מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 2 מעל רמת בגרות

מספר הפריטים לא יכול להיות שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

בערכה יש לכל היותר 30 פריטים:

המשקל של $x$ עטים הוא $20x$ גרם, והמשקל של $y$ מחברות הוא $50y$ גרם:

טעות נפוצה: לכתוב את אילוץ המשקל עם המשקלים מוחלפים, $50x+20y\le1200$ - $x$ הוא מספר העטים, וכל עט שוקל 20 גרם.

חיתוכי הישר $x+y=30$ עם הצירים: $(0,30)$ ו-$(30,0)$.

חיתוכי הישר $20x+50y=1200$ עם הצירים: $(0,24)$ ו-$(60,0)$.

על ציר ה-$y$ התחום נגמר בנקודה הנמוכה מבין $(0,30)$ ו-$(0,24)$: $A(0,24)$ (מהישר של המשקל).

על ציר ה-$x$ התחום נגמר בנקודה הקרובה לראשית מבין $(30,0)$ ו-$(60,0)$: $B(30,0)$ (מהישר של מספר הפריטים).

$C$: מחלקים את המשוואה השנייה ב-10 ופותרים:

מהמשוואה הראשונה $x=30-y$. מציבים: $2(30-y)+5y=120$, כלומר $60+3y=120$, $y=20$ ו-$x=10$. לכן $C(10,20)$.

טעות נפוצה: לקחת את $B$ מהישר של המשקל, $B(60,0)$ - אבל ערכה עם 60 עטים לא מקיימת $x+y\le30$.

הרווח מ-$x$ עטים הוא $2x$ שקלים, והרווח מ-$y$ מחברות הוא $3y$ שקלים:

מחפשים את הערך המקסימלי של $f$.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $f=3x+2y$ - הרווח מעט אחד (המשתנה $x$) הוא 2 שקלים.

מציבים את קדקודי התחום בפונקציית המטרה:

$O(0,0)$: $f=0$

$A(0,24)$: $f=2\cdot0+3\cdot24=72$

$B(30,0)$: $f=2\cdot30+3\cdot0=60$

$C(10,20)$: $f=2\cdot10+3\cdot20=80$

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-$C$: 10 עטים ו-20 מחברות.

טעות נפוצה: לבחור ב-$A$ כי "המחברת רווחית יותר", ולשים רק מחברות: 0 עטים ו-24 מחברות - שם הרווח הוא 72 שקלים בלבד.

מציבים את $C(10,20)$:

טעות נפוצה: להציב בפונקציה עם מקדמים מוחלפים: $3\cdot10+2\cdot20=70$, ולענות 70 שקלים.

בודקים את הנקודה $(25,6)$ בכל האילוצים:

$25\ge0$ ו-$6\ge0$ - מתקיים.

$20\cdot25+50\cdot6=500+300=800\le1200$ - מתקיים.

$25+6=31>30$ - לא מתקיים.

בערכה כזאת יש 31 פריטים, יותר מהמותר, ולכן לא ייתכן.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המשקל ($800\le1200$) ולענות שכן ייתכן - הנקודה צריכה לקיים את כל האילוצים.

$B$: $x=0$, $y=5$. $D$: $0=-\frac5{12}x+5$, $x=5\cdot\frac{12}5=12$.

$D$ אמצע $AB$: $x_A=2\cdot12-0=24$, $y_A=2\cdot0-5=-5$. $A(24,-5)$.

טעות נפוצה: לחשב את $A$ כאמצע של $B$ ו-$D$ ולקבל $(6,2.5)$.

נסמן $C(c,0)$. נחשב את השיפועים של $BC$ ושל $AC$:

$\angle ACB=90^\circ$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

בנוסחת השורשים:

$C$ נמצאת מימין ל-$D(12,0)$, ולכן $c=-1$ נפסל. $C(25,0)$.

(גם הנקודה $(-1,0)$ יוצרת זווית ישרה עם $A$ ו-$B$, אבל היא משמאל לראשית.)

טעות נפוצה: לא לפסול ולענות $C(-1,0)$. הנתון "מימין ל-$D$" קובע שיש פתרון אחד.

ציר ה-$x$ מחלק את המשולש לשני משולשים עם הבסיס המשותף $DC$ על ציר ה-$x$: $DC=25-12=13$.

המשולש $BDC$: הגובה מ-$B$ לציר ה-$x$ הוא 5, ולכן שטחו $\frac{13\cdot5}{2}=32.5$.

המשולש $ADC$: הגובה מ-$A$ לציר ה-$x$ הוא 5, ולכן שטחו גם 32.5.

(בדיקה בעזרת הניצבים: $BC=\sqrt{650}$, $AC=\sqrt{26}$, $\frac{\sqrt{650\cdot26}}{2}=\frac{130}{2}=65$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את החלק שמעל ציר ה-$x$ (המשולש $BDC$) ולענות 32.5.

