מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 7 בדרך לבגרות

גזירה: $x$ קרטוני חולצות צורכים $2x$ שעות, ו-$y$ קרטוני מכנסיים צורכים $y$ שעות; יחד לכל היותר 10:

תפירה: $x$ שעות לחולצות ו-$3y$ שעות למכנסיים:

ובנוסף $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: להחליף את המקדמים בתפירה ולכתוב $3x+y\le15$ - שלוש שעות התפירה הן של המכנסיים, כלומר של $y$.

מציבים $x=4$, $y=3$ בכל האילוצים:

גזירה: $2\cdot4+3=11>10$ - האילוץ לא מתקיים.

תפירה: $4+3\cdot3=13\le15$ - מתקיים.

מספיק שאילוץ אחד לא מתקיים כדי שהייצור לא יהיה אפשרי: אין מספיק שעות גזירה.

טעות נפוצה: לבדוק רק את אילוץ התפירה ($13\le15$) ולענות "כן". צריך לבדוק את כל האילוצים.

כל קרטון חולצות מכניס 300 שקל, ויש $x$ קרטונים: $300x$. כל קרטון מכנסיים מכניס 200 שקל: $200y$.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=200x+300y$ - הרווח של 300 שקל הוא של קרטון חולצות, שמספרם $x$.

מציבים כל קודקוד בפונקציית הרווח:

$(0,0)$: $P=0$

$(0,5)$: $P=200\cdot5=1000$

$(3,4)$: $P=300\cdot3+200\cdot4=900+800=1700$

$(5,0)$: $P=300\cdot5=1500$

המקסימום מתקבל ב-$(3,4)$: 3 קרטוני חולצות ו-4 קרטוני מכנסיים, ורווח של 1700 שקל.

טעות נפוצה: לבחור את $(5,0)$ כי חולצות רווחיות יותר לקרטון, ולקבל רווח של 1500 שקל בלבד.

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$: $\frac{4}{-12}=-\frac13$.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$: $m_{BC}=-\frac{1}{-3}=\frac13$.

הישר עובר ב-$B(4,-4)$:

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן, $m=-\frac13$, ולקבל $y=-\frac13x-\frac83$.

מציבים $y=0$: $0=\frac13x-\frac{16}{3}$, כלומר $x=16$. $C(16,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $\left(0,-\frac{16}{3}\right)$ - החיתוך עם ציר ה-$y$.

$AD\parallel BC$, ולכן $m_{AD}=\frac13$. הישר עובר ב-$A(0,8)$, שעל ציר ה-$y$, ולכן החיתוך עם ציר ה-$y$ הוא 8:

טעות נפוצה: להחליף בין שיעורי $A$ בנוסחה ולכתוב $y-0=\frac13(x-8)$, כלומר $y=\frac13x-\frac83$ - ישר שאינו עובר ב-$A$.

$D$ על הישר $AD$: $y=\frac13\cdot15+8=13$, כלומר $D(15,13)$.

במשולש $OCD$ הצלע $OC$ על ציר ה-$x$ ואורכה 16; הגובה אליה הוא $y_D=13$:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 208 - זה שטח של מלבן.

חצי סטיית תקן היא $\frac62=3$ ס"מ, ולכן כל שנתה רחוקה 3 ס"מ מהשכנה שלה.

$\bar x-S=40-6=34$, $\bar x-\frac S2=40-3=37$, $\bar x+\frac S2=43$, $\bar x+S=46$, $\bar x+1.5S=40+9=49$, $\bar x+2S=40+12=52$.

טעות נפוצה: להוסיף סטיית תקן שלמה בכל שנתה (כאילו כל שנתה היא $S$), ולכתוב $46$ מתחת ל-$\bar x+\frac S2$ ו-$52$ מתחת ל-$\bar x+S$.

לפי סעיף א, 49 נמצא בשנתה $\bar x+1.5S$. מעליה שלוש רצועות:

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה הסמוכה ($5\%$) ולשכוח את שתי הרצועות הקיצוניות, ולענות $5\%$.

34 ו-46 הם $\bar x-S$ ו-$\bar x+S$. ביניהם ארבע רצועות:

טעות נפוצה: לחשוב ש-34 ו-46 הם $\bar x\pm\frac S2$ ולסכום רק $19+19=38\%$: $0.38\cdot600=228$.

