מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 4 ברמת בגרות

מספר הפריטים לא יכול להיות שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

בערכה יש לכל היותר 30 פריטים:

המשקל של $x$ עטים הוא $20x$ גרם, והמשקל של $y$ מחברות הוא $50y$ גרם:

טעות נפוצה: לכתוב את אילוץ המשקל עם המשקלים מוחלפים, $50x+20y\le1200$ - $x$ הוא מספר העטים, וכל עט שוקל 20 גרם.

חיתוכי הישר $x+y=30$ עם הצירים: $(0,30)$ ו-$(30,0)$.

חיתוכי הישר $20x+50y=1200$ עם הצירים: $(0,24)$ ו-$(60,0)$.

על ציר ה-$y$ התחום נגמר בנקודה הנמוכה מבין $(0,30)$ ו-$(0,24)$: $A(0,24)$ (מהישר של המשקל).

על ציר ה-$x$ התחום נגמר בנקודה הקרובה לראשית מבין $(30,0)$ ו-$(60,0)$: $B(30,0)$ (מהישר של מספר הפריטים).

$C$: מחלקים את המשוואה השנייה ב-10 ופותרים:

מהמשוואה הראשונה $x=30-y$. מציבים: $2(30-y)+5y=120$, כלומר $60+3y=120$, $y=20$ ו-$x=10$. לכן $C(10,20)$.

טעות נפוצה: לקחת את $B$ מהישר של המשקל, $B(60,0)$ - אבל ערכה עם 60 עטים לא מקיימת $x+y\le30$.

הרווח מ-$x$ עטים הוא $2x$ שקלים, והרווח מ-$y$ מחברות הוא $3y$ שקלים:

מחפשים את הערך המקסימלי של $f$.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $f=3x+2y$ - הרווח מעט אחד (המשתנה $x$) הוא 2 שקלים.

מציבים את קדקודי התחום בפונקציית המטרה:

$O(0,0)$: $f=0$

$A(0,24)$: $f=2\cdot0+3\cdot24=72$

$B(30,0)$: $f=2\cdot30+3\cdot0=60$

$C(10,20)$: $f=2\cdot10+3\cdot20=80$

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-$C$: 10 עטים ו-20 מחברות.

טעות נפוצה: לבחור ב-$A$ כי "המחברת רווחית יותר", ולשים רק מחברות: 0 עטים ו-24 מחברות - שם הרווח הוא 72 שקלים בלבד.

מציבים את $C(10,20)$:

טעות נפוצה: להציב בפונקציה עם מקדמים מוחלפים: $3\cdot10+2\cdot20=70$, ולענות 70 שקלים.

בודקים את הנקודה $(25,6)$ בכל האילוצים:

$25\ge0$ ו-$6\ge0$ - מתקיים.

$20\cdot25+50\cdot6=500+300=800\le1200$ - מתקיים.

$25+6=31>30$ - לא מתקיים.

בערכה כזאת יש 31 פריטים, יותר מהמותר, ולכן לא ייתכן.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המשקל ($800\le1200$) ולענות שכן ייתכן - הנקודה צריכה לקיים את כל האילוצים.

$A$ על ציר ה-$y$ ($x=0$): $y=4$, כלומר $A(0,4)$.

$B$ על ציר ה-$x$ ($y=0$):

$B(8,0)$.

טעות נפוצה: לחלק ב-2 במקום לכפול ב-2 ולקבל $x=2$, כלומר $B(2,0)$.

$m_{AB}=-\frac12$, ו-$BC\perp AB$, ולכן $m_{BC}=2$ (מכפלת השיפועים $-1$).

דרך $B(8,0)$:

טעות נפוצה: לקחת את השיפוע הנגדי בלי להפוך, $m=\frac12$, ולקבל $y=\frac12x-4$.

$CD\parallel$ ציר ה-$x$, ולכן ל-$C$ אותו שיעור $y$ כמו ל-$D$: $y=8$.

מציבים במשוואת $BC$:

$C(12,8)$.

