מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 5 בדרך לבגרות

$x\ge0$ ו-$y\ge0$: הרביע הראשון.

הישר $x+y=30$ חותך את הצירים ב-$(30,0)$ וב-$(0,30)$.

הישר $x+3y=60$: מציבים $x=0$ ומקבלים $3y=60$, כלומר $(0,20)$; מציבים $y=0$ ומקבלים $(60,0)$.

בדיקה בנקודה $(0,0)$: $0\le30$ ו-$0\le60$ - נכון, ולכן התחום של כל אילוץ הוא בצד של הראשית.

התחום האפשרי הוא מרובע: על ציר ה-$y$ הוא נעצר ב-$(0,20)$, ועל ציר ה-$x$ ב-$(30,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ב-$x+3y=60$ ולשכוח לחלק ב-3, כלומר לסמן $(0,60)$. אז על ציר ה-$y$ התחום נעצר בישר $x+y=30$, ומקבלים קדקוד שגוי $(0,30)$.

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה:

מציבים ב-$x+y=30$: $x=15$. נקודת החיתוך היא $(15,15)$.

קדקודי התחום: $(0,0)$, $(0,20)$, $(15,15)$, $(30,0)$.

טעות נפוצה: להציב $y=15$ ב-$x+3y=60$ ולשכוח את המקדם 3: $x=60-15=45$. הנקודה $(45,15)$ אפילו לא מקיימת $x+y\le30$.

הערך המקסימלי בתחום סגור מתקבל באחד הקדקודים:

$(0,0)$: $0$

$(0,20)$: $50\cdot20=1000$

$(15,15)$: $20\cdot15+50\cdot15=300+750=1050$

$(30,0)$: $20\cdot30=600$

המקסימום הוא 1,050, בנקודה $(15,15)$.

טעות נפוצה: לשכוח את נקודת החיתוך ולבדוק רק את הקדקודים שעל הצירים - ואז המקסימום יוצא 1,000 בנקודה $(0,20)$.

פונקציית מטרה חדשה - מציבים שוב בכל הקדקודים:

$(0,20)$: $50\cdot20=1000$

$(15,15)$: $60\cdot15+50\cdot15=900+750=1650$

$(30,0)$: $60\cdot30=1800$

המקסימום עבר לקדקוד אחר: 1,800, בנקודה $(30,0)$.

טעות נפוצה: להניח שהפתרון האופטימלי נשאר בנקודה $(15,15)$ ולחשב רק בה: $60\cdot15+50\cdot15=1650$. כשפונקציית המטרה משתנה, צריך לבדוק שוב את כל הקדקודים.

סרטים: כל זר צורך סרט אחד, ולכן $x+y\le60$.

ורדים: רק זרי הוורדים צורכים ורדים, 12 בכל זר: $12x\le300$, כלומר $x\le25$.

ומספר הזרים אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לכתוב את אילוץ הוורדים כ-$12x+y\le300$, כאילו גם זרי החמניות צורכים ורדים.

הישר $x+y=60$ חותך את הצירים ב-$(60,0)$ וב-$(0,60)$; התחום מתחתיו. $x\le25$ - משמאל לישר $x=25$.

הקדקוד שבו נפגשים שני האילוצים: $x=25$, $y=60-25=35$.

טעות נפוצה: "להרכיב" את הקדקוד מהמספרים שבאילוצים ולכתוב $(25,60)$ - הנקודה הזו אינה על הישר $x+y=60$ (שם $25+60=85$ סרטים).

20 שקלים לכל זר ורדים ו-15 שקלים לכל זר חמניות:

רוצים רווח גדול ככל האפשר - מקסימום.

טעות נפוצה: להחליף את המקדמים ולכתוב $P=15x+20y$.

מציבים את הקדקודים:

$(0,0)$: $P=0$

$(25,0)$: $P=500$

$(25,35)$: $P=20\cdot25+15\cdot35=1025$

$(0,60)$: $P=15\cdot60=900$

הרווח המקסימלי: 1,025 שקלים, ב-25 זרי ורדים ו-35 זרי חמניות.

טעות נפוצה: לבחור את $(0,60)$ כי "שם מכינים הכי הרבה זרים" ולענות 900 שקלים.

הממוצע 160 במרכז. כל שנתה היא חצי סטיית תקן: $\frac{20}{2}=10$ גרם.

משמאל לימין: $160-5\cdot10=110$, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 210.

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה (20 גרם) בין שנתות ולכתוב $60, 80, \dots, 260$.

150 הוא חצי סטיית תקן מתחת לממוצע, ו-190 הוא שלוש חצאי סטיות תקן מעליו. סוכמים את הרצועות שביניהם:

טעות נפוצה: להתחיל לסכום מהממוצע ולשכוח את הרצועה שבין 150 ל-160: $19+15+9=43\%$.

האחוז מעל 190: $5+1.5+0.5=7\%$.

טעות נפוצה: לסכום רק את הרצועות שבין 190 ל-210, $5+1.5=6.5\%$, לשכוח את הזנב של $0.5\%$ מעל 210, ולקבל 26 תפוחים.