האלכסון $AB$ מחלק את המרובע $BCAK$ למשולש $ABC$ (שטחו 65, סעיף ג) ולמשולש $ABK$:

במשולש $ABK$ הצלע $BK$ על ציר ה-$y$, והגובה אליה הוא המרחק של $A$ מציר ה-$y$, 24:

$K$ על ציר ה-$y$ מתחת ל-$B(0,5)$ במרחק 10: $K(0,-5)$ - אכן על החלק השלילי של הציר.

טעות נפוצה: להשוות את שטח המשולש $ABK$ לכל ה-185 ולקבל $BK=\frac{185}{12}\approx15.42$, כלומר $K(0,-10.42)$.

טושים: $4x+2y$, "לפחות 40":

מחברות: $3x+4y$, "לכל היותר 60":

ובנוסף $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי שורות ולכתוב $4x+3y\ge40$, $2x+4y\le60$.

$4x+2y=40$: נקודות החיתוך $(10,0)$ ו-$(0,20)$. $3x+4y=60$: $(20,0)$ ו-$(0,15)$.

בדיקה בראשית: $0\ge40$ לא נכון - התחום של הראשון בצד הרחוק מהראשית; $0\le60$ נכון - התחום של השני בצד של הראשית.

קודקוד החיתוך:

על ציר ה-$y$ אין נקודות אפשריות ($2y\ge40$ דורש $y\ge20$, ו-$4y\le60$ דורש $y\le15$). התחום הוא המשולש $(10,0)$, $(20,0)$, $(4,12)$.

טעות נפוצה: לצבוע את הצד של הראשית גם עבור $4x+2y\ge40$, ולקבל את המרובע $(0,0)$, $(10,0)$, $(4,12)$, $(0,15)$.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולכתוב $P=40x+25y$.

מציבים את הקודקודים:

המקסימום, 580 שקלים, ב-4 ערכות מסוג א' ו-12 ערכות מסוג ב'.

טעות נפוצה: לבחור את הקודקוד $(20,0)$ כי בו מוכרים הכי הרבה ערכות, ולקבל 500 שקלים. ההכנסה תלויה גם במחיר של כל ערכה.

מציבים $x=10$, $y=6$:

טושים: $4\cdot10+2\cdot6=52\ge40$ - מתקיים. מחברות: $3\cdot10+4\cdot6=54\le60$ - מתקיים.

הנקודה בתחום האפשרי, ולכן אפשר לספק את ההזמנה. ההכנסה:

טעות נפוצה: להציב את המחירים הפוך, $40\cdot10+25\cdot6=550$ שקלים.

$D(0,21)$ על הקשת: $21=-0+0+c$, ולכן $c=21$.

$A(-3,0)$ על הקשת:

טעות נפוצה: לחשב $-(-3)^2$ כ-$+9$, לכתוב $0=9-3b+21$ ולקבל $b=10$.

$x=-3$ (הנקודה $A$) או $x=7$, ולכן $B(7,0)$ ו-$AB=7-(-3)=10$.

הקדקוד: $x=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2$, $y=-4+8+21=25$. הגובה המקסימלי 25 מטרים.

טעות נפוצה: לחשב $-2^2$ כ-$+4$ ולקבל גובה מקסימלי של 33 מטרים.

שתי נקודות על פרבולה באותו גובה סימטריות ביחס לציר הסימטריה $x=2$. המרחק ביניהן 6, ולכן כל אחת במרחק 3 מהציר:

שתיהן בין $A$ ל-$B$. הגובה:

(בדיקה: $y(-1)=-1-4+21=16$.) גובה העמודים 16 מטרים.

טעות נפוצה: להציב את העמודים סימטרית ביחס לעמוד $OD$ (ציר ה-$y$), ב-$x=\pm3$, ולענות $y(3)=24$ מטרים - בלי לשים לב ש-$y(-3)=0$, כלומר העמודים אינם שווים.

על הקשת, בין $A$ ל-$B$, הגובה עולה מ-0 ל-25 (משמאל לקדקוד) ויורד מ-25 ל-0 (מימינו). לכן:

- $0\le h<25$: נקודה אחת בעלייה ונקודה אחת בירידה - שתי נקודות (עבור $h=0$ אלה $A$ ו-$B$).

- $h=25$: רק הקדקוד - נקודה אחת.

- $h>25$ או $h<0$: אין נקודות (הקשת לא מגיעה לשם, ומתחת לקרקע אין קשת).

טעות נפוצה: לכלול את $h=25$ בתחום של שתי נקודות - בגובה המקסימלי יש נקודה אחת בלבד.

בכל משבצת כותבים כמה קוביות עומדות בה; השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית.

השורה הקדמית, משמאל לימין: $2\ 0\ 1\ 0$.

השורה השנייה: $2\ 1\ 1\ 0$.

השורה השלישית: $3\ 2\ 2\ 1$.

השורה האחורית: $3\ 3\ 2\ 2$.

טעות נפוצה: לכתוב את השורה הקדמית בראש התרשים (תמונת ראי של התרשים): $2\,0\,1\,0\ /\ 2\,1\,1\,0\ /\ 3\,2\,2\,1\ /\ 3\,3\,2\,2$ - בתרשים מספרים השורה הקרובה למתבונן היא התחתונה.

