$: $2400$. $(6,6)$: $300\cdot6+200\cdot6=3000$. $(0,10)$: $2000$.

הרווח המקסימלי הוא 3,000 שקלים, כשמייצרים 6 שולחנות ו-6 כיסאות.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הקודקודים שעל הצירים ולענות 8 שולחנות בלבד (רווח של 2,400 שקלים).

נקודה אפשרית צריכה לקיים את כל האילוצים. מציבים $x=5$, $y=8$:

הרכבה: $3\cdot5+8=23\le24$ - מתקיים.

צביעה: $2\cdot5+3\cdot8=34>30$ - לא מתקיים.

הנקודה $(5,8)$ מחוץ לתחום האפשרי, ולכן אי אפשר לייצר 5 שולחנות ו-8 כיסאות.

טעות נפוצה: לבדוק רק את אילוץ ההרכבה ($23\le24$) ולענות "כן". מספיק שאילוץ אחד אינו מתקיים כדי שהתוכנית אינה אפשרית.

מכונה א': $4x+2y\le20$. מכונה ב': $2x+4y\le16$. וגם $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: להחליף בין הזמנים המרביים של המכונות ולכתוב $4x+2y\le16$ ו-$2x+4y\le20$.

$4x+2y=20$ חותך את הצירים ב-$(5,0)$ וב-$(0,10)$; $2x+4y=16$ חותך אותם ב-$(8,0)$ וב-$(0,4)$.

$(0,0)$ מקיימת את שני האילוצים, ולכן התחום מתחת לשני הישרים, ברביע הראשון:

טעות נפוצה: לסמן את התחום שמעל הישרים - בלי לבדוק בנקודה $(0,0)$ - ולקבל תחום פתוח שאינו מכיל את הראשית.

פותרים את המערכת. מחלקים את המשוואות ב-2:

מהראשונה $y=10-2x$, ומציבים בשנייה: $x+20-4x=8$, ולכן $x=4$ ו-$y=2$.

בדיקה: $4\cdot4+2\cdot2=20$ ו-$2\cdot4+4\cdot2=16$ - הנקודה $(4,2)$ על שני הישרים.

טעות נפוצה: לחלק ב-2 רק את אגף שמאל של $2x+4y=16$ ולכתוב $x+2y=16$ - כך מתקבלת נקודת חיתוך שגויה, $\left(\frac43,\frac{22}{3}\right)$.

מחפשים מקסימום.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=5000x+3000y$.

מציבים את הקודקודים:

המקסימום, 22,000 שקלים, ב-$(4,2)$: 4 טונות גבינה צהובה ו-2 טונות גבינה לבנה.

טעות נפוצה: לייצר רק את הגבינה הרווחית יותר, $(0,4)$, ולקבל רווח של 20,000 בלבד.

(בדיקה: $4\cdot3+2\cdot1=14\le20$ ו-$2\cdot3+4\cdot1=10\le16$ - ייצור אפשרי.)

טעות נפוצה: להציב את ה-1 במקום $x$: $3000+5000y=14000$, ולענות 2.2 טונות.

המרחק בין שנתות הוא חצי סטיית תקן: $\frac{20}{2}=10$ גרם. מהממוצע 200 מוסיפים ומחסירים 10:

טעות נפוצה: לקפוץ ב-20 בין שנתות ולכתוב 100, 120, ..., 300.

220 הוא סטיית תקן אחת מעל הממוצע (שתי שנתות). מעליו הרצועות:

(או: $50\%-19\%-15\%=16\%$.)

טעות נפוצה: לקחת את האחוז שבין הממוצע ל-220, $19\%+15\%=34\%$ - זה האחוז מתחת ל-220 ומעל 200, לא מעל 220.

לפי סעיף ב, 16% מהתפוזים:

טעות נפוצה: לקחת את האחוז שבין הממוצע ל-220 (34%) במקום האחוז מעל 220, ולקבל $0.34\cdot1500=510$ תפוזים.

$170<180$, ולכן התפוז יישלח לסחיטה.

טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של ציון התקן, $200+1.5\cdot20=230$, ולענות שהתפוז לא יישלח לסחיטה.

על ציר ה-$x$: $y=0$.

$x=0$ (נקודת הבעיטה) או $-0.2x+2=0$, כלומר $x=10$ (נקודת הנחיתה).

הכדור עבר 10 מטרים במרחק אופקי.

טעות נפוצה: לפתור $-0.2x+2=0$ כ-$x=2\cdot0.2=0.4$ - צריך לחלק: $x=\frac{2}{0.2}=10$.

$a=-0.2$, $b=2$:

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם: $(-0.2\cdot5)^2+10=11$.

טעות נפוצה: לחשב $(-0.2\cdot2)^2=0.16$ במקום $-0.2\cdot4=-0.8$, ולקבל $4.16$.

ציר הסימטריה הוא $x=5$. הנקודה $x=2$ נמצאת 3 מטרים משמאל לציר, ולכן הנקודה הסימטרית לה נמצאת 3 מטרים מימין לציר:

בדיקה: $y(8)=-0.2\cdot64+16=-12.8+16=3.2$.

טעות נפוצה: להוסיף לציר הסימטריה את 2 (שיעור הנקודה) במקום את המרחק שלה מהציר, ולקבל $x=7$.

סוכמים את כל המספרים בתרשים: $1+3+2+1+2+0=9$.

טעות נפוצה: לספור את המשבצות שיש בהן קוביות (5) במקום את הקוביות עצמן.

בכל עמודה רואים את הגובה המרבי מבין השורה הקדמית והאחורית: $\max(1,1)=1$, $\max(3,2)=3$, $\max(2,0)=2$.

טעות נפוצה: לסרטט רק את השורה הקדמית (1, 2, 0) - הקוביות שבשורה האחורית בולטות מעליה ונראות מלפנים.

הצופה מימין מסתכל שמאלה: השורה הקדמית נמצאת משמאלו והאחורית מימינו.

בכל שורה - הגובה המרבי: קדמית $\max(1,2,0)=2$, אחורית $\max(1,3,2)=3$.

טעות נפוצה: לשים את השורה האחורית בצד שמאל ולסרטט 3, 2.

נפח קובייה: $4^3=64$ סמ"ק. במבנה 9 קוביות:

טעות נפוצה: לחשב לכל קובייה $4^2=16$ ולענות 144 סמ"ק.

טעות נפוצה: לחסר, $\sqrt{16^2-12^2}=\sqrt{112}\approx10.6$.

טעות נפוצה: להציב את הגובה במקום הקו היוצר ולקבל $192\pi$.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולענות $r=49$.

$280\pi>240\pi$, ולכן באהיל ב יש יותר בד.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 ולחשב $\pi\cdot7\cdot20=140\pi<240\pi$ - ולענות שבאהיל א יש יותר בד.