$28=40-12=\bar x-2S$. מתחת לשנתה הזאת: $0.5\%+1.5\%=2\%$, כלומר הסתברות $0.02$.

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה של $1.5\%$ ולקבל $0.015$, בלי הזנב של $0.5\%$.

$A$ נמצאת על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$x=0$ היא $O$, ולכן $A(4,0)$. (בדיקה: $0.5\cdot16-8=0$.)

טעות נפוצה: לחלק את המקדמים בסדר הפוך ולקבל $x=\frac{0.5}{2}=0.25$, כלומר $A(0.25,0)$.

העומק המרבי הוא בקדקוד:

הקדקוד $(2,-2)$: הציפור הגיעה לעומק של 2 מטרים, במרחק אופקי של 2 מטרים מ-$O$.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בנוסחה ולקבל $x=-2$, ואז $y=2+4=6$ - נקודה מעל המים, מחוץ למסלול.

מציבים $x=3.5$:

הציפור נמצאת בעומק של 0.875 מטר מתחת לפני המים.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם, $(0.5\cdot3.5)^2-7=3.0625-7$, ולקבל עומק של כ-3.94 מטרים - עמוק יותר מהעומק המרבי.

עומק 1.5 מטרים פירושו $y=-1.5$:

טעות נפוצה: להציב $y=1.5$ (בלי המינוס) ולפתור $x^2-4x-3=0$, ואז $x=2\pm\sqrt7$, כלומר $x\approx4.65$ או $x\approx-0.65$ - שניהם מחוץ למסלול שבין $O$ ל-$A$.

סופרים לפי עמודות (כולל קוביות שמוסתרות מאחורי קוביות אחרות):

שורה קדמית: 1, 2, 0 - שלוש קוביות. שורה אחורית: 2, 1, 1 - ארבע קוביות.

טעות נפוצה: לספור רק את הקוביות שרואים ולענות 6 - הקובייה התחתונה של העמודה האחורית-שמאלית מוסתרת מאחורי הקובייה הקדמית-שמאלית.

טעות נפוצה: לרשום 1 בעמודה האחורית-שמאלית, כי רואים רק את הקובייה העליונה שלה. הקובייה העליונה נמצאת בגובה של שתי קוביות, ולכן יש מתחתיה עוד קובייה.

מלפנים - הגובה המרבי בכל עמודה: שמאלית $\max(1,2)=2$, אמצעית $\max(2,1)=2$, ימנית $\max(0,1)=1$.

טעות נפוצה: לסרטט במבט מלפנים רק את השורה הקדמית (גבהים 1, 2, 0). מלפנים רואים גם עמודות אחוריות שבולטות מעל הקדמיות.

מבט מלמעלה לא משתנה - מוסיפים רק על משבצת תפוסה.

מבט מלפנים לא משתנה - אסור לעבור את הגובה המרבי של העמודה: שמאלית 2, אמצעית 2, ימנית 1.

עמודה שמאלית: הקדמית בגובה 1 - אפשר להגביה ל-2. עמודה אמצעית: האחורית בגובה 1 - אפשר להגביה ל-2. עמודה ימנית: האחורית כבר בגובה המרבי 1.

טעות נפוצה: לשים קובייה במשבצת הריקה הקדמית-ימנית: המבט מלפנים לא משתנה (העמודה הימנית עדיין בגובה 1), אבל במבט מלמעלה מופיעה משבצת חדשה.

טעות נפוצה: לכפול רק צלע בסיס אחת בגובה: $50\cdot200=10{,}000$.

טעות נפוצה: לחלק ב-20 במקום לחשב $20\%$: $\frac{200}{20}=10$ ס"מ.

$30<40$, ולכן הקופסה נכנסת.

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע: $10h=3000$, $h=300$ - ולקבוע שהקופסה לא נכנסת.

$42>40$, ולכן הקופסה לא נכנסת בין שני מדפים סמוכים.

טעות נפוצה: להציב בנוסחת הנפח במקום בנוסחת המעטפת: $49h=588$, $h=12$ - ולקבוע שהקופסה נכנסת.