מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 5 ברמת בגרות

צוברים רצועות מהזנב הימני: $0.5\%+1.5\%=2\%$. שתי הרצועות האלה נמצאות מעל השנתה $\bar x+2S$, ולכן 230 הוא $\bar x+2S$:

טעות נפוצה: למקם את 230 משמאל לממוצע ולכתוב $230=\bar x-2\cdot20$, ומקבלים ממוצע 270 - אבל אז 98% מהתפוחים היו שוקלים יותר מ-230, לא 2%.

$190-180=10=0.5\cdot20$, ולכן $180=\bar x-0.5S$.

מתחת ל-180 נמצאת כל המחצית השמאלית חוץ מהרצועה שבין 180 לממוצע:

(או בצבירה מהזנב: $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%+15\%=31\%$.)

טעות נפוצה: לחבר את הרצועה למחצית, $50\%+19\%=69\%$ - זה אחוז התפוחים ששוקלים יותר מ-180.

לפי סעיף ב, 31% מהתפוחים נשלחים למיצים:

טעות נפוצה: לחשב את מספר התפוחים שאינם נשלחים, $0.69\cdot25{,}000=17{,}250$.

ציון תקן 0 פירושו שהערך רחוק 0 סטיות תקן מהממוצע, כלומר שווה לממוצע: המשקל הוא 190 גרם.

רק תפוחים ששוקלים פחות מ-180 גרם נשלחים למיצים, ו-$190>180$. לכן התפוח הזה אינו נשלח.

טעות נפוצה: לחשוב שציון תקן 0 פירושו משקל 0 ("הכי קל") ולענות שהתפוח נשלח למיצים.

0.5% מהתפוחים הקלים ביותר הם הרצועה השמאלית ביותר בגרף - מתחת לשנתה $\bar x-2.5S$:

תפוחים ששוקלים פחות מ-140 גרם אינם נמכרים.

טעות נפוצה: ללכת לצד הלא נכון של הממוצע, $190+2.5\cdot20=240$ - שם נמצאים 0.5% הכבדים ביותר.

ציון התקן שלילי, כי 140 קטן מהממוצע.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן ולענות $z=2.5$ - זה ציון התקן של 240, מעל הממוצע.

$M$ היא נקודת החיתוך של $AC$ עם $BD$. מציבים $x=4$ במשוואת $AC$:

$M(4,3)$.

טעות נפוצה: להציב 4 במקום $y$: $4=\frac12x+1$, $x=6$, ולקבל $M(6,4)$ - נקודה שאינה על $x=4$.

$D$ נמצא על $BD$ ($x=4$) ועל $CD$ ($y=-1$), ולכן $D(4,-1)$.

טעות נפוצה: להחליף את השיעורים ולכתוב $D(-1,4)$.

האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה: $M$ אמצע $BD$ ואמצע $AC$.

$C$ על $y=-1$ ועל $AC$:

בדיקה: $\frac12\cdot12+1=7$, כלומר $A$ על $AC$.

טעות נפוצה: לחשב את $B$ כאמצע $MD$: $y_B=\frac{3+(-1)}{2}=1$, ולקבל $B(4,1)$ - נקודה שנמצאת בין $M$ ל-$D$, ולא מעבר ל-$M$.

$DC$ אופקית: $DC=4-(-4)=8$. הגובה מ-$A(12,7)$ לישר $y=-1$ הוא $7-(-1)=8$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 64 - שטח המקבילית כולה.

$B(4,7)$, $M(4,3)$, $C(-4,-1)$.

$BM=7-3=4$ (קטע אנכי).

שלוש הצלעות שונות - המשולש אינו שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לענות "כן, $MB=MC$ כי $M$ היא אמצע". $M$ חוצה כל אלכסון לשני חצאים שווים, אבל החצי של $BD$ (4) שונה מהחצי של $AC$ ($\sqrt{80}$).

סוכמים את הרצועות מהזנב הימני: $0.5\%+1.5\%+5\%=7\%$. לכן מימין לשנתה $\bar x+1.5S$ נמצאים $7\%$ מהאבטיחים, ו-8.2 ק"ג נמצא בשנתה הזו:

טעות נפוצה: לכתוב $8.2=\bar x-1.2$ ולקבל $\bar x=9.4$ - אבל רק $7\%$ מהאבטיחים כבדים מ-8.2, ולכן 8.2 נמצא מעל הממוצע.

בשנתה האמצעית - הממוצע, 7. בין שנתות סמוכות חצי סטיית תקן: $0.4$ ק"ג.

5, 5.4, 5.8, 6.2, 6.6, 7, 7.4, 7.8, 8.2, 8.6, 9

בדיקה: 8.2 נמצא שלוש שנתות מימין לממוצע ($\bar x+1.5S$).