טעות נפוצה: לחסר בסדר הפוך, $\frac{160-130}{20}=1.5$ - תפוח קל מהממוצע מקבל ציון תקן שלילי.

טעות נפוצה: לבלבל בין החיתוך עם ציר ה-$y$ לחיתוך עם ציר ה-$x$ ולפתור $h(x)=0$, ומקבלים $x=4+\sqrt{20}\approx8.47$ - זה המרחק שבו המים פוגעים בקרקע, לא גובה הפתח.

$a<0$, ולכן זו נקודת מקסימום.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם, $(-0.5\cdot4)^2=4$, ולקבל $h(4)=4+16+2=22$.

טעות נפוצה: לחשב $-0.5\cdot36$ כ-$+18$ ולקבל $18+24+2=44$.

הפרבולה סימטרית סביב הישר $x=4$ (סעיף ב). הנקודה $x=6$ נמצאת 2 מטרים מימין לציר, ולכן הנקודה הסימטרית לה נמצאת 2 מטרים משמאל: $x=4-2=2$.

בדיקה: $h(2)=-2+8+2=8$.

טעות נפוצה: לפתור את $h(x)=8$ ולטעות בסימן כשכופלים ב-$-2$: $x^2-8x-12=0$ במקום $x^2-8x+12=0$, ומקבלים $x=4+\sqrt{28}\approx9.29$.

קוראים בסרטוט את הגובה של כל עמודה. מתחת לכל פאה עליונה יש עמודה שלמה עד המשטח, גם כשהקוביות התחתונות מוסתרות.

השורה האחורית: משמאל עמודה של 2 קוביות, באמצע עמודה של 3 ומימין קובייה אחת. השורה הקדמית: משמאל קובייה אחת, באמצע רואים את המשטח, ומימין עמודה של 2.

מספר הקוביות הוא סכום הגבהים:

טעות נפוצה: לספור רק את הקוביות שרואים בסרטוט. הקוביות התחתונות בעמודה של 2 ובעמודה של 3 שבשורה האחורית מוסתרות, ואז מקבלים 7 קוביות במקום 9.

בכל עמודה רואים מלפנים את הגובה המרבי מבין השורה הקדמית והאחורית:

שמאלית: $\max(1,2)=2$. אמצעית: $\max(0,3)=3$. ימנית: $\max(2,1)=2$.

טעות נפוצה: לצייר רק את השורה הקדמית (1, 0, 2) ולהשאיר חור באמצע.

מי שעומד מימין למבנה רואה את השורה הקדמית בצד שמאל ואת השורה האחורית בצד ימין.

גובה כל עמודה הוא הגובה המרבי בשורה: קדמית $\max(1,0,2)=2$, אחורית $\max(2,3,1)=3$.

טעות נפוצה: לשים את השורה האחורית בצד שמאל ולצייר עמודות 3 ו-2 - זה המבט משמאל.

המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות תפוסות. כדי שלא ישתנה, בכל אחת מ-5 המשבצות התפוסות צריכה להישאר לפחות קובייה אחת.

נשארות לפחות 5 קוביות, ולכן אפשר להסיר לכל היותר $9-5=4$ קוביות.

טעות נפוצה: להוריד רק קובייה אחת מכל משבצת שיש בה יותר מקובייה אחת ולענות 3. מהמשבצת שיש בה 3 קוביות אפשר להוריד שתיים.

קוראים בסרטוט את הגובה של כל עמודה. מתחת לכל פאה עליונה יש עמודה שלמה עד המשטח, גם כשהקוביות התחתונות מוסתרות.

השורה הקדמית: משמאל קובייה אחת, באמצע רואים את המשטח, ומימין קובייה אחת: $1,0,1$.

השורה האמצעית: משמאל עמודה של 2 קוביות, באמצע קובייה אחת, ומימין רואים את המשטח: $2,1,0$.

השורה האחורית: משמאל עמודה של 3 קוביות, באמצע קובייה אחת, ומימין עמודה של 2 קוביות: $3,1,2$.

טעות נפוצה: לרשום בכל משבצת רק את הקוביות שרואים בה. בעמודה של 3 ובעמודה של 2 שבצד שמאל הקובייה התחתונה מוסתרת, ואז רושמים בהן 2 ו-1 במקום 3 ו-2 (9 קוביות במקום 11).

סכום המספרים בתרשים: $(3+1+2)+(2+1+0)+(1+0+1)=11$.

טעות נפוצה: לספור רק את המשבצות התפוסות (את הפאות העליונות שרואים מלמעלה) ולענות 7.

מלמעלה רואים כל משבצת שיש בה לפחות קובייה אחת:

טעות נפוצה: לסמן רק את המשבצות שיש בהן יותר מקובייה אחת.

מלפנים רואים בכל עמודה (שמאל, אמצע, ימין) את הגובה המרבי מבין שלוש השורות:

שמאל: $\max(1,2,3)=3$; אמצע: $\max(0,1,1)=1$; ימין: $\max(1,0,2)=2$.

טעות נפוצה: לסרטט רק את השורה הקדמית, $1,0,1$ - מלפנים רואים גם קוביות גבוהות שבשורות האחוריות.