מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 6 בדרך לבגרות

"לפחות 2 שולחנות": $x\ge2$. "לפחות 3 כיסאות": $y\ge3$. "לכל היותר 12 פריטים": $x+y\le12$.

טעות נפוצה: לתרגם "לפחות 2" ל-$x\le2$ - "לפחות" פירושו 2 או יותר.

$B$ - חיתוך $x=2$ עם $y=3$: $B(2,3)$.

$A$ - חיתוך $x=2$ עם $x+y=12$: $y=12-2=10$, $A(2,10)$.

$C$ - חיתוך $y=3$ עם $x+y=12$: $x=12-3=9$, $C(9,3)$.

טעות נפוצה: להחליף את סדר השיעורים ב-$C$ ולכתוב $(3,9)$ - הנקודה נמצאת על הישר $y=3$, ולכן שיעור ה-$y$ שלה הוא 3.

$x$ שולחנות מכניסים $200x$ ₪ ו-$y$ כיסאות $50y$ ₪:

מחפשים רווח מקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $R=50x+200y$ - הרווח מחושב לפי מה ש-$x$ סופר, כלומר שולחנות.

מציבים את הקדקודים בפונקציית הרווח:

$A(2,10)$: $400+500=900$

$B(2,3)$: $400+150=550$

$C(9,3)$: $1800+150=1950$

הרווח המקסימלי, $1{,}950$ ₪, מתקבל ב-9 שולחנות ו-3 כיסאות.

טעות נפוצה: לבחור ב-$A(2,10)$ כי "יש בו הכי הרבה פריטים" ולקבל 900 ₪ - גם ב-$C$ יש 12 פריטים, והשולחנות רווחיים פי 4.

$A$: מציבים $y=0$: $0=x+4$, $x=-4$, ולכן $A(-4,0)$.

$B$: מציבים $y=12$: $12=x+4$, $x=8$, ולכן $B(8,12)$.

טעות נפוצה: להציב את 12 במקום $x$ ולקבל $y=16$, כלומר $B(12,16)$ - אבל שיעור ה-$y$ של $B$ הוא 12.

$m_{AB}=1$ (המקדם של $x$).

$1\cdot(-1)=-1$, ולכן $AB\perp BC$.

טעות נפוצה: להחסיר בסדר שונה במונה ובמכנה, $\frac{0-12}{8-20}=1$, ולהסיק שהצלעות מקבילות ולא מאונכות.

$E$ היא החיתוך של $AB$ ו-$EC$:

$y=4+4=8$, ולכן $E(4,8)$.

טעות נפוצה: לאבד את האיבר $-\frac12x$ שבאגף ימין ולפתור $x+4=10$: מקבלים $x=6$ ואת הנקודה $(6,10)$ - היא על $AB$, אבל לא על $EC$ (שם $y=7$).

לפי סעיף ב, הזווית $B$ ישרה, ולכן $EB$ ו-$BC$ הם הניצבים:

טעות נפוצה: לקחת את $EC=\sqrt{320}$ כניצב ולקבל $\frac{\sqrt{32}\cdot\sqrt{320}}{2}\approx50.6$.

$F(4,0)$. במשולש $EFC$ הזווית $F$ ישרה: $FC=20-4=16$, $EF=8$:

טעות נפוצה: לחשב $FC=20+4=24$ ולקבל $96+48=144$.

חצי סטיית תקן הוא $0.5\cdot2=1$ דקה, ולכן בין שתי שנתות סמוכות יש דקה אחת.

מתחילים בממוצע (14) ומוסיפים או מחסירים דקה בכל שנתה:

השנתות: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה (2 דקות) בין שנתות סמוכות ולקבל 4, 6, 8, ..., 24. השנתות בגרף הן של חצי סטיית תקן.

לפי השנתות מסעיף א: $12=\bar x-S$ ו-$17=\bar x+1.5S$.

משמאל לממוצע (בין 12 ל-14): $15\%+19\%=34\%$. מימין לממוצע (בין 14 ל-17): $19\%+15\%+9\%=43\%$.

טעות נפוצה: לסכם רק את הרצועות שמימין לממוצע ולקבל $43\%$. התחום מתחיל לפני הממוצע, ולכן צריך גם את $34\%$ שמשמאלו.

$11=\bar x-1.5S$. מתחת לשנתה הזו יש שלוש רצועות:

טעות נפוצה: לכלול גם את הרצועה של $9\%$ (שנמצאת בין 11 ל-12) ולקבל $16\%$ - זה האחוז שרצו בפחות מ-12 דקות.