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה (0.8) בין שנתות סמוכות, ולקבל בקצוות $7-5\cdot0.8=3$ ו-$7+5\cdot0.8=11$; אז 8.2 לא נמצא באף שנתה.

5.8 הוא $\bar x-1.5S$ ו-7.4 הוא $\bar x+0.5S$. סוכמים את הרצועות ביניהם:

טעות נפוצה: לחשב רק את אחוז האבטיחים הקלים מ-7.4, $50\%+19\%=69\%$, ולשכוח להחסיר את $7\%$ הקלים מ-5.8.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $186\cdot0.62\approx115$ - פחות אבטיחים מהקבוצה עצמה.

$8.44<8.5$, ולכן האבטיח לא יימכר כאבטיח ענק.

טעות נפוצה: להוסיף לממוצע את ציון התקן עצמו, $7+1.8=8.8$, בלי לכפול בסטיית התקן - ולהסיק שהאבטיח כבד מ-8.5.

רדיוס הבסיס: $DC=\frac62=3$ ס"מ. במשולש ישר הזווית $ADC$:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר: $\sqrt{144+36}=\sqrt{180}\approx13.42$ ס"מ.

שטח הוופל: כ-116.58 סמ"ר.

טעות נפוצה: להוסיף את שטח הבסיס ($9\pi\approx28.27$) ולענות כ-144.85 סמ"ר - לגביע אין בסיס, הוא פתוח למעלה.

נפח הגלידה הוא נפח החרוט:

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ ולקבל $108\pi\approx339.29$ סמ"ק.

"קטן ב-20%" פירושו 80% מהקוטר הקודם:

טעות נפוצה: לחלק ב-1.2 במקום לכפול ב-0.8: $6:1.2=5$ ס"מ - זו הקטנה של כ-17%, לא של 20%.

"גדול ב-30%" פירושו 130% מהגובה הקודם:

טעות נפוצה: לחלק ב-0.7 במקום לכפול ב-1.3: $12:0.7\approx17.14$ ס"מ.

רדיוס הגביע החדש: $\frac{4.8}2=2.4$ ס"מ.

$94.10<113.10$, ולכן יוסי אינו צודק.

הסבר: הקטנת הרדיוס ב-20% מקטינה את הנפח פי $0.8^2=0.64$, וההגדלה של הגובה מגדילה רק פי 1.3: $0.64\cdot1.3=0.832<1$.

טעות נפוצה: לחשב "מינוס 20% ועוד 30% זה ועוד 10%" ולהסיק שיוסי צודק - הרדיוס מופיע בנוסחת הנפח בריבוע.

מבט מלמעלה: בשני המבנים השורה האחורית מלאה, ובשורה הקדמית תפוסות המשבצות השמאלית והימנית - שניהם מתאימים.

מבט מימין: השורה הקדמית נראית בצד שמאל, והאחורית בצד ימין; הגובה הוא הגובה המרבי בשורה.

מבנה I: קדמית $\max(2,0,1)=2$, אחורית $\max(3,2,2)=3$ - עמודות 2 ו-3. מתאים.

מבנה II: קדמית $\max(3,0,1)=3$, אחורית $\max(2,2,1)=2$ - עמודות 3 ו-2. לא מתאים: זה המבט מימין של מבנה I הפוך.

המבנה המתאים הוא מבנה I.

טעות נפוצה: לשים את השורה האחורית בצד שמאל של המבט מימין. אז מבנה II נותן עמודות 2 ו-3 ונבחר בטעות במבנה II.

הגובה המרבי בכל עמודה:

שמאלית: $\max(2,3)=3$. אמצעית: $\max(0,2)=2$. ימנית: $\max(1,2)=2$.

טעות נפוצה: לצייר רק את השורה הקדמית (2, 0, 1), עם רווח באמצע. המשבצת הריקה בשורה הקדמית לא יוצרת חור במבט, כי מאחוריה יש עמודה בגובה 2.

תנאים: בכל משבצת תפוסה נשארת קובייה; בשורה הקדמית נשאר גובה מרבי 2; בשורה האחורית נשאר גובה מרבי 3.

שורה קדמית (2, 0, 1): ה-2 הוא היחיד שנותן גובה 2 - נשאר; ה-1 נשאר. אין מה להסיר.

שורה אחורית (3, 2, 2): ה-3 נשאר. בשתי המשבצות של 2 אפשר להוריד קובייה אחת מכל אחת ולהשאיר 1.

אפשר להסיר 2 קוביות.

טעות נפוצה: לענות 3 - להוריד גם קובייה מהמשבצת הקדמית-השמאלית (מ-2 ל-1). אז הגובה המרבי בשורה הקדמית יורד ל-1, והעמודה השמאלית במבט מימין משתנה.

