מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 6 ברמת בגרות

$x\ge0$ ו-$y\ge0$: הרביע הראשון.

הישר $4x+y=64$: מציבים $y=0$ ומקבלים $4x=64$, כלומר $(16,0)$; מציבים $x=0$ ומקבלים $(0,64)$.

הישר $x+y=25$: חותך את הצירים ב-$(25,0)$ וב-$(0,25)$.

בדיקה בנקודה $(0,0)$: $0\le64$ ו-$0\le25$ - נכון, ולכן התחום של כל אילוץ הוא בצד של הראשית.

נקודת החיתוך של שני הישרים:

קדקודי התחום: $(0,0)$, $(0,25)$, $(13,12)$, $(16,0)$.

טעות נפוצה: להחליף בין נקודות החיתוך של $4x+y=64$ עם הצירים ולסמן $(64,0)$ ו-$(0,16)$ (זה הישר $x+4y=64$). מקבלים תחום אחר, שקדקודיו $(0,0)$, $(0,16)$, $(12,13)$, $(25,0)$.

$x$ עוגות שמרים מכניסות $40x$ שקלים, ו-$y$ עוגות גבינה מכניסות $30y$ שקלים:

מחפשים את הערך המקסימלי שלה.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $f(x,y)=30x+40y$ - אבל $x$ הוא מספר עוגות השמרים, והרווח מכל אחת מהן הוא 40 שקלים.

הערך המקסימלי מתקבל באחד מקדקודי התחום:

$(0,25)$: $30\cdot25=750$

$(13,12)$: $40\cdot13+30\cdot12=520+360=880$

$(16,0)$: $40\cdot16=640$

הרווח המקסימלי, 880 שקלים, מתקבל ב-$(13,12)$: 13 עוגות שמרים ו-12 עוגות גבינה.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הקדקודים שעל הצירים ולבחור ב-$(0,25)$ עם רווח 750 - כלומר 25 עוגות גבינה בלבד. נקודת החיתוך של הישרים נותנת רווח גדול יותר.

גדל ב-$15\%$ פירושו $115\%$ מהרווח, וקטן ב-$10\%$ פירושו $90\%$ מהרווח:

טעות נפוצה: להוסיף ולהפחית את האחוזים כאילו הם שקלים - $40+15=55$ ו-$30-10=20$.

פונקציית המטרה החדשה: $g(x,y)=46x+27y$. מציבים שוב בכל הקדקודים:

$(0,25)$: $27\cdot25=675$

$(13,12)$: $46\cdot13+27\cdot12=598+324=922$

$(16,0)$: $46\cdot16=736$

הרווח המקסימלי החדש הוא 922 שקלים.

הרווח המקסימלי גדל ב-42 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 922 - זה הרווח המקסימלי החדש, ולא השינוי בו. מחסרים ממנו את הרווח המקסימלי הקודם, 880.

לכל שורה רושמים את מה שדרוש לשרשרת אחת:

שרשרת עם חרוזים - 50 ס"מ חוט ו-12 חרוזים.

שרשרת בלי חרוזים - 75 ס"מ חוט (חרוזים: 0, כבר רשום).

טעות נפוצה: להחליף בין העמודות בשורה של השרשרת עם החרוזים ולרשום 12 בעמודת החוט ו-50 בעמודת החרוזים - ואז אילוץ החוט ייבנה עם המקדם 12 במקום 50.

לשרשרת בלי חרוזים לא דרושים חרוזים, ולכן רק החוט מגביל.

ממירים ליחידה אחת: 30 מטר $=3000$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחלק ב-50 (החוט של שרשרת עם חרוזים) ולקבל 60 שרשראות.

אילוץ החוט (בס"מ):

אילוץ החרוזים - רק השרשראות עם החרוזים צורכות חרוזים:

ומספר השרשראות אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לא להמיר מטרים לס"מ ולכתוב $50x+75y\le30$.

הישר $50x+75y=3000$ חותך את הצירים ב-$(60,0)$ וב-$(0,40)$. בבדיקה ב-$(0,0)$: $0\le3000$ - התחום מתחת לישר.

$x\le30$ - התחום משמאל לישר $x=30$.

חיתוך $x=30$ עם ישר החוט: $1500+75y=3000$, $y=20$.

טעות נפוצה: לסמן את התחום מימין ל-$x=30$ ולקבל משולש שקדקודיו $(30,0)$, $(60,0)$, $(30,20)$.

מהטבלה: 14 שקלים לשרשרת עם חרוזים ו-8 שקלים לשרשרת בלי חרוזים.

מחפשים רווח מקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף את המקדמים ולכתוב $P=8x+14y$.

מציבים את הקדקודים:

$(0,0)$: $P=0$

$(30,0)$: $P=14\cdot30=420$

$(30,20)$: $P=14\cdot30+8\cdot20=580$

$(0,40)$: $P=8\cdot40=320$

הרווח המקסימלי: 580 שקלים.

טעות נפוצה: לבחור בקדקוד שבו מכינים הכי הרבה שרשראות, $(0,40)$, ולענות 320 שקלים.