לפי סעיף ב, 77% מהתלמידים רצו בין 12 ל-17 דקות:

טעות נפוצה: לחשב את המשלים, $0.23\cdot400=92$ - אלה התלמידים שזמנם מחוץ לתחום.

זמן ארוך = הזנב הימני. מצטברים מהזנב: $0.5\%+1.5\%=2\%$ - מעל השנתה $\bar x+2S$.

תלמיד שרץ יותר מ-18 דקות מוזמן לאימון.

טעות נפוצה: לחפש בזנב השמאלי ולקבל $14-2\cdot2=10$ דקות. 2% הרצים המהירים ביותר הם אלה שרצו פחות מ-10 דקות, לא האיטיים ביותר.

$y(0)=-0+0+12=12$. הצינור בגובה 12 מטרים.

טעות נפוצה: לחשוב שב-$x=0$ גם $y=0$ (הסילון יוצא מהקרקע) ולענות 0.

$a=-1<0$, ולכן לפרבולה יש מקסימום בקדקוד:

טעות נפוצה: לחשב $-2^2$ כ-$(-2)^2=+4$ ולקבל $y(2)=4+8+12=24$ מטרים.

$x=1$ או $x=3$ - סימטריות סביב הקדקוד $x=2$.

טעות נפוצה: להעביר את 15 בלי להחליף סימן: $x^2-4x-27=0$, ולקבל $x=2+\sqrt{31}\approx7.57$ (ופתרון שלילי).

על הקרקע $y=0$:

$x=6$ או $x=-2$. מרחק מהקיר אינו שלילי (המודל מתאר רק את הצד שלפני הקיר), ולכן $x=-2$ נפסל.

הסילון פוגע בקרקע במרחק 6 מטרים מהקיר.

טעות נפוצה: להעביר אגפים עם סימן שגוי ולקבל $x^2-4x+12=0$, שהדיסקרימיננטה שלה שלילית ($16-48<0$) - ולהסיק שהסילון אף פעם לא פוגע בקרקע.

בכל משבצת כותבים כמה קוביות עומדות בה (השורה התחתונה - הקדמית):

קדמית: $1\ 0\ 1$; אמצעית: $2\ 1\ 1$; אחורית: $3\ 2\ 2$.

טעות נפוצה: לכתוב 1 בכל משבצת שרואים בה רק את הקובייה העליונה - למשל במשבצת האחורית השמאלית - אבל העמודה שם בגובה 3.

סכום המספרים בתרשים:

טעות נפוצה: לספור רק את המשבצות התפוסות (8) ולענות 8 קוביות.

במבט מלפנים גובה כל עמודה הוא הגובה המרבי בעמודה של תרשים המספרים:

טעות נפוצה: לצייר רק את השורה הקדמית, $1,0,1$ - אבל מלפנים רואים גם את העמודות הגבוהות שמאחוריה.

בקובייה $3\times3\times3$ יש $3^3=27$ קוביות. במבנה יש 13 (סעיף ב), ולכן צריך להוסיף:

טעות נפוצה: לענות 27 - מספר הקוביות בקובייה הגדולה - בלי להחסיר את 13 הקוביות שכבר נמצאות במבנה.

הרדיוס, הגובה והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית, והקו היוצר הוא היתר:

טעות נפוצה: לחשב $\sqrt{12^2-9^2}=\sqrt{63}\approx7.94$ - קצר מהגובה, ולכן לא ייתכן.

הכובע הוא מעטפת החרוט בלבד, ולכן הנייר הדרוש הוא שטח המעטפת:

טעות נפוצה: להוסיף את שטח הבסיס ($81\pi$) ולקבל $216\pi\approx678.6$ סמ"ר. לכובע אין בסיס.

ממירים מ"ר לסמ"ר: מטר אחד הוא 100 ס"מ, ולכן מ"ר אחד הוא $100\cdot100=10{,}000$ סמ"ר. 2 מ"ר הם $20{,}000$ סמ"ר.

אפשר להכין 47 כובעים שלמים (לכובע ה-48 לא נשאר מספיק נייר).

טעות נפוצה: להמיר 1 מ"ר ל-1,000 סמ"ר (כמו ליטר וסמ"ק), לקבל 2,000 סמ"ר ו-$\frac{2000}{424.1}\approx4.7$, כלומר 4 כובעים בלבד.

נפח הכובע (חרוט):

נפח הקופסה (פירמידה):

$1050>1017.9$, ולכן לא כל הסוכריות ייכנסו לכובע.

טעות נפוצה: לשכוח את השליש רק בנפח החרוט ($972\pi\approx3053.6$) ולענות שהסוכריות ייכנסו בקלות.