בדיקה: אותן משבצות תפוסות, והגבהים המרביים בשורות 2 (קדמית) ו-3 (אחורית).

טעות נפוצה: להשאיר את השורה האחורית 3, 2, 2 ולהוריד דווקא בשורה הקדמית (1, 0, 1). כך המבט מימין משתנה.

מבט מאחור הוא תמונת הראי של המבט מלפנים, ומבט משמאל הוא תמונת הראי של המבט מימין.

1. מבנה I: מלפנים 3, 2, 2, ולכן מאחור 2, 2, 3 - שונה. לא נכון.

2. המבט מימין של מבנה II הוא עמודות 3 ו-2 (סעיף א), ולכן המבט משמאל שלו הוא 2 ו-3. המבט מימין של מבנה I הוא 2 ו-3. נכון.

טעות נפוצה: לחשוב שמבט משמאל זהה למבט מימין, להשוות 3, 2 ל-2, 3 ולסמן את היגד 2 כלא נכון.

השורה העליונה של התרשים היא השורה האחורית (הרחוקה מהחץ), והיא השורה שמולאה: $1,3,1$.

מבנה א', השורה האחורית בסרטוט: משמאל העמודה הגבוהה - 3 קוביות, באמצע קובייה אחת ומימין קובייה אחת: $3,1,1$ - לא מתאים.

מבנה ב', השורה האחורית: משמאל 1, באמצע העמודה הגבוהה - 3, ומימין 1: $1,3,1$ - מתאים.

התרשים מתאים למבנה ב'.

טעות נפוצה: לקרוא את השורה העליונה של התרשים כשורה הקדמית; השורות הקדמיות הן $0,1,2$ ו-$0,2,1$, ואז נראה שהתרשים לא מתאים לאף מבנה.

קוראים בסרטוט של מבנה ב' את הגובה של כל עמודה. מתחת לכל פאה עליונה יש עמודה שלמה עד המשטח, כי כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת - גם כשהקוביות התחתונות מוסתרות.

השורה הקדמית: משמאל רואים את המשטח, באמצע עמודה של 2 קוביות ומימין קובייה אחת: $0,2,1$.

השורה השנייה מלפנים: משמאל עמודה של 2 קוביות, באמצע ומימין קובייה אחת: $2,1,1$.

השורה השלישית מלפנים: משמאל ובאמצע קובייה אחת, מימין עמודה של 2 קוביות: $1,1,2$.

השורה האחורית (נתונה): $1,3,1$.

בדיקה: סך הכול $5+4+4+3=16$ קוביות.

טעות נפוצה: לרשום 1 בעמודה השמאלית של השורה השנייה מלפנים, כי רואים בה רק קובייה אחת (הקובייה התחתונה שלה מוסתרת) - כך יוצא תרשים של 15 קוביות במקום 16.

מלמעלה רואים כל משבצת שיש בה לפחות קובייה אחת. במבנה א' רק במשבצת השמאלית של השורה הקדמית רואים את המשטח:

טעות נפוצה: לסמן רק את המשבצות שיש בהן עמודה של 2 קוביות או יותר - במבט מלמעלה רואים גם עמודות נמוכות.

סופרים את הקוביות בכל מבנה: סכום הגבהים של כל העמודות, כולל הקוביות המוסתרות.

מבנה א' (מהשורה האחורית לקדמית): $3+1+1=5$, $2+2+1=5$, $1+2+2=5$, $0+1+2=3$; סך הכול 18.

מבנה ב' (סכום התרשים מתת-סעיף א(2)): $5+4+4+3=16$.

$18-16=2$.

טעות נפוצה: לספור בכל מבנה רק את הקוביות שרואים בסרטוט (14 בכל אחד מהם) ולענות שאין הבדל.

היגד 1: בשני המבנים כל המשבצות תפוסות חוץ מהשמאלית שבשורה הקדמית. המבטים מלמעלה זהים - ההיגד נכון.

היגד 2: הגובה המרבי בכל שורה (מלפנים לאחור) הוא $2,2,2,3$ בשני המבנים.

מי שעומד משמאל למבנה רואה את השורה האחורית בצד שמאל שלו, ולכן המבט משמאל של מבנה א' הוא $3,2,2,2$ (משמאל לימין).

מי שעומד מימין למבנה רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו, ולכן המבט מימין של מבנה ב' הוא $2,2,2,3$.

המבטים שונים (תמונות ראי זה של זה) - ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לרשום את שני המבטים באותו סדר שורות ($2,2,2,3$), לקבוע שהם זהים ולענות שהיגד 2 לא נכון.