מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 3 ברמת בגרות

$x$ ו-$y$ הם מספרי פרחים: $x\ge0$, $y\ge0$.

אילוץ העלות: $x$ ורדים עולים $8x$ שקלים ו-$y$ חמניות עולות $5y$ שקלים, ויחד לכל היותר 200:

אילוץ הכמות: לכל היותר 31 פרחים בזר:

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולכתוב $5x+8y\le200$ - המקדם של $x$ (מספר הוורדים) הוא מחיר ורד, 8.

$A$ על ציר ה-$y$ ($x=0$): $5y\le200\Rightarrow y\le40$ ו-$y\le31$. המגביל הוא אילוץ הכמות:

$B$ על ציר ה-$x$ ($y=0$): $8x\le200\Rightarrow x\le25$ ו-$x\le31$. המגביל הוא אילוץ העלות:

$C$ היא החיתוך של הישרים $8x+5y=200$ ו-$x+y=31$. מציבים $y=31-x$:

טעות נפוצה: לקחת עבור $A$ את החיתוך של אילוץ העלות עם ציר ה-$y$, $A(0,40)$ - הנקודה הזאת לא מקיימת $x+y\le31$.

רווח מהוורדים: $4x$; רווח מהחמניות: $3y$.

מחפשים את הרווח המקסימלי.

טעות נפוצה: לכתוב את פונקציית המטרה לפי המחירים שבאילוץ, $8x+5y$ - זו העלות של הפרחים, לא הרווח.

התחום סגור, ולכן המקסימום בקודקוד:

המקסימום ב-$C$: 15 ורדים ו-16 חמניות, רווח של 108 שקלים.

טעות נפוצה: להניח בלי הצבה שכדאי זר של ורדים בלבד, כי הרווח מוורד גדול יותר, ולענות 25 ורדים ו-0 חמניות (רווח 100 שקלים).

זר למלון: $x=22$, $y=0$:

זר לחברת האירועים הוא זר הרווח המקסימלי (סעיף ג(2)): 108 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב את הרווח מ-22 הוורדים לפי 3 שקלים לפרח, $3\cdot22=66$, ולקבל הפרש של $108-66=42$ שקלים.

$E$ אמצע $AB$:

לכן $B(-2,16)$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $A$ ו-$E$ במקום את הקצה: $(4,4)$.

השיפוע שלילי: כשהולכים ימינה, הישר יורד (מ-$B$ ל-$A$).

טעות נפוצה: לחסר את שיעורי ה-$x$ בסדר הפוך מזה של שיעורי ה-$y$: $\frac{16-0}{6-(-2)}=2$ - ולקבל שיפוע חיובי.

$AC\perp AB$, ולכן $m_{AC}=-\frac{1}{-2}=\frac12$.

דרך $A(6,0)$:

טעות נפוצה: להפוך רק את הסימן ולקחת $m_{AC}=2$, ולקבל $y=2x-12$.

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן $y_C=y_B=16$. מציבים במשוואת $AC$:

לכן $C(38,16)$.

טעות נפוצה: להעביר את $-3$ לאגף השני בלי להפוך סימן: $\frac12x=13$, ולקבל $C(26,16)$.

$D$ ו-$B$ על הישר האנכי $x=-2$, ולכן $DB=16-6=10$.

$AD=DB=10$, ולכן המשולש $ADB$ שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחשב את הפרש ה-$x$ כ-$-2+6=4$ במקום $-2-6=-8$, לקבל $AD=\sqrt{4^2+6^2}\approx7.21$, ולהסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים.

$AD=DB=10$ (סעיף ד).

$BC=38-(-2)=40$.

טעות נפוצה: לחשב $BC=38-2=36$ (לשכוח שהשיעור של $B$ שלילי) ולקבל היקף של כ-$91.78$.

צוברים את האחוזים מהזנב הימני עד 7%:

אלה שלוש רצועות של חצי סטיית תקן, כלומר 178 נמצא $1.5$ סטיות תקן מעל הממוצע:

טעות נפוצה: להסיק ש-178 נמצא מתחת לממוצע ולחשב $\bar x=178+18=196$. "יותר מ-178" הוא הזנב הימני.

השנתה האמצעית היא 160, והמרווח בין שנתות סמוכות הוא חצי סטיית תקן: 6 גרם.

בדיקה: 178 נמצא בשנתה $\bar x+1.5S$.

טעות נפוצה: לקפוץ ב-12 גרם בין שנתות ולקבל ערכים מ-100 עד 220.

154 נמצא בשנתה $\bar x-0.5S$. מתחתיה יש חמש רצועות:

טעות נפוצה: לסכם את הרצועות שמעל השנתה ולענות 69% - זה אחוז התפוחים ששוקלים יותר מ-154 גרם.

לפי סעיף ב, 31% מהתפוחים שוקלים פחות מ-154 גרם, ויש 372 כאלה:

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה הצמודה מתחת ל-154 (15%) ולחשב $\frac{372}{0.15}=2{,}480$ תפוחים. "פחות מ-154" כולל את כל הרצועות עד הזנב - 31%.

ציון תקן גדול מ-2: מעל השנתה $\bar x+2S$ - $1.5\%+0.5\%=2\%$.

ציון תקן קטן מ-$(-1.5)$: מתחת לשנתה $\bar x-1.5S$ - $0.5\%+1.5\%+5\%=7\%$.