טעות נפוצה: להציב את שיעור ה-$x$ של $D$ במשוואת $BC$: $y=2\cdot7-16=-2$, ולקבל $C(7,-2)$.

$E(10,4)$.

טעות נפוצה: לחסר את השיעורים במקום לחבר: $\frac{12-8}{2}=2$, $\frac{8-0}{2}=4$, ולקבל $E(2,4)$.

$ED=DC=5$, ולכן המשולש $EDC$ שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחבר את ההפרשים בלי שורש ובלי ריבוע, $ED=3+4=7$ - ולהסיק שאין צלעות שוות.

טעות נפוצה: לכתוב את $EC$ בלי השורש, $20$, ולקבל היקף של $30$.

160 קטן מהממוצע - הזנב השמאלי. צוברים משמאל עד 16%:

ארבע רצועות של חצי סטיית תקן מהקצה מגיעות לשנתה $\bar x-S$:

טעות נפוצה: לספור ארבע רצועות של חצי סטיית תקן מהממוצע (במקום מהקצה), כלומר $180-2S=160$, ולקבל $S=10$.

התפוחים לייצוא הם 31% הכבדים ביותר - הזנב הימני. צוברים מימין:

חמש רצועות מהקצה הימני מגיעות לשנתה $\bar x+0.5S$:

טעות נפוצה: לצבור את 31% משמאל (התפוחים הקלים) ולענות $180-0.5\cdot20=170$ גרם.

$\frac{150-180}{20}=-1.5$, כלומר 150 הוא $\bar x-1.5S$.

מתחת לשנתה הזו יש שלוש רצועות:

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה שצמודה לשנתה (5%) ולשכוח את שתי הרצועות שבקצה.

טעות נפוצה: לחלק במקום לכפול, $\frac{3500}{7}=500$.

הקוטף בחר רק תפוחים שציון התקן שלהם גדול מ-0.75, ו-$0.65<0.75$ - לכן לא ייתכן שבחר תפוח של 193 גרם.

דרך אחרת: ציון תקן 0.75 מתאים ל-$180+0.75\cdot20=195$ גרם, והקוטף בחר רק תפוחים כבדים מ-195 גרם; $193<195$.

טעות נפוצה: בדרך של ערך הסף לשכוח לכפול בסטיית התקן - $180+0.75=180.75$ גרם - ולהסיק שתפוח של 193 גרם עומד בתנאי ("כן").

$A$ על ציר ה-$y$, ולכן מציבים $x=0$:

גובה הסולם 15 מטרים.

טעות נפוצה: לחשב את ציר הסימטריה $x=5$ ולענות "5 מטרים" - זה המרחק האופקי של $C$ מהסולם.

$a=0.5$, $b=-5$:

$C$ בגובה 2.5 מטרים.

טעות נפוצה: לחלק ב-2 בלי להכפיל ב-$a$ ($x=\frac52=2.5$), ואז $y=0.5\cdot2.5^2-12.5+15\approx5.63$ - גובה שאינו המינימום (למשל ב-$x=5$ הגובה נמוך יותר).

$B$ נמצאת מימין לנקודת המינימום ($x=5$), ולכן $x_B=8$.

טעות נפוצה: לבחור $x=2$ - הנקודה בגובה 7 בירידה, משמאל ל-$C$.

$a=0.5>0$, ולכן הפרבולה עולה מימין לקדקוד, $x>5$. המגלשה נגמרת ב-$B$, $x=8$.

יואב היה במגמת עלייה כש-$5<x<8$.

טעות נפוצה: לענות $x>5$ - אחרי $B$ אין מגלשה.

מסתכלים בכיוון החץ ולוקחים בכל עמודה את הערימה הגבוהה ביותר:

בעמודה השמאלית הערימה האחורית בגובה 3; בעמודה האמצעית הערימות האמצעית והאחורית בגובה 2; בעמודה הימנית הערימות הקדמית והאמצעית בגובה 2.

טעות נפוצה: לסכם את הקוביות בכל עמודה ולצייר עמודות בגובה 4, 4, 4 - מלפנים רואים בכל קומה רק את הקובייה הקדמית.