טושים: $4x+2y$, "לפחות 40":

מחברות: $3x+4y$, "לכל היותר 60":

ובנוסף $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי שורות ולכתוב $4x+3y\ge40$, $2x+4y\le60$.

$4x+2y=40$: נקודות החיתוך $(10,0)$ ו-$(0,20)$. $3x+4y=60$: $(20,0)$ ו-$(0,15)$.

בדיקה בראשית: $0\ge40$ לא נכון - התחום של הראשון בצד הרחוק מהראשית; $0\le60$ נכון - התחום של השני בצד של הראשית.

קודקוד החיתוך:

על ציר ה-$y$ אין נקודות אפשריות ($2y\ge40$ דורש $y\ge20$, ו-$4y\le60$ דורש $y\le15$). התחום הוא המשולש $(10,0)$, $(20,0)$, $(4,12)$.

טעות נפוצה: לצבוע את הצד של הראשית גם עבור $4x+2y\ge40$, ולקבל את המרובע $(0,0)$, $(10,0)$, $(4,12)$, $(0,15)$.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולכתוב $P=40x+25y$.

מציבים את הקודקודים:

המקסימום, 580 שקלים, ב-4 ערכות מסוג א' ו-12 ערכות מסוג ב'.

טעות נפוצה: לבחור את הקודקוד $(20,0)$ כי בו מוכרים הכי הרבה ערכות, ולקבל 500 שקלים. ההכנסה תלויה גם במחיר של כל ערכה.

מציבים $x=10$, $y=6$:

טושים: $4\cdot10+2\cdot6=52\ge40$ - מתקיים. מחברות: $3\cdot10+4\cdot6=54\le60$ - מתקיים.

הנקודה בתחום האפשרי, ולכן אפשר לספק את ההזמנה. ההכנסה:

טעות נפוצה: להציב את המחירים הפוך, $40\cdot10+25\cdot6=550$ שקלים.

רגע הזריקה: $x=0$. $y(0)=1$.

הכדור נזרק מגובה של מטר אחד.

טעות נפוצה: לענות 14 - המקדם של $x$ - כאילו הוא הגובה ההתחלתי. הגובה ההתחלתי הוא האיבר החופשי, הערך של הפונקציה ב-$x=0$.

טעות נפוצה: לחשב $-5\cdot1.4^2$ כ-$(-5\cdot1.4)^2=49$ ולקבל $49+19.6+1=69.6$ מטרים.

$x=0.8$ (בעלייה) או $x=2$ (בירידה).

טעות נפוצה: להעביר את 9 בלי להחליף סימן: $-5x^2+14x+10=0$, ולקבל $x\approx3.39$ (ופתרון שלילי).

הגובה חיובי - הכדור עדיין באוויר, בגובה מטר אחד (הגובה שממנו נזרק).

בדיקה דרך רגע הנחיתה: $5x^2-14x-1=0\Rightarrow x=\frac{14+\sqrt{216}}{10}\approx2.87>2.8$.

טעות נפוצה: להניח שהכדור נוחת בזמן כפול מזמן הגובה המקסימלי ($2\cdot1.4=2.8$) ולענות שהוא בדיוק הגיע לקרקע. בזמן $2.8$ הכדור חוזר לגובה שממנו נזרק, ולא לקרקע.

נפח התבנית 4,116 סמ"ק.

טעות נפוצה: לחשב רק את שטח הבסיס, $28\cdot21=588$.

לאורך: $28:7=4$, לרוחב: $21:7=3$, לגובה: $7:7=1$.

דרך אחרת: $4116:7^3=4116:343=12$.

טעות נפוצה: לחלק את הנפח בשטח פאה, $4116:49$, ולקבל 84 קוביות.

5 פאות לכל קובייה, כל פאה $7\cdot7=49$ סמ"ר:

טעות נפוצה: לכלול גם את הפאה התחתונה (6 פאות) ולקבל 3,528 סמ"ר.

טעות נפוצה: לכתוב $\pi r=5\pi$ ולקבל $r=5$ ס"מ.

ל-12 חרוטים:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-3 ולקבל $225\pi\approx706.9$ סמ"ק.

טעות נפוצה: לשכוח את השליש ולענות 225 סמ"ק.

$75.4>75$: בפרלין מסוג ב' יש מעט יותר שוקולד.

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע של הרדיוס ($\frac{\pi\cdot3\cdot8}{3}=8\pi\approx25.1$) ולקבוע שבפרלין מסוג א' יש יותר שוקולד.

טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{8^2-3^2}=\sqrt{55}\approx7.42$ - קצר מהגובה, ולכן לא ייתכן שזה היתר.

טעות נפוצה: להוסיף את שטח הבסיס ($9\pi$) ולענות $\approx108.8$ - זה שטח הפנים של החרוט, לא המעטפת.

$67{,}699<70{,}000$, ולכן השוקולד יספיק.

טעות נפוצה: לחשב את נפח החרוט בלי השליש (כמו גליל, $72\pi$) ולקבל $30{,}000+500\cdot72\pi\approx143{,}097$, כלומר "לא יספיק".