במבט מימין השורה הקדמית בצד שמאל והאחורית בצד ימין, וגובה כל עמודה הוא הגובה המרבי בשורה:

טעות נפוצה: לצייר את המבט מלפנים במקום מימין - הגובה המרבי בכל עמודה, $3,3,2,2$.

תרשימי המספרים (מהשורה האחורית לקדמית):

מבנה I: $3\,3\,2\,2\ /\ 3\,2\,2\,1\ /\ 2\,1\,1\,0\ /\ 2\,0\,1\,0$ - $10+8+4+3=25$.

מבנה II: $3\,2\,2\,1\ /\ 2\,3\,1\,2\ /\ 1\,1\,1\,0\ /\ 1\,0\,0\,1$ - $8+8+3+2=21$.

מבנה III: $3\,2\,1\,1\ /\ 3\,1\,1\,1\ /\ 2\,1\,1\,0\ /\ 2\,0\,0\,1$ - $7+6+4+3=20$.

הקטן ביותר: מבנה III.

טעות נפוצה: לספור משבצות תפוסות במקום קוביות - בכל אחד משלושת המבנים תפוסות 13 משבצות - ולענות שבכל המבנים אותו מספר קוביות.

המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות תפוסות.

במבנים II ו-III: שתי השורות האחוריות מלאות, בשורה השנייה מלפנים תפוסות שלוש המשבצות השמאליות, ובשורה הקדמית - המשבצת השמאלית והימנית.

במבנה I השורה הקדמית תפוסה בעמודות 1 ו-3 (ולא 1 ו-4) - ולכן המבט שלו מלמעלה שונה.

טעות נפוצה: לחשוב שהמבט מלמעלה תלוי בגובה העמודות, להשוות את תרשימי המספרים (שאין שניים זהים מהם), ולענות שאין שני מבנים עם מבט זהה מלמעלה.

הגובה המרבי בכל שורה, מהקדמית לאחורית:

מבנה I: $2,\ 2,\ 3,\ 3$.

מבנה II: $1,\ 1,\ 3,\ 3$.

מבנה III: $\max(2,0,0,1)=2$, $\max(2,1,1,0)=2$, $3$, $3$ - כלומר $2,\ 2,\ 3,\ 3$.

זהה במבנים I ו-III.

טעות נפוצה: לחשב את הגובה המרבי בכל עמודה במקום בכל שורה - זה המבט מלפנים, $3,3,2,2$ במבנים I ו-II - ולענות I, II.

המבט מלפנים (הגובה המרבי בכל עמודה):

מבנה I: $3,3,2,2$; מבנה II: $3,3,2,2$; מבנה III: $3,\ 2,\ 1,\ 1$.

במבנה III צריך להגביה את העמודה השנייה מ-2 ל-3, את העמודה השלישית מ-1 ל-2 ואת העמודה הרביעית מ-1 ל-2. בכל עמודה מניחים קובייה אחת על המשבצת הגבוהה בה: סך הכול 3 קוביות.

טעות נפוצה: להשוות את מספר הקוביות למבנה II, $21-20=1$, ולענות קובייה אחת.

בעמודה השנייה רק המשבצת האחורית בגובה 2 - מניחים עליה קובייה (3). בעמודה השלישית ובעמודה הרביעית כל המשבצות בגובה 1 או 0 - מניחים בכל אחת קובייה על משבצת בגובה 1, למשל האחורית (2):

בדיקה: הגבהים המרביים בעמודות - $3,3,2,2$.

טעות נפוצה: להוסיף קובייה בעמודה השלישית על המשבצת הקדמית הריקה ($2\,0\,1\,1$ בשורה הקדמית) - הגובה המרבי בעמודה נשאר 1, והמבט מלפנים לא השתנה.

נסמן את הרדיוס ב-$r$. אז הקו היוצר הוא $l=r+20$.

הגובה, הרדיוס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הקו היוצר:

בדיקה: $l=50$, ו-$30^2+40^2=900+1600=2500=50^2$.

טעות נפוצה: לשים את הגובה כיתר, $r^2+(r+20)^2=40^2$, ולקבל $r^2+20r-600=0$, כלומר $r\approx16.5$ - אבל במשולש הזה הקו היוצר הוא היתר.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנפח ולקבל $36000\pi$ - זה נפח של גליל.

$\pi\cdot25\cdot l=1500\pi$, ולכן $l=60$. מפיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $\sqrt{60^2+25^2}=65$ - אבל כאן הקו היוצר הוא היתר והגובה הוא ניצב.

$11363\pi<12000\pi$: למשפך הנמוך והרחב (רדיוס 30) נפח גדול יותר, אף ששטחי המעטפת שווים.

טעות נפוצה: להסיק בלי חישוב שהמשפך הגבוה יותר (של סעיף ג) מכיל יותר - בנפח הרדיוס מופיע בריבוע, ולכן ירידה ברדיוס משפיעה יותר מהעלייה בגובה.