מלמעלה רואים כל משבצת שיש עליה לפחות קובייה אחת. המשבצות הריקות: באמצע של השורה הקדמית, בשמאל של השורה האמצעית ובימין של השורה האחורית.

טעות נפוצה: לצייר את המבט כשהשורה הקדמית למעלה, כך שהשורה העליונה בתבנית היא "מלא, ריק, מלא" והשורה התחתונה "מלא, מלא, ריק" - בתבנית השורה התחתונה היא זו שקרובה לחץ.

רושמים בכל משבצת את מספר הקוביות בערימה, כולל קוביות מוסתרות (כל קובייה מונחת על קובייה אחרת או על המשטח):

סך הכול 12 קוביות.

טעות נפוצה: לרשום 2 בערימה האחורית-שמאלית כי רואים בה רק שתי קוביות - הקובייה התחתונה מוסתרת מאחורי הערימה האמצעית-אמצעית, אבל הערימה מגיעה לקומה 3. כך מקבלים 11 קוביות במקום 12.

מוסיפים רק על ערימה קיימת (כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה), ורק כך שהערימה לא תעלה מעל הגובה של העמודה שלה במבט מלפנים (3, 2, 2).

בעמודות האמצעית והימנית כל הערימות כבר בגובה המרבי 2. בעמודה השמאלית הגובה במבט מלפנים 3, והערימה הקדמית בה בגובה 1 - אפשר להגביה אותה:

(אפשר גם להגביה את הערימה הקדמית-שמאלית ל-3, בשתי קוביות.)

טעות נפוצה: להוסיף קובייה על הערימה האמצעית-אמצעית (מ-2 ל-3) - העמודה האמצעית במבט מלפנים גדלה מ-2 ל-3.

המבט מלפנים: הגובה המרבי בכל עמודה - שמאל 3, אמצע 2, ימין 2. בתרשים העמודה האמצעית הגבוהה ביותר, ולכן זה לא המבט מלפנים (וגם לא מאחור, שהוא תמונת הראי שלו: 2, 2, 3).

המבט מלמעלה: ריבוע מלא של $3\times3$ - גם לא.

מבט מהצד: הגובה המרבי בכל שורה - אחורית 2, אמצעית 3, קדמית 1.

בתרשים הגבהים משמאל לימין הם 2, 3, 1 - השורה האחורית משמאל והקדמית מימין. כך נראה המבנה למי שמסתכל משמאל, ולכן זה המבט משמאל.

טעות נפוצה: לזהות שזה מבט מהצד ולענות "המבט מימין" - במבט מימין השורה הקדמית (הנמוכה) נראית בצד שמאל.

במבט מימין השורה הקדמית נראית משמאל והשורה האחורית מימין: קדמית 1, אמצעית 3, אחורית 2.

טעות נפוצה: להעתיק את התרשים הנתון (2, 3, 1) בלי להפוך את הסדר.

בסרטוט רואים את הפאה העליונה של כל עמודה. חלק מהקוביות התחתונות מוסתרות מאחורי עמודות קדמיות, אבל כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת - ולכן מספר הקוביות במשבצת הוא הגובה של הפאה העליונה שלה.

השורה הקדמית: 1, 1, 1. השורה האמצעית: 3, 2, 2. השורה האחורית: 2, 2, 2. (בשורה האמצעית ובשורה האחורית הקוביות התחתונות בעמודה השמאלית ובעמודה האמצעית מוסתרות.)

טעות נפוצה: לרשום את השורה הקדמית למעלה ואת האחורית למטה (1, 1, 1 בשורה העליונה של התרשים) - בתרשים מספרים השורה הקדמית היא השורה התחתונה.

מספר הקוביות במבנה:

הבסיס $3\times3$ והגובה המרבי 3, ולכן הקובייה היא $3\times3\times3=27$:

טעות נפוצה: לחסר את מספר המשבצות, $27-9=18$, במקום את מספר הקוביות.