טעות נפוצה: לחשב את האחוז שבין שני הגבולות ($100\%-9\%=91\%$) - אלה התפוחים שלא נשלחים למיץ.

$-1.67<-1.5$, ולכן התפוח נשלח לייצור מיץ.

טעות נפוצה: להחליף את סדר החיסור ($\frac{160-140}{12}\approx1.67$), לקבל ציון בין $-1.5$ ל-2 ולענות "לא". תפוח קל מהממוצע מקבל ציון תקן שלילי.

$D$ על המסלול מעל הראשית, כלומר $x=0$:

גובה עמוד התמיכה 8 מטרים.

טעות נפוצה: לפתור $-0.5x^2+3x+8=0$ (חיתוך עם ציר ה-$x$), לקבל $x=-2$ ולענות שגובה העמוד 2 מטרים.

$A$ ו-$B$ על הקרקע, ולכן $y=0$:

$x=-2$ או $x=8$, כלומר $A(-2,0)$ ו-$B(8,0)$.

טעות נפוצה: לחלק ב-2 במקום ב-$2a=-1$, לקבל $x=1$ ו-$x=-4$ ולענות $AB=5$.

$a=-0.5<0$, ולכן הקדקוד הוא מקסימום:

הגובה המקסימלי 12.5 מטרים.

טעות נפוצה: להתעלם מה-0.5 ולחשב $x=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=1.5$, ולקבל גובה של 11.375 מטרים.

פרבולת מקסימום יורדת מימין לקדקוד, $x>3$, והמסלול מסתיים ב-$B$, $x=8$.

לכן: $3<x<8$.

טעות נפוצה: לענות $x>3$ בלי להגביל לסוף המסלול.

מחפשים נקודה נוספת על המסלול בגובה 8:

$x=0$ (העמוד $OD$) או $x=6$.

דרך אחרת: הנקודה הסימטרית ל-$D$ ביחס לציר הסימטריה $x=3$ היא $x=6$.

המרחק בין העמודים: 6 מטרים.

טעות נפוצה: לענות 3 מטרים - המרחק לציר הסימטריה בלבד.

התרשים המספרי (סעיף ב):

(1) מלפנים - הגובה המרבי בכל עמודה: שמאלית $\max(0,0,2)=2$, אמצעית $\max(1,1,3)=3$, ימנית $\max(1,2,0)=2$.

(2) מימין - הגובה המרבי בכל שורה, כשהשורה הקדמית בצד שמאל: קדמית 1, אמצעית 2, אחורית 3.

(3) מלמעלה - המשבצות התפוסות:

טעות נפוצה: לסדר את המבט מימין מהשורה האחורית לקדמית ולקבל עמודות בגובה 3, 2, 1 - זה המבט משמאל.

קוראים את הציור שורה אחר שורה, מהשורה שהחץ מצביע עליה (קדמית):

קדמית: משבצת ריקה, קובייה אחת, קובייה אחת. אמצעית: ריקה, קובייה אחת, עמודה של 2. אחורית: עמודה של 2, עמודה של 3, ריקה.

בסך הכול 10 קוביות.

טעות נפוצה: לרשום את השורה הקדמית בראש התרשים ולקבל למעלה 0, 1, 1 ולמטה 2, 3, 0. בתרשים מספרי השורה הקדמית היא השורה התחתונה.

מבט מלמעלה לא משתנה - מוסיפים רק על משבצת תפוסה.

מבט מימין לא משתנה - אסור לעבור את הגובה המרבי של השורה: קדמית 1, אמצעית 2, אחורית 3.

קדמית: העמודות כבר בגובה 1 - אי אפשר. אמצעית: העמודה האמצעית בגובה 1, אפשר להגביה ל-2; הימנית כבר 2. אחורית: העמודה השמאלית בגובה 2, אפשר להגביה ל-3; האמצעית כבר 3.

אפשרות אחת (שורה אמצעית 0, 2, 2):

האפשרות השנייה: שורה אחורית 3, 3, 0.

טעות נפוצה: לבדוק את המבט מלפנים במקום את המבט מימין ולהוסיף על העמודה האמצעית בשורה הקדמית (קדמית 0, 2, 1). המבט מלפנים ומלמעלה לא משתנים, אבל במבט מימין העמודה של השורה הקדמית עולה מ-1 ל-2.

נפח הבקבוק 1,920 סמ"ק.

טעות נפוצה: לכפול את צלע הבסיס בגובה בלי להעלות בריבוע: $8\cdot30=240$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 ($4h=72$) ולקבל $h=18$ ס"מ.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר (8): $\pi\cdot64\cdot9=576\pi\approx1809.6$ סמ"ק.

כמות המיץ בכל כוס: $0.9\cdot144\pi=129.6\pi\approx407.2$ סמ"ק.

בבקבוק יש 1,920 סמ"ק, ו-$1920<2035.8$, ולכן המיץ לא יספיק (חסרים כ-116 סמ"ק).

טעות נפוצה: לחשב לכוס אחת בלבד ($407.2$ סמ"ק) ולהסיק שהמיץ יספיק - צריך למלא 5 כוסות.

טעות נפוצה: לענות $a=80$ ס"מ - זה שטח הבסיס, לא אורך